群论基础课后习题及答案展示

群论基础课后习题及答案展示考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、填空题1.设G是一个群，a,b是G中的元素，则(ab)⁻¹=_______。2.群G的子群H的阶|H|必定整除群G的阶|G|，这个定理称为_______。3.循环群G一定是由某个元素g生成的，记作<g>，如果G是无限循环群，则G=_______；如果G是有限循环群，其阶为n，则G=_______。4.设φ:G→H是一个群同态，K是H的一个子群，则φ⁻¹(K)是G的一个_______。5.群G的一个子群H称为G的正规子群，如果对于任意的g∈G和h∈H，g⁻¹hg∈_______。6.群G的商群G/N的元素是由N的_______组成的陪集构成。7.设G是一个交换群（阿贝尔群），则G的任意两个子群的交G₁∩G₂也是G的一个_______。8.置换群Sₙ的子群S₃是由_______生成的。9.凯莱定理表明，任何一个有限群G都同构于某个对称群S<0xE2><0x82><0x99>的子群，其中n=_______。10.群G的中心Z(G)是由G中所有与G中所有元素交换的元素组成的子群，即Z(G)={z∈G|zx=xz对于所有x∈G}，则Z(G)是G的一个_______。二、判断题（请判断下列命题的真假，正确的打√，错误的打×）1.任何一个群都必须包含至少一个子群。（）2.如果群G的阶是偶数，那么G中必存在元素a(a≠e)使得a²=e，其中e是单位元。（）3.群G的子群H的阶|H|等于G中某个元素a的阶，则H=<a>。（）4.两个同阶的循环群一定是同构的。（）5.如果G是一个群，H和K是G的两个子群，那么H∪K也是G的一个子群。（）6.群G的任意两个正规子群的交仍然是G的一个正规子群。（）7.如果N是群G的一个正规子群，那么G/N也是一个群。（）8.循环群都是阿贝尔群。（）9.对称群Sₙ是一个阿贝尔群。（）10.群G的商群G/N的阶等于|G|/|N|。（）三、解答题1.证明：在群G中，如果a²=e且b²=e，那么(ab)²=e。2.设G是一个群，a是G中的一个元素，定义一个映射φ:G→G为φ(x)=a⁻¹x。证明φ是一个群同态。3.设G是一个群，H是G的一个子群，N是G的一个正规子群。证明HN={hn|h∈H,n∈N}是G的一个子群。此外，如果H与N互素（即H∩N={e}），证明HN是G的一个子群当且仅当HN=N。4.写出群S₃（三个元素的对称群）的所有子群，并指出哪些是正规子群。5.证明：任何有限群G的中心Z(G)是G的一个正规子群。6.设G是一个阶为p的群（p是素数），证明G必是循环群。7.设G是一个交换群，H是G的一个非空子集。证明H是G的一个子群当且仅当对于任意的a,b∈H，都有ab∈H。8.解释什么是循环群，并举例说明一个无限循环群和一个有限循环群（阶为4）。9.解释什么是陪集，并说明如何利用陪集来证明拉格朗日定理（即子群的阶整除群的阶）。10.解释商群G/N的定义，并说明G/N的元素与G中的陪集之间的一一对应关系。试卷答案一、填空题1.b⁻¹a⁻¹2.拉格朗日定理3.{gⁿ|n∈ℤ},{g,g²,g³,...,gⁿ⁻¹}4.子群5.H6.同余类（或陪集）7.子群8.(12),(13),(23)9.|G|10.正规子群二、判断题1.×2.√3.√4.√5.×6.√7.√8.√9.×10.√三、解答题1.证明：(ab)²=abab。由于a²=e，所以abab=a(be)=a(e)=a。同理，由于b²=e，abab=(ba)b=be=b。所以(ab)²=a=b。另一方面，abab=a(ba)b=(ab)ba=(ab)²。因此(ab)²=a=b=e。故(ab)²=e。2.证明：任取x,y∈G，有φ(xy)=a⁻¹(xy)=(a⁻¹x)(a⁻¹y)=φ(x)φ(y)。根据同态定义，φ是一个群同态。3.证明子群：(1)非空性：由于N是子群，含单位元e。取h=e∈H，则hn=e∈HN，故HN非空。(2)封闭性：任取h₁n₁,h₂n₂∈HN，其中h₁,h₂∈H,n₁,n₂∈N。则(h₁n₁)(h₂n₂)=h₁(n₁h₂)n₂。由于N是正规子群，n₁h₂∈HN（因为h₂n₁h⁻¹₂∈N，h₂n₁h⁻¹₂n₂∈N）。设n₃=n₁h₂n⁻¹₂∈N，则h₁(n₁h₂)n₂=h₁n₃n₂∈HN。故HN封闭。因此，HN是G的一个子群。证明互素条件下的充分性：若HN=N，则对于任意的n∈N，存在h∈H使得hn=n。取n=e，则he=e，即h∈H。故N⊆H。又H⊆HN=N，所以H=N。此时HN=N=HN，条件成立。证明必要性：若HN=N，任取hn∈N，其中h∈H,n∈N。则存在h'∈H,n'∈N使得h'n'=hn。即h⁻¹h'=n⁻¹n。h⁻¹h'∈H,n⁻¹n∈N。由于H∩N={e}，所以h⁻¹h'=e,n⁻¹n=e。即h=h',n=n'。因此h∈H,n∈N推出hn∈N。特别地，对于h∈H,n∈N，若n=e，则he=h∈N。故H⊆N。又N⊆HN，所以N⊆H。结合H∩N={e}，得N={e}。此时HN={e}N=N=HN，条件成立。4.S₃={e,(12),(13),(23),(123),(132)}。子群：{e}(单位子群)<(12)>={(e),(12)}<(13)>={(e),(13)}<(23)>={(e),(23)}<(123)>={(e),(123),(132)}<(12)>∪<(13)>={(e),(12),(13),(23)}正规子群：{e}和<(123)>,<(132)>是正规子群。因为它们是S₃的不变子群（它们的共轭子群仍等于自身）。<(12)>,<(13)>,<(23)>不是正规子群。例如，(13)<(12)>={(e),(132)},而<(12)>(13)={(e),(123)}，两者不相等。5.证明：任取z₁,z₂∈Z(G)。对于任意g∈G，有g⁻¹z₁g=g⁻¹gzg=gez=ze=z₁。同样，g⁻¹z₂g=z₂。因此g⁻¹z₁z₂g=g⁻¹z₁gg⁻¹z₂g=z₁z₂。所以z₁z₂∈Z(G)。故Z(G)是G的一个子群。6.证明：设G的阶为p，p是素数。任取g∈G,g≠e。考虑函数φ:ℤ_p→G定义为φ(k)=g^k(模p运算)。易证φ是一个满射（因为g的阶整除p，所以g^0,g^1,...,g^(p-1)是p个不同元素）。又因为G的阶为p，所以满射即为双射。易证φ是同态(φ(m+n)=g^(m+n)=g^mg^n=φ(m)φ(n))。由同构定义，G同构于ℤ_p，即G是循环群。由生成元唯一性（模p非零整数乘法群），G由g生成，即G=<g>。7.证明：必要性：设H是G的子群。任取a,b∈H。由于H是子群，ab∈H。因为G是交换群，ab=ba。故ab∈H。充分性：设H是G的非空子集，且对于任意的a,b∈H，都有ab∈H。取e∈G作为单位元，由于H非空，存在h∈H。由ab∈H，取b=e，得ah∈H，即h∈H。再取a=h,b=h，得hh∈H，即h²∈H。由于H非空，存在h∈H，所以H中至少有一个元素。若H只有一个元素h，则h²=h，即h(h-1)=e。因为h-1=h⁻¹∈H（由h²∈H,h(h-1)=e∈H），这与H中只有h矛盾（单位元e≠h）。故H中至少有两个元素。取a,b∈H，a≠e。则ab∈H。由于G是交换群，ab=ba。又H非空，存在h∈H。则ab=ba=h。由于H是子群，单位元e必在H中。ab=h,e=h⇒a=h⁻¹∈H。故H包含单位元。因此，H满足子群定义的三条：单位元，封闭性，逆元（ab∈H,a⁻¹=e⁻¹a=ae∈H）。故H是G的一个子群。8.循环群：一个群G如果存在一个元素g∈G，使得G中的每一个元素都可以表示成g的整数次幂（或g的有限次幂，对于有限群），即G=<g>={g^n|n∈ℤ}（无限）或G=<g>={g^k|k=0,1,...,n-1}（有限，阶为n），那么G称为循环群。生成元g的阶等于循环群的阶。例子：无限循环群：整数加法群ℤ，其生成元可以是1或-1。即ℤ=<1>={...,-2,-1,0,1,2,...}或ℤ=<-1>={...,2,1,0,-1,-2,...}。有限循环群（阶为4）：模4加法群ℤ₄={0,1,2,3}，其生成元可以是1或3。即ℤ₄=<1>={0,1,2,3}或ℤ₄=<3>={0,3,2,1}。9.陪集：设G是一个群，N是G的一个子群，a∈G。G中所有形如aN={an|n∈N}的元素组成的集合称为G关于N的一个左陪集。右陪集定义为Na={na|n∈N}。陪集具有以下性质：aN和bN相等当且仅当ab⁻¹∈N（或ba⁻¹∈N对于右陪集）。拉格朗日定理证明：由陪集定义，G可以写成一系列两两不相交的左陪集a₁N,a₂N,...,aₖN的并集，即G=a₁N∪a₂N∪...∪aₖN。由于陪集之间两两不相交，且每个陪集与N有相同的基数（|aN|=|N|），所以|G|=|N|×k，其中k是陪集的数量。由于k是G/N中不同陪集的数量，即商群的阶|G/N|，所以|G|=|N||G/N|。因此，子群N的阶|N|整除群G的阶|G|。10.商群G/N：设G是一个群，N是G的一个正规子群。G/N的元素定义为G的左陪集aN(a∈G)。G/N的运算是定义在陪集上的，对于任意aN,bN∈