MATLABSimulink教程-编程、计算与仿真（第2版）课件 chapter8 线性代数与矩阵分析

第八章:线性代数与矩阵分析LinearAlgebraandMatrixAnalysis主讲：薛定宇

东北大学信息学院国家级

一

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本

科

课

程

建设MATLAB科学运算与仿真第8章线性代数与矩阵分析LinearAlgebraandMatrixAnalysis主讲：薛定宇东北大学信息学院MATLAB科学运算与仿真国家级一流本科课程建设第8章线性代数与矩阵分析线性代数的研究起源于对线性方程组的求解线性方程组是科学研究中应用最广泛的数学模型传统线性代数课程涵盖范围比较窄，可以拓宽本章主要内容特殊矩阵的输入矩阵分析矩阵的变换与分解矩阵函数8.1特殊矩阵的输入特殊矩阵输入的常用函数常用函数（续）8.1.1

零矩阵、幺矩阵与单位矩阵零矩阵、幺矩阵与单位矩阵零矩阵：元素都是0的矩阵幺矩阵：元素都是1的矩阵单位矩阵：对角元素为1，其余运算都是0的矩阵MATLAB函数例8-1矩阵输入矩阵输入任务生成一个3×6的零矩阵

A生成一个与A

同维数的单位矩阵BMATLAB代码例8-2

生成多维数组生成3×4×5×6×7×8的六维幺数组MATLAB命令生成的元素个数展成列向量8.1.2随机数矩阵生成[0,1]区间均匀分布的随机数使用rand函数调用格式与zeros等函数一致生成[a,b]区间随机数：生成标准正态分布N(0,1)随机数：randn函数生成N(m,s2)正态分布随机数：生成[a,b]区间均匀分布随机整数例8-3

抛硬币实验数学实验的思路生成[0,1]区间的随机数，每个数认为抛一次硬币如果随机数的值大于0.5，定义为正面，否则为反面伪随机数等于0.5的概率几乎等于0MATLAB实现nnz函数Numberofnonzero例8-4

随机整数矩阵生成由[-1,7,4,8]构成的3×8随机整数矩阵函数randi只能生成连续整数的随机数矩阵使用变通方法，先生成整数矩阵再替换元素MATLAB命令可以更改替换语句顺序吗？8.1.3对角矩阵对角矩阵的生成已知第k条次对角线元素的对角矩阵生成对角元素的提取例8-5

对角矩阵生成如何生成下面的对角矩阵？MATLAB命令主(次)对角元素元素都是v=[123]块对角矩阵数学形式MATLAB语句8.1.4特殊矩阵的表现形式默认生成的特殊矩阵都是双精度矩阵如果需要符号矩阵，可以由sym函数转换例8-6几个常用的特殊矩阵MATLAB命令8.2矩阵分析MATLAB提供了大量的矩阵分析函数两种调用格式结果不同，采用的算法也不同矩阵分析函数（续）30×30矩阵行列式耗时1s，90×90矩阵耗时一分钟8.2.1矩阵的简单分析矩阵分析是线性代数类课程的重要内容本节主要介绍矩阵的行列式矩阵的迹矩阵的秩矩阵的范数特征多项式与特征值矩阵的行列式行列式(determinant)主要原来判定线性代数方程是否有唯一解行列式的定义MATLAB求解例8-7

魔方矩阵的行列式4×4魔方矩阵MATLAB计算数值解解析解例8-8

生成行列式为1的整数矩阵

由randi可以生成随机整数矩阵生成一个元素为0,1,2的整数矩阵，使其行列式为1可以考虑循环结构生成矩阵后求行列式的值，找到以后退出循环MATLAB求解例8-9

求高阶矩阵的行列式矩阵数学形式MATLAB求解不能使用变量n，可以尝试n，总结规律矩阵的迹矩阵的迹(trace)：对角元素的和例8-10验证5×5阶任意矩阵，Kronecker乘积，由kron函数计算MATLAB验证语句生成任意矩阵判定两端是否相同的最简单方法是找出差，再化简例8-11矩阵的秩矩阵的秩：矩阵线性无关的最大行(列)数4阶魔方矩阵的秩MATLAB求解例8-12高阶Hilbert矩阵的秩生成20×20的Hilbert矩阵用数值和解析解方法计算矩阵的秩矩阵的行列式矩阵的范数矩阵的范数是矩阵的一种测度通俗说，就是用一个标量刻画矩阵的大小不同的范数定义例8-13

方程求解的误差评价AX=B，可以由X=A\B求解方程方程解的误差怎么求？将解代入方程得出误差，误差是矩阵，比较适合用范数描述方程的求解与误差评价求解特征多项式与特征值特征多项式定义MATLAB求解数值求解解析求解例8-14

魔方矩阵的特征多项式魔方矩阵MATLAB求解例8-15

符号矩阵的特征多项式已知向量由向量生成Hankel矩阵例8-16

魔方矩阵的特征根魔方矩阵MATLAB求解求取特征多项式的符号表达式8.2.2逆矩阵逆矩阵定义矩阵A

为非奇异方阵存在一个矩阵C，满足逆矩阵记作逆矩阵的求解直接求逆可以调用rref函数，由基本行变换方法求解例8-17

四阶矩阵求逆任意4阶Hankel矩阵生成A

矩阵并求逆例8-18

基本行变换求逆数学上的思路构造C=[A,I]对C

矩阵作基本行变换，可以由rref函数实现如果能将变换后矩阵变换成[I,H]形式，则H

为逆矩阵MATLAB求解例8-19

奇异矩阵求逆4阶魔方矩阵是奇异矩阵，可以求逆并检验用解析解方法求逆例8-20

用基本行变换求逆仍考虑4阶魔方矩阵用基本行变换求逆得出的结果8.2.3Moore–Penrose广义逆矩阵奇异矩阵不存在逆矩阵，长方形矩阵不存在逆矩阵定义广义逆，，记作引入，得出Moore-Penrose广义逆又称为伪逆，记作

AN

与NA

均为Hermit对称矩阵例8-21

奇异矩阵的广义逆4阶魔方矩阵的广义逆MATLAB求解例8-22

长方形矩阵的伪逆矩阵AMATLAB求解矩阵求秩求伪逆8.2.4矩阵的特征值特征值的定义MATLAB求解满足数值求解得到的V

是归一化的矩阵例8-23

奇异矩阵的特征值4阶魔方矩阵特征值、特征向量的数值运算解析计算8.3矩阵的变换与分解矩阵的变换与分解：变换矩阵的形式8.3.1矩阵的相似变换对方阵A，存在一个非奇异矩阵T使得称为矩阵的相似变换(similaritytransform)MATLAB求解8.3.2相伴矩阵变换若存在列向量x使得非奇异T

可以使得

A相似变换为相伴矩阵可以通过循环选择x

向量由0、1构成，使得T

非奇异例8-24

魔方矩阵变换为相伴矩阵4阶魔方矩阵选择变换矩阵，实现相伴变换8.3.3一般矩阵的对角变换与Jordan变换如果矩阵的特征根互不相同选择T=D，可以将A变换为对角矩阵如果特征根有重根，则不能变换成对角矩阵引入Jordan矩阵变换使得例8-25

对角矩阵转换已知矩阵直接转换解析运算例8-26

变换Jordan矩阵已知矩阵Jordan变换8.3.4矩阵的三角分解一般矩阵可以分解成上三角和下三角矩阵的积A=LUMATLAB求解主元素例8-27三角分解4阶魔方矩阵三角分解解析解数值解：考虑主元素8.3.5对称矩阵的Cholesky分解对称矩阵的Cholesky分解MATLAB求解数值与解析求解非正定矩阵

例8-28对称矩阵分解已知对称矩阵MATLAB求解例8-29

非正定对称矩阵给出的对称矩阵MATLAB求解8.3.6奇异值分解矩阵的奇异值是数值线性代数引入的概念奇异值是矩阵奇异性的一种测度奇异值分解L,M为正交矩阵，正交矩阵满足奇异值对角矩阵MATLAB求解条件数例8-30

魔方矩阵的奇异值分解4阶魔方矩阵奇异值分解与条件数计算高精度数值解8.4矩阵函数矩阵函数（matrixfunctions）是矩阵分析的重要内容有很多科学与工程领域用到矩阵函数矩阵函数在传统线性代数类课程中完全被忽略矩阵函数f(A)标量函数f(x)，x

由A

取代，常数由I

取代本节探讨矩阵的指数函数、三角函数与任意函数8.4.1矩阵的指数函数标量指数函数的Taylor级数展开矩阵指数函数的定义MATLAB直接求解例8-31

矩阵的指数已知矩阵MATLAB