初中九年级数学“锐角的正弦”教学设计

初中九年级数学“锐角的正弦”教学设计【教学目标】知识与技能：理解锐角正弦的概念，能准确说出直角三角形中锐角的对边与斜边的比值关系；能根据直角三角形的已知条件求锐角的正弦值，会根据正弦值解决简单的实际问题。过程与方法：经历从特殊到一般、从直观到抽象的探究过程，体会用比值刻画锐角大小的思想方法，发展合情推理与演绎推理能力。情感态度与价值观：在测量与计算的活动中感受数学与生活的联系，体会“形”与“数”相互转化的美妙，养成严谨、规范的数学表达习惯。【教学重难点】重点：锐角正弦概念的形成与运用。难点：理解“在直角三角形中，锐角固定时其对边与斜边的比值是定值”这一本质属性。【教学准备】多媒体课件、量角器、直尺、坐标纸、不同大小的含30°角的三角板、学案纸。【教学过程】一、情境引入：从“爬坡”说起师：同学们，周末爬山时，你也许有过这样的体验：两条山路都能到达山顶，一条走起来轻松，一条让人气喘吁吁。你觉得决定了行走难受程度的关键因素是什么？生：坡的倾斜程度，也就是坡的陡缓。师：很好。请看大屏幕上的两幅示意图：斜坡甲水平前进100米，升高50米；斜坡乙水平前进100米，升高70米。哪条坡更陡？生：斜坡乙更陡，因为在同样的水平距离内它升得更高。师：判断得很干脆。那如果我换一个条件：斜坡丙水平前进120米，升高60米，它和斜坡甲相比，谁更陡？（学生思考片刻，有的开始动笔计算。）生：斜坡甲升高的比例是50÷100＝0.5，斜坡丙是60÷120＝0.5，一样陡！师：你发现了一个了不起的规律——单看升高的高度不行，单看水平距离也不行，要看“升高与水平距离的比值”。这个比值相同，坡度就相同，坡的倾斜角也就相同。师：今天，我们要研究的问题是：在直角三角形中，当锐角确定之后，边与边之间藏着怎样的固定关系？带着这个问题，我们走进新课——锐角的正弦。（板书课题：2.1.1锐角的正弦）二、动手操作：画一画，量一量，算一算师：请同学们拿出坐标纸和直尺，完成学案上的探究活动一。活动一要求：在坐标纸上画一个直角三角形ABC，使∠C＝90°，∠A＝30°。分别测量∠A的对边BC和斜边AB的长度（精确到1毫米），计算BC除以AB的商，结果保留两位小数。（学生分组操作，教师巡视指导，提醒测量时视线正对刻度线，减小误差。）师：好，请几位同学汇报数据。生1：我画的BC约2.5厘米，AB约5厘米，商约0.50。生2：我画的大一些，BC是4厘米，AB是8厘米，商也是0.50。生3：我测得BC约1.6厘米，AB约3.2厘米，商约0.50。师生共同小结：大家画的三角形各不相同，可“∠A的对边与斜边之比”几乎都在0.5附近。测量误差允许的情况下，这个比值好像是个常数！师：再把∠A换成45°重做一次，看看比值是多少。（学生再次操作，得到比值约0.71。）师：画150个大大小小的三角形，你都不可能把“偶然”变成“规律”。仅靠测量，我们只能猜测。猜测靠数学推理才能变成定理。下面我们严格证明这件事。三、推理论证：从三角形相似到比值不变师：设有两个直角三角形ABC和A′B′C′，∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′。这两个三角形是什么关系？生：相似，两角对应相等，两个三角形相似。师：相似三角形的对应边有什么性质？生：对应边成比例。BC∶B′C′＝AB∶A′B′。师：请把这个比例式变个形——由BC／AB＝B′C′／A′B′，你能直接读出什么结论？生：∠A的对边与斜边的比值，在两个三角形中相等。师：这正是我们要找的答案。也就是说：在直角三角形中，只要锐角A的度数固定，不论三角形放大还是缩小，∠A的对边与斜边的比值就是一个固定不变的常数。这个比值只与角的大小有关，与三角形的大小无关。（板书核心结论：斜边不变？不——比值不变。角度定，比值定。）四、概念建构：认识“正弦”师：既然这个比值如此重要，数学家给它起了名字。请看定义。定义：在直角三角形中，锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA＝（∠A的对边）／（斜边）师：我们一起做三件事。第一，读：“sinA”读作“sineA”。第二，写：sin是一个整体符号，绝不能拆成s·i·n，也不能写成“sin乘A”。第三，辨：sinA表示一个比值，是一个数，不是两条线段的乘积。师：回到刚才的探究，当∠A＝30°时，sinA≈0.50。事实上，用严格的数学方法可以证明：sin30°＝1／2师：再看“等腰直角三角形”：设直角边为1，斜边是多少？生：由勾股定理，斜边为√2。师：于是sin45°＝对边除以斜边，即sin45°＝1／√2＝√2／2师：思考一个更深刻的问题：30°的直角三角形里，60°角的对边是哪条边？sin60°等于多少？（学生画图讨论：60°角的对边是较长直角边√3份，斜边2份。）生：sin60°＝√3／2。师：非常好。老师把三个特殊角的正弦值整理成表，请大家抄在学案上并尝试记忆：sin30°＝1／2sin45°＝√2／2sin60°＝√3／2师：观察这一列数，随着锐角从30°增大到60°，正弦值从1／2增大到√3／2。你能做出一个猜想吗？生：锐角越大，它的正弦值也越大。师：猜得对。直观解释是：锐角越大，它所对的边相对斜边就越“壮”，比值自然上升。同时请思考：正弦值的取值范围是什么？生：对边永远比斜边短，所以正弦值大于0且小于1。（板书：0＜sinA＜1，A为锐角。）五、例题精讲：规范书写，层层递进例1：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8。求sinA和sinB。师：第一步做什么？生：先求斜边。由勾股定理AB＝√(6²＋8²)＝√100＝10。师：注意∠A的对边是谁？生：是BC＝8。师：所以sinA＝对边除以斜边，得sinA＝8／10＝4／5同理，∠B的对边是AC＝6，sinB＝6／10＝3／5师：请特别留意书写格式：先交代边长，再列比值，最后化到最简。结果5分之4不要写成小数0.8，初中阶段保留分数更准确。例2：在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝3／5，BC＝6。求斜边AB和AC的长。师：这次条件反过来了——已知正弦值求边。sinA＝3／5告诉我们什么？生：∠A的对边与斜边之比是3∶5。对边BC占3份，斜边AB占5份。师：设未知数列方程。生：设每一份为x，则BC＝3x，AB＝5x。由3x＝6，得x＝2，所以AB＝10。再由勾股定理，AC＝√(10²－6²)＝8。师：漂亮！“见比值，设份数”是解这类题的金钥匙。比例问题方程化，是我们这节课学到的第二个思想。例3（实践应用）：学校操场边的升旗绳从旗杆顶垂下。小明站在离旗杆底部8米处，用测角仪测得他与杆顶连线的仰角为30°（测角仪高度忽略不计，视线、旗杆与地面围成直角三角形近似模型）。求绳子（视线长度）约是多少。师：把实际问题翻译成数学语言：直角三角形中，∠A＝30°，它的邻边——哦，等等，30°角的对边是旗杆，是未知的；已知的是邻边8米。正弦用上吗？生：设视线（斜边）为L，旗杆高h。由sin30°＝h／L＝1／2，得h＝L／2。再由勾股定理L²＝8²＋(L／2)²，解得L²＝64÷(3／4)，L≈9.24米。师：这道题提醒我们：一个正弦关系往往要和勾股定理联手，才能解决问题。数学知识从来不是孤立作战的。六、巩固训练：分层闯关第一关（基础辨析）：判断正误。（1）sin60°＝sin30°×2。（错，正弦值间没有这种倍数关系。）（2）把三角形放大一倍，sinA的值不变。（对，比值由角决定。）（3）sinA可以大于1。（错，对边小于斜边。）第二关（直接计算）：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，求sinA、sinB。（答案：sinA＝5／13，sinB＝12／13。）第三关（逆向求解）：在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB＝√2／2，求∠B的度数。（答案：45°，由特殊角正弦值反查。）第四关（综合挑战）：菱形的一条对角线长为10，菱形的高为8，菱形边长为m。若菱形一个锐角为A，试猜想sinA如何用高与边长表示。（引导：作高后，高恰是锐角A的对边，故sinA＝8／m。若m＝10……留给有兴趣的同学课后验证该数据是否自洽。）师：四关的设计逻辑是“辨概念—算数值—逆思维—做综合”，请大家按自己的节奏完成，至少闯过两关。七、课堂小结：三句话带走这节课师：请用三句话总结今天的收获，同桌互相说一遍。第一句（概念）：在直角三角形中，锐角的正弦等于它的对边与斜边之比，sinA＝对边／斜边。第二句（本质）：角定，比值定；比值只随角变，与三角形大小无关，且0＜sinA＜1。第三句（方法）：见比值设份数、列方程；求边常配勾股定理；实际问题先画示意图再建模。师：再留一个悬念：对边角与斜边有了关系，那么“邻边与斜边”“对边与邻边”的比值是不是也有名字？这就是我们接下来要认识的余弦与正切。下节课揭晓。【板书设计】主板书：2.1.1锐角的正弦一、探究：∠A固定→对边／斜边＝定值（相似三角形证明）二、定义：sinA＝∠A的对边／斜边（0＜sinA＜1）三、特殊值：sin30°＝1／2；sin45°＝√2／2；sin60°＝√3／2副板书（例题区）：例1、例2、例3的规范解答示范。【作业设计】必做：教材对应习题第1、2、3题；学案“分层闯关”未完成部分。选做（实践作业）：用皮尺和自制的测角工具测量校园某斜坡（或楼梯）的倾斜角正弦值