河北省秦皇岛市昌黎第一中学2026届高三上学期第一次调研考试数学试卷（含答案）

/河北省秦皇岛市河北昌黎第一中学2026届高三第一次调研考试数学试题一、单选题1．已知复数满足（为虚数单位），则复数在复平面上不可能位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知集合，，则（

）A． B． C． D．3．已知等比数列，则（

）A．3 B．±3 C． D．4．某地区组织了一次高三模拟考试，对该地区3000名考生的考试成绩进行统计分析发现，数学成绩近似服从正态分布，已知数学成绩高于105分的人数与低于65分的人数相同，据此可以估计本次考试的数学成绩高于100分的人数大约为（

）（参考数据：若，有，，）A．580 B．480 C．380 D．2805．已知直线与：交于两点，若在上的投影向量的模为，则的值为（

）A． B． C． D．6．已知函数的值域为，则的值为（

）A． B．0 C．1 D．7．已知，则（

）A．1 B．2 C．或2 D．1或28．已知，是单位向量，且，若向量满足，则的最大值为（

）A．2 B． C． D．1二、多选题9．函数的部分图象如图所示，则（

）

A．当最小时，B．的图象关于直线对称C．不等式的解集为D．若在上有三个零点，则10．在棱长为1的正方体中，O为上底面的中心，则（

）A．平面B．C．直线与的距离为D．直线与平面所成角的正弦值为11．在平面直角坐标系中，设，定义的范数为.若，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．三、填空题12．设，则______.13．设数列的前n项和为，若，则______.14．已知不等式对恒成立，则实数的取值范围是_______________.四、解答题15．在平面四边形中，，，，.

(1)求的长.(2)若为锐角三角形，求面积的取值范围.16．如图，在四棱锥中，底面是边长为3的菱形，平面，，，点为线段上的三等分点.

(1)证明：平面平面.(2)求二面角的余弦值.17．已知函数（，且）.(1)当时，证明：.(2)若不等式恒成立，求a的值.18．已知椭圆的离心率为，右焦点为F，点在C上，过点F且斜率为k的直线l与C交于A，B两点.(1)求椭圆C的方程.(2)若直线l的斜率为，求的面积.(3)设点Q满足，求点Q的轨迹方程.19．n阶拉丁方阵是一种的方阵，在这种的方阵里，恰有1到n这n个不同的正整数，每一个不同的正整数在同一行或同一列中只出现一次.例如，如图是一个3阶拉丁方阵.123231312(1)分别计算2阶和3阶拉丁方阵的个数.(2)求4阶拉丁方阵的个数，并证明：n阶拉丁方阵的个数是的倍数.(3)设A为的方阵，且1到n这n个不同的正整数恰好在A中各出现n次，记全体方阵A构成的集合为S，从S中任取一个方阵，记此方阵为n阶拉丁方阵的概率为.证明：.参考公式：.参考答案1．C【详解】设，由得，可得在复平面上对应的点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，（如图）.由图知圆显然不经过第三象限，故复数在复平面上不可能位于第三象限.故选：C.2．A【详解】由解得，故集合，由解得，故集合，所以.故选：A.3．C【详解】在等比数列中，，由，得，而，因此，又，且同号，则，所以.故选：C4．B【详解】由题设，结合正态分布的对称性知，而，所以，所以本次考试的数学成绩高于100分的人数大约为，故大约人.故选：B5．D【详解】因为的标准方程为，圆心为，半径为，又易知直线过定点，如图，过作于，因为在上的投影向量的模为，则，所以，则，解得，故选：D.6．A【详解】当时，是单调减函数.∴的值域为；当时，若，则，是单调增函数，的值域为，不符合题意，当时，令，得，令，得，函数在上单调递减，在上单调递增，,由题意知，即，解得，所以.故选：A.7．D【详解】因为，所以，所以，即，所以，即，解得1或2.故选：D8．B【详解】因为，是单位向量，且，所以，又因为，所以，如图建立平面直角坐标系，可设，，，则，所以，因为，所以，可得，化简得，配方得，则动点的轨迹是表示以为圆心，为半径的圆，因为圆心到原点的距为，所以的最大值为圆心到原点的距离加上圆的半径，即为.故选：B.9．BCD【详解】对于选项，由图象可知：，即，根据周期的公式可得，因为，所以可得，将代入解析式，可得：，即，得到，所以当最小时，，所以选项错误；对于选项，，所以的对称轴方程为，即，当时，，所以的图象关于直线对称，所以选项正确；对于选项,由可得，即，解不等式可得：，所以不等式的解集为，所以选项正确；对于选项，令，所以，解得，的零点可以依次为：，，，，若在上有三个零点，所以在上的三个零点为：，，，所以，所以选项正确.故选：10．ACD【详解】如图，建立空间直角坐标系，则，所以，，设平面的法向量为，则，令，可得，所以，即，又因为平面，所以平面，故A正确；，平面的法向量，设直线BC与平面所成角为，则，所以直线BC与平面所成角的正弦值为，故D正确；，，则，所以不成立，故B错误；因为，设，，则，令，则，又因为，所以直线与的距离为，故C正确.故选：ACD11．BCD【详解】对于A，当时，，此时，所以不成立，A错误；对于B，，根据，，即，B正确；对于C，当时，；当时，；当时，；当时，令，对函数取对数，令，则函数求导可得，通过分析导数可知，，导数的分子小于0，分母大于0，所以，即单调递减，根据复合函数单调性，可得，是单调递减，因为，所以，综上所述，C正确；对于D，要比较与比较与显然若令令，，，（当）所以是下凸函数，所以，在递增，因为，所以，，即综上所述，D正确故选：BCD.12．【详解】由，则展开式通项为且，当，则，故.故答案为：13．/0.5【详解】由积化和差公式可得，则.故答案为：.14．解：问题转化为对任意，恒成立，令，，令，，令，得，所以在上，，单调递增，在，上，，单调递减，所以，当时，；又，所以当上，，，单调递增，当上，，，单调递减，所以，所以，故答案为：．15．(1)(2)【详解】（1）在中，，，则，由正弦定理得，，所以，因为，所以；（2）因为，，所以，所以，因为为锐角三角形，所以，即，解得，在中，由正弦定理得，则，所以，因为，所以，所以，所以，所以，即.16．(1)因为四棱锥中，底面是边长为3的菱形，所以，因为平面，平面，所以，由，平面，得平面，又平面，所以平面平面；(2)【详解】（1）略（2）连接，取的中点，连接，因为，所以，以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，，设为平面的一个法向量，则，令，则，，设为平面的一个法向量，则，令，则，，所以，所以二面角的余弦值为.

17．(1)证明：因为，所以，令，则，令，解得，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以，所以，即，所以；(2).【详解】（1）略（2）解：令，则，又因为，所以在处的值为，又因为，所以，由，解得；当时，令，下面证明恒成立，当时，令，则，由（1）可知，当时等号成立，所以，即，当时等号成立，又因为，所以，所以在上单调递增，所以，所以，所以；当时，令，则，即为，令，则，令，则因为，所以，单调递增，所以，所以，所以在上单调递增，所以，即，综上，当时，恒有成立.故.18．(1)(2)(3)【详解】（1）由题意得，由得，得，所以，得，则，故椭圆C的方程为；（2）由（1）可知，则，因为直线l的斜率为，所以直线l的方程为，设，由，得，所以，所以，因为点到直线的距离为，所以的面积为；（3）设，，则，因为，所以，所以（*），直线l的方程为，由，得，，则，所以，代入（*），可得：，当时，，得（且），所以，化简整理得当时，得，，即，满足上面的方程，所以点Q的轨迹方程为19．(1)2阶和3阶拉丁方阵的个数分别是(2)阶拉丁方阵的个数为．证明如下．称第一行、第一列均为的阶拉丁方阵为约化阶拉丁方阵．固定第一行和第一列后，第二行可能为，，，，，．逐一检验列中数字不重复的条件，，，均不能完成．当第二行为时，第三、四行分别为，，或分别为，，共有种．当第二行为时，第三、四行分别只能为，，共有种．当第二行为时，第三、四行分别只能为，，共有种．所以约化阶拉丁方阵共有个．对任意阶拉丁方阵，先按第一行元素重新命名符号，使第一行变为，再将第行到第行重新排序，使第一列变为，即可唯一得到一个约化阶拉丁方阵．反过来，每个约化阶拉丁方阵通过种符号重新命名和种非首行行排序，可以得到个不同的阶拉丁方阵．故阶拉丁方阵的个数为．一般地，称第一行、第一列均为的阶拉丁方阵为约化阶拉丁方阵，设约化阶拉丁方阵的个数为．对任意阶拉丁方阵，先按第一行元素重新命名符号，使第一行变为，再将第行到第行重新排序，使第一列变为，即可唯一得到一个约化阶拉丁方阵．反过来，每个约化阶拉丁方阵对应个阶拉丁方阵．因此阶拉丁方阵的个数为，故阶拉丁方阵的个数是的倍数．(3)因为A为的方阵，且1到n这n个不同的正整数恰好在A中各出现n次，所以集合S中的元素的个