湖南省怀化市三校2027届高三上学期开学考试数学试卷（含答案）

/湖南省怀化市三校2026-2027学年高三上学期开学考试数学试题一、单选题1．已知复数（为虚数单位），则的模为（

）A． B． C． D．2．已知等差数列中，，，则公差为（

）A． B． C． D．3．已知集合，，则=（

）A． B． C． D．4．已知，，则（

）A． B． C． D．5．若，则的值为（

）．A． B． C． D．6．若函数的图象上存在两条相互垂直的切线，则实数的值是（

）A． B． C． D．7．下列说法正确的是（

）A．正棱柱的底面是正方形，侧棱垂直于底面B．棱台的侧棱所在直线交于一点，侧面都是等腰梯形C．底面直径与母线长相等的圆柱，其侧面积等于其表面积的一半D．底面半径为1，高为3的圆锥，其侧面积为8．我们知道：的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是为奇函数，有同学发现可以将其推广为：的图象关于成中心对称图形的充要条件是为奇函数.若的对称中心为，则（

）A．8078 B．8076 C． D．二、多选题9．已知函数，则下列结论正确的是（

）A．在时取得最大值B．的最小正周期为C．在区间上单调递减D．的一个对称中心是10．下列大小关系正确的是（

）．A． B．C． D．11．如图，在棱长为2的正方体中，Q为的中点，动点P在侧面内且满足，，，则下列结论正确的是（

）A．若，则四面体的体积为B．若，则C．若存在点P，使平面，则长度的最小值是D．若，则的最小值为三、填空题12．某地有60000名学生参加考试，考试后数学成绩近似服从正态分布，若，则估计该地学生数学成绩在130分以上的人数为_________．13．若方程所表示的曲线是双曲线，则它的焦点坐标是______.14．已知是的外心，且，则__________.四、解答题15．记的内角的对边分别为，已知．(1)若，求；(2)求的最小值．16．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面是正三角形，平面平面.(1)证明：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)求点到平面的距离.17．甲、乙两名运动员互不影响地进行四次射击训练，根据以往的数据统计，他们射击成绩均不低于环（成绩环数以整数计），且甲乙射击成绩（环数）的分布列如下：表1：甲环数概率表2：乙环数概率(1)求、的值；(2)若甲、乙两射手各射击两次，求四次射击中恰有三次命中环的概率；(3)若两个射手各射击次，记两人所得环数的差的绝对值为，求的分布列和数学期望.18．如图，已知椭圆与椭圆有相同的离心率，点在椭圆上．过点的两条不重合直线与椭圆相交于两点，与椭圆相交于和四点．

(1)求椭圆的标准方程；(2)求证：；(3)若，设直线的倾斜角分别为，求证：为定值．19．已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若对任意恒成立，求实数的值；(3)若有两个不同的零点，求证：．

参考答案1．B【详解】，故故选2．C【详解】由公式.故选：C.3．B【详解】，则.故选：B.4．A【详解】因为，，所以，则，故选：A.5．D【详解】令，．故选：D6．C【详解】因为，所以，因为函数的图象上存在两条相互垂直的切线，不妨设函数在和的切线互相垂直，则，即①，因为a一定存在，即方程①一定有解，所以，即，解得或，又，所以或，，所以方程①变为，所以，故A，B，D错误.故选：C.7．D【详解】由正棱柱的定义知：底面是正多边形且侧棱垂直于底面的棱柱，底面不一定为正方形，选项A错误；棱台由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到，因此侧棱所在直线必交于一点，但仅正棱台的侧面为等腰梯形，普通棱台的侧面仅为梯形，不一定为等腰梯形，选项B错误；设圆柱底面直径为，由题意得母线长，侧面积，表面积，显然，选项C错误；圆锥母线长，侧面积，选项D正确.8．C【详解】，设，则，，∴是奇函数，∴的图象关于点对称，∴，，…，，∴．故选：C．9．BC【详解】对于A，令,则，故当时，取最大值，故A错误，对于B，的最小正周期为，故B正确，对于C，当，则，故在区间上单调递减，C正确，对于D,,故是的对称轴，故D错误，故选：BC10．ABC【详解】设，则，时，，递增，而，所以，即，，即，A正确；，B正确；，所以，所以，C正确；，，，所以，，，所以，，所以，D错．故选：ABC．11．ABD【详解】对于A，当时，P是线段的中点，此时点Q到平面的距离为2，所以，A正确．对于B，当时，，取线段的中点M，则，正方体中，所以，B正确．对于C，取线段的中点R，线段的中点S，当点P位于线段上时，平面，平面，所以平面，又平面，平面，所以平面，平面，所以平面平面，平面，平面，此时有，，，，所以为直角三角形，当P位于点S时，长度的最小值是，C错误．对于D，当时，点位于线段上，把平面翻折展开至平面，当点Q，P，A三点共线时，取最小值，在中，，，，由余弦定理得，所以，又为等边三角形，所以在中，，所以，所以，所以，D正确．12．3000【分析】根据正态曲线的对称性可得，求出，即可求得答案.【详解】由题意可知正态分布曲线的对称轴为，结合，得，因此，故估计该地学生数学成绩在130分以上的人数为,故答案为：3000.13．和【详解】由题意可知，，解得：，此时双曲线的焦点在轴，，，那么，则它的焦点坐标是和.故答案为：和14．【详解】因为是的外心，因此外接圆半径满足（为外接圆半径）.由，移项得，两边同时平方得：，由代入得：，整理得：.根据向量点积定义：，因此，所以.由，得点在劣弧上，此时为钝角，对应的圆弧为优弧，如图：结合圆周角定理：，即.因为，且，由二倍角公式.因此.15．(1)(2)．【详解】（1）因为，由正弦定理得，又，则，由结合正弦定理得，故，则①，因为，所以②，得，等式左侧分子和分母同时除以，即，解得．（2）由（1）知，即，化简得，则，即，由正、余弦定理可知，化简可得，则或，当时，显然有，故舍去；故，即．此时由余弦定理得，当且仅当时，等号成立．故的最小值为．16．(1)证明见解析(2)(3)【详解】（1）四边形为正方形，则，平面平面，平面平面，平面；（2）如图，取的中点为，连接，在正中，，平面平面，平面平面，平面，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，不妨取，则，，，设面的一个法向量为，则，令，则，设直线与平面所成角为，，，因此直线与平面所成角的正弦值为.（3）由(2)知，设点到平面的距离为，所以.17．(1)，(2)(3)分布列答案见解析，【详解】（1）解：由分布列的性质可得，解得，，解得.（2）解：四次射击中恰有三次命中环，则甲击中次环、乙击中次环或甲击中次环、乙击中次环，因此，所求事件的概率为.（3）解：由题意可知，随机变量的可能取值有、、，则，，，所以，随机变量的分布列如下表所示：因此，.18．(1)(2)要证，即证，设，当直线斜率不存在时，由椭圆对称性可知成立，当直线斜率存在时，设斜率为，则方程为，由得，，由得，，得，，，，则有.所以与等底等高，有.(3)，证明如下：由（2）可知，同理有，由，可得，则有，设直线的斜率为，直线方程为，设，由得，，，，所以，即，化简得，即，由题意，所以，所以.【详解】（1）由题意知，两椭圆有相同的离心率，则有，，又点在椭圆上，有，解得，所以椭圆的标准方程为.（2）略（3）略19．(1)当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在上单调递增.(2)1(3)证明：由有两个不同的零点，得，即，则，不妨令，因此，要证，即证，即证，即证令，即证，令函数，求导得，函数在上单调递增，于是，即成立，所以不等式成立.【详解】（1）函数的定义域为，求导得，当时，，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递