四川内江市某中学2026-2027学年高三上学期开学考试数学试卷（含答案）

/2027届高三上期开学考试数学试题（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.复数（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据复数乘法运算规则，计算结果即可.【详解】.故选：D2.集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】在全集中，满足的元素是，因此，补集是指在全集中，不属于集合的所有元素构成的集合，所以．3.下列四个条件中，使成立的充要条件是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】举例说明判断AB；利用对数函数、指数函数性质推理判断CD.【详解】对于AB，取，都满足，而不成立，因此都不是成立的充分条件，AB不是；对于C，，因此是成立的充分不必要条件，C不是；对于D，，因此是成立的充要条件，D是.故选：D4.对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据，其回归直线方程是，且，则实数的值是（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】【分析】根据回归直线过样本中心点列方程求解即可.【详解】由可知，.因为回归直线过样本中心点，即，将其坐标代入方程可得，解得，故选：B.5.在平面直角坐标系中，已知角的终边过点，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据任意角三角函数定义计算求解.【详解】.故选：B.6.已知向量，，且，则等于（）A. B.3 C.5 D.【答案】A【解析】【分析】利用向量平行的性质求解出，再利用坐标运算求向量的模即可.【详解】若，则，解得，可得，故，则，故选：A7.若函数对任意的都有恒成立，则与的大小关系正确的是（

）A. B.C. D.无法比较大小【答案】C【解析】【分析】构造函数，利用导数可得在上单调递减，从而得到，进而得解.【详解】令，则，因为对任意的都有成立，所以，即在上单调递减，又，故，即，可得.故选：C.8.已知函数为定义在R上的奇函数，且满足，若，则的值分别为（）A.14，-48 B.-14，48C.14，48 D.-14，-48【答案】C【解析】【分析】利用奇函数性质、给定的函数关系式推导函数的周期性与对称性，结合区间上的二次函数形式，列方程求解、的值.【详解】由为定义在上的奇函数，得，且.由，变形得，因此，故是周期为4的周期函数.结合奇函数性质，可得，令，代入得，即的图像关于直线对称；结合周期为4，可推得的对称轴为，当时，得区间内的对称轴为.当时，为二次函数，其对称轴为，结合的对称轴为，得，解得.由周期性得，令中，得，故.代入，计算得，解得.综上，.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列结论正确的有（）A.若随机变量，则B.已知随机变量服从正态分布，则C.在做回归分析时，残差图中残差比较均匀分布在以取值为的横轴为对称轴的水平带状区域内，且宽度越窄表示回归效果越差D.若随机事件A，B满足：，则事件与相互独立【答案】AD【解析】【分析】对于，根据二项分布期望公式即可求解；对于，根据正态分布对称性即可求解；对于，根据残差图的意义即可求解；对于，根据事件独立判断方法，即，则事件相互独立，即可判断.【详解】对于，根据二项分布的期望公式，因，所以可得，故正确；对于，随机变量服从正态分布，所以正态分布密度曲线关于对称，，由对称性可知，所以，故错误；对于，做回归分析时，残差图中残差均匀分布在以横轴为的对称轴水平带状区域内，带状区域越窄回归效果越好，反之越差，故错误；对于,若，则事件相互独立，因为，又，代入可得，而，所以事件与相互独立，故正确.故选：10.下列命题正确的是（）A.若，，则 B.若，则C.若，则 D.若，，则【答案】ABD【解析】【分析】对于A，由不等式同向可加性可判断选项正误；对于B，由可判断选项正误；对于C，通过举特例可判断选项正误；对于D，由作差法可判断选项正误.【详解】对于A，因，由不等式同向可加性可得，故A正确；对于B，因，则，故B正确；对于C，当，时，，故C错误；对于D，，因，则，从而，故D正确.故选：ABD11.已知函数，则（）A.若，且的对称中心为，则的极大值点为B.若，且，则函数有两个零点C.若有两个极值点，且，则只有一个零点D.若且，直线是过函数对称中心的切线，定点满足，则过点与相切的直线有三条【答案】ACD【解析】【分析】先求出，再利用函数的判别式判断极值点个数，最后由图象逐个分析即可.【详解】因为的对称中心为，则的对称轴为，代入，得，，又因为，所以，故，令，得极值点和；当时，当时,所以极大值点为，A正确；因为，且，所以，即有两个不同的零点（极值点），但三次函数的零点个数由极值的符号决定：若极大值与极小值同号，则只有1个零点；若异号，则有3个零点，仅无法确定极值符号，故无法判断零点个数，B错误；因为有两个极值点，则，即，是的根，由韦达定理：，，又因为，显然两个极值点处的函数值同号，若，先增后减再增，极值同号则与轴仅一个交点；若，先减后增再减，极值同号则与轴仅一个交点,结合图象知，只有唯一一个零点，C正确；对于D，因为

，其对称中心为：，对称中心处的切线斜率为，则切线方程为：设曲线上的切点为，则切线方程为：，因为切线过点，则：，即代入

和

，整理得：,展开并化简：，即.令，则，，因为，所以由于其判别式：当时，即，此时，这与矛盾，所以，令，解得：则，当时，的单调增区间为、，减区间为，此时在处取极大值，在处取极小值，由于，，由于,当时，，当时，，因此在、、各有一个零点，即有三个零点，即过点与曲线相切的直线有三条，当时，的单调增区间为、，减区间为、在处取极大值，在处取极小值，此时在处取极大值，在处取极小值，由于，，由于,当时，，当时，，因此在、、各有一个零点，即有三个零点，即过点与曲线相切的直线有三条，综上，过点与曲线相切的直线有三条，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在的展开式中常数项为80，则____________．【答案】【解析】【分析】在二项展开式的通项公式中，令的指数等于0，求出的值，即可建立等式求解.【详解】的展开式的通项为，令，得，所以展开式中常数项为，解得.故答案为：13.甲、乙等个人排成一列，则甲不在排头的排法种数是______．【答案】96【解析】【分析】先排排头，再排剩余四个位置.【详解】先排排头，有种不同的排法，然后安排剩余四个位置，包含甲在内的其余四人有种不同的排法，根据分步乘法计数原理，则共有种不同的排法．故答案为：.14.不等式：恒成立，则实数取值范围为______________【答案】【解析】【分析】由可得，令，然后利用导数求出的最大值即可.【详解】由可得令，则所以当时，单调递增当时，单调递减因为，当时，所以，所以故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.设Sn为等差数列{an}的前n项和．已知a3＝5，S7＝49．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设，求数列{bn}的前n项和Tn．【答案】（1）an＝2n﹣1；（2）．【解析】【分析】（1）利用已知条件建立等量关系式求出数列的通项公式．（2）利用裂项相消法在数列求和中的应用求出数列的和．【详解】（1）设等差数列{an}的公差为d，首项为a1由题意可得，解得，所以{an}的通项公式为an＝2n﹣1．（2）由（1）得，从而．16.已知函数.（1）若函数是上的奇函数，求的值；（2）若函数在区间上的最大值与最小值的差不小于2，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用奇函数性质，直接求出并检验即可（2）确定在上为减函数，找出最大值和最小值，结合“最大值与最小值的差不小于2”列不等式求解即可.【小问1详解】若函数是上的奇函数，则，所以，所以.经检验，当时，是上的奇函数.所以.【小问2详解】由已知得函数是减函数，故在区间上的最大值是，最小值是.由题意得，则.所以解得.故实数的取值范围是.17.为了解高中学生数学成绩与物理成绩的关联性，现从某高中学校抽取100人，得到如下信息：数学成绩与物理成绩都优秀的有10人，都不优秀的有65人.（1）依据上述信息完善下列列联表，并根据小概率的独立性检验，能否认为数学成绩与物理成绩有关联；数学成绩物理成绩合计优秀不优秀优秀20不优秀合计100（2）从数学成绩优秀的学生中，用比例分配的分层随机抽样方法抽取6人，若从这6人中随机抽2人、记为物理成绩优秀的学生人数，求的分布列及数学期望.附：，.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）列联表见解析，根据小概率的独立性检验，认为数学成绩与物理成绩有关联；（2）分布列：012【解析】【分析】（1）由题意直接填写列联表即可，先进性零假设，接着计算卡方值即可根据小概率的独立性检验思想下结论；（2）求出随机变量的取值及其相应概率结合数学期望公式即可求解.【小问1详解】由题可得列联表如下：数学成绩物理成绩

合计优秀不优秀优秀102030不优秀56570合计1585100零假设数学成绩与物理成绩无关联，由表格得，所以根据小概率的独立性检验，没有充分依据推断成立，即推断不成立，所以根据小概率的独立性检验，认为数学成绩与物理成绩有关联.【小问2详解】由（1）可得从数学成绩优秀的学生中，用比例分配的分层随机抽样方法抽取6人，则物理成绩优秀的学生有2人，物理成绩不优秀的有4人，所以若从这6人中随机抽2人则的取值有，且，所以的分布列为012所以的数学期望.18.已知函数（为常数）.（1）当时，判断在的单调性，并说明理由；（2）若存在，使不等式成立，求的取值范围；（3）讨论零点的个数.【答案】（1）在的单调递增，证明见详解；（2）；（3）当或，即或，函数有个零点；当或或时，函数有个零点；当或时，有个零点；【解析】【分析】（1）先判断其单调性，然后利用定义证明；（2）先建立不等式，然后分离参数，利用最值思想求解；（3）令，可得，即，借助的图像以及直线图像，数形结合进行讨论判断即可.【详解】（1）当时，且，是单调递增的，证明：任取，则，，，，即，所以在的单调递增.（2）由，可得，变形为，即，设，令，，则，易求得，，解得（3）令，则，可得，令，作出的图像以及直线图像，由图像可知，当或，即或，函数有个零点；当或或时，函数有个零点；当或时，有个零点；【点睛】本题考查了定义法证明函数的单调性以及分离参数法求参数的取值范围，考查了分类讨论、数形结合的思想，属于中档题.19.已知曲线在点处的切线交轴于点，曲线在点处的切线交轴于点，依此类推，曲线在点（）处的切线交轴于点，其中数列称为函数关于的“切线数列”.（1）若，是函数关于的“切线数列”，求的值；（2）若，是函数关于的“切线数列”，记，求数列的通项公式；（3）若（），是否存在（），使得函数关于的“切线数列”为周期数列？若存在，求出所有满足条件的；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）（3）不存在，理由如下：由，得，所以，，所以曲线在点处的切线方程为，令，则，即，由，得（），设，则.已知，由，得，所以（）.函数的定义域为，，所以函数在上单调递增，①当（，）时，，，所以数列在时单调递减，故数列不是周期数列；②当（，）时，，，所以数列在时单调递增，故数列不是周期数列.综上所述，当时，不存在（），使得关于的“切线数列”为周期数列.【解析】【分析】（1）根据题意，求得，得到的值，结合导数的几何意义，求得切线方程，进而求得的值；（2）根据题意，利用导数的几何意义求得切线方程为，令，得到，结合，证得，进而得到，结合等比数列的通项公式，即可求解；（3）根据题意，利用导数的几何意义，求得切线方程为，得到，设，利用导数求得函数在上单调递增，分类讨论，即可求解.【小