北京市朝阳外国语学校2026-2027学年高三上学期8月月考数学试卷（含答案）

/2026-2027学年度高三8月月考数学试卷班级______________姓名______________成绩______________一、选择题（共50分）1.等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，利用三角函数的诱导公式和特殊角的三角函数值，即可求解.【详解】由三角函数的诱导公式，可得.2.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】由题可得：，，所以.3.在四边形中，，设，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，利用向量的线性运算法则，准确化简，即可求解.【详解】如图所示，在四边形中，因为，所以，可得，所以.4.已知中，假如，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】，因为，所以，所以．5.将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根据三角函数图象平移规则得到平移后的函数解析式，再结合图象关于轴对称的相位特征列方程，求解的最小值．【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后，所得函数解析式为，因为的图象关于轴对称，即为偶函数，所以，解得，因为，所以当时，取得最小值．6.对于任意的，表示不超过的最大整数，例如，，，那么“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】取特殊值可说明充分性不成立；根据不等式的性质可说明必要性成立，由此可得结论【详解】取，，但不满足“”，故“”不能推出“”，充分性不成立；反之，若“”，记，则，所以，，即，必要性成立，故“”是“”的必要不充分条件．故选：B.7.已知等差数列的前项和为，若，则下列结论正确的是（）A. B.成等差数列C. D.【答案】D【解析】【分析】先通过和求出等差数列的首项与公差，得到通项和前项和公式，再逐一验证各选项，其中选项D利用放缩法结合裂项相消证明不等式成立.【详解】由，依据等差数列前项和性质，得；又，利用通项公式展开得，结合，联立得；故；选项A：，选项A错误；选项B：，但，不构成等差数列，选项B错误；选项C：，选项C错误；选项D：，拆分前两项，对后续项放缩；当时，，不等式成立；当时，，不等式成立；当时，前两项和；对的项用放缩，利用不等式，而，因此，从到的和可以裂项为：，合并放缩得，因为，所以，综上，成立，选项D正确.故选：D8.在锐角中，角的对边分别为，为的面积，，且，则的周长的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用面积公式和余弦定理可得，然后根据正弦定理及三角变换可得，再根据三角形是锐角三角形，得到的范围，转化为三角函数求值域的问题.【详解】，，∴，即，为锐角，∴，又，由正弦定理可得，所以，其中，，因为为锐角三角形，所以，则，即：，所以，又，∴，即，故的周长的取值范围是.故选：C.9.天津广播电视塔是津门十景之一，被人们称为“天塔”，建成于1991年：它曾是亚洲第一高塔，现为集广播电视、观光旅游、娱乐餐饮于一体的4A级景区．某校一项目学习小组开展数学建模活动，欲测量天塔AB的高度．在天塔湖岸边上，选取与塔底在同一水平面内的两个观测点、．测得，在、两观测点处测得天塔顶部的仰角分别为，则天塔的高约为（）A.414m B. C. D.207m【答案】A【解析】【分析】设，在和中，求出，在中借助余弦定理求出的值，即的值.【详解】设，在中，有题意知，则，在中，有题意知，则，在中，，，由余弦定理可得：，即，解得，即.故选：A.【点睛】解三角形应用题的一般步骤：(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.10.奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的内心，AB=8，且满足，设△ABC的内切圆半径为，外接圆半径为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据新定义奔驰定理结合三角形的面积公式求解.【详解】由奔驰定理.结合已知，得.因为是内心(到各边距离为内切圆半径)，所以，，，因此边长.，，半周长，由海伦公式，，又，，由余弦定理，，代入正弦定理:，.故选：D第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（共30分）11.若钝角满足，则___________.【答案】【解析】【详解】因为钝角满足，所以，所以.12.锐角满足，则______________．【答案】【解析】【分析】利用两角差的正弦公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可.【详解】因为是锐角，所以，因此，所以.又因为，所以，于是.13.已知正项等比数列满足，，则______________．【答案】【解析】【分析】根据等比数列的通项公式进行求解即可.【详解】设等比数列的公比为，，所以等比数列的公比为，，，得，因为数列是正项等比数列，所以由.14.已知满足的有序集合组的个数为8，则_____．【答案】5【解析】【分析】根据题设及韦恩图知，集合的组数即为共个元素的填法数有种，即可得.【详解】由题意，作出韦恩图如如下，集合的组数等同于共个元素的填法数．每个元素必填在区域或区域内，都有2种情况，共种情况，所以，解得．故答案为：515.已知，，是非零向量，，与的夹角为，的最小值为________.若，设为任意实数，的最小值为________．【答案】①.2；②..##0.5【解析】【分析】利用数量积公式以及，可得到的表达式，结合二次函数性质可得最小值；利用整理化简可得，由此得到向量终点的轨迹，从而可求的最小值.【详解】由已知，且与的夹角为，得，又，故，代入，得，所以，最小值为；设，则，取中点，记，所以，，，，所以，所以，即.则点在以点为圆心，半径的圆上，的终点在与成的直线上，记，因此的最小值为的最小值，过点作，与圆交于点,如图所示，此时最小，最小值为．16.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，给出以下命题：①若，则为锐角三角形；②若，则为等腰三角形；③若，则为等腰三角形；④若，则为等边三角形.以上命题中，所有真命题的序号为_________________．【答案】①③④【解析】【分析】①利用切弦关系及三角恒等变换、三角形内角性质可得，即可判断；②③④利用正弦边角关系、三角恒等变换得到三角形内角的关系，即可判断正误.【详解】①，而，所以都为锐角，正确；②由正弦边角关系：，则，，所以或（），故为等腰或直角三角形，错误；③由正弦边角关系：，，所以，故为等腰三角形，正确；④由，而，故，且，故，则为等边三角形，正确.故答案为：①③④三、解答题（共70分）17.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角B的大小；（2）若，且，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）由正弦定理和辅助角公式得，求出；（2）由正弦定理和余弦定理得，开方可得答案【小问1详解】因为，由正弦定理得，又，所以，所以，即，，又，所以，所以，所以；【小问2详解】由（1）知，，又，则由正弦定理得．由余弦定理可得，所以，所以，根据正弦定理得，，因为，则，所以，所以．18.已知函数．（1）求在上的单调增区间；（2）设函数，从条件①②③中选出两个作为已知，使存在且唯一，求的解析式，并直接写出时，曲线与的交点个数．条件①：；条件②：，；条件③：若，，则；注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1），（2）选②③，，交点个数为【解析】【分析】（1）根据倍角公式和辅助角公式化简，求出，再结合正弦函数的性质可得；（2）分别根据三个条件求出和即可进行选取②③求出的解析式，再画出图象判断交点个数.【小问1详解】，当，有，当或，即或时单调递增，故在上的单调增区间为，；【小问2详解】由①可知，为的周期，无法确定的值；由②可知，函数的最大值为，则且，即，因，则；由③可知，的最小正周期为，即，得；故选②③可使存在且唯一，此时，列表：由图可知，时，曲线与的交点个数为．19.已知函数.（1）当时，求函数的极值点:（2）若函数在上单调递减，求实数的取值范围；（3）已知函数在上无零点，求的取值范围.【答案】（1）极小值点为，无极大值点（2）（3）【解析】【分析】（1）利用函数导数与单调性，根据极值点的定义分析求解即可；（2）由函数在上单调递减转化为函数在上恒成立，然后构造新函数，利用函数导数与单调性求出最值分析即可；（3）利用函数导数与单调性，结合函数零点存在性，对进行分类讨论，即可求出答案.【小问1详解】当时，函数，定义域为，由，因为，所以当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数的极小值点为，无极大值点.【小问2详解】由即，定义域为若函数在上单调递减，则等价于在上恒成立，又，所以问题等价于在上恒成立，即在上恒成立，令，则，当时，，当时，，因此函数在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，所以若函数在上单调递减，则实数的取值范围为.【小问3详解】因为，当，即时，，所以在上单调递减，因为，所以在上无零点，符合题意；当时，令，则，当时，；当时，，所以的单调递减区间是，单调递增区间是，的最小值为，当，即时，无零点，符合题意，当时，有一个零点，不符合题意，当时，，的最小值，因为，所以，使得，不符合题意，综上所述若函数在上无零点，则的取值范围为：.20.在平面直角坐标系中，已知椭圆：（）的焦距为，离心率为．（1）求的方程；（2）设为的上焦点，点在上且位于第一象限，关于轴的对称点为．（ⅰ）若直线与轴、的交点分别为、，且，求；（ⅱ）直线、分别交于另一点、，求△面积的最大值．【答案】（1）（2）（ⅰ）；（ⅱ）【解析】【分析】（1）利用椭圆的焦距与离心率建立方程组，先求出半焦距与长半轴，再通过椭圆中的关系求出短半轴，从而确定椭圆方程，是解析几何中由几何性质求标准方程的常规思路；（2）（i）通过设点的坐标，利用对称关系得到点，再写出直线的方程，分别求出与轴、直线的交点、，结合的条件列方程求解，体现了解析几何中“设点-求线-联立-列方程”的解题流程；（ii）通过联立直线与椭圆方程，利用根与系数的关系求出点、的横坐标，结合三角形面积比的转化，将的面积用点的坐标表示，再利用基本不等式求最值，综合考查了直线与椭圆的位置关系和最值问题的处理方法．【小问1详解】设椭圆的半焦距为，依题意得，解得，所以，所以椭圆的方程为．【小问2详解】（ⅰ）依题意设，则，其中，．由，可得直线的方程为，令，得．又直线的方程为，联立方程及，解得．因为及，，，共线，所以，所以，解得，所以．（ⅱ）联立直线与椭圆的方程得，消去，得．因为在椭圆上，所以，所以．由根与系数的关系得，解得．同理可得．因为，所以．又，所以．因为，所以，当且仅当，即，时，等号成立．综上，面积的最大值为．21.已知集合.对于集合的非空子集，如果存在两个元素，，满足，则称集合为集合的“好集合”.（1）试判断，是否为的“好集合”，并说明理由；（2）为的子集，且中元素均为偶数，证明：是的“好集合”；（3）若的任意含有个元素的子集都是的“好集合”，求的最小值.【答案】（1）由题设有，对于，任意两个元素的差的绝对值的最大值为，故不存在两个元素，，满足，故不是“好集合”.对于，因为，而，故存在元素，满足，故是“好集合”.（2），中所有的偶数为，对于，不妨设，则，故，若，则为“好集合”.若，则，若，则，此时，若，则；若，则，若，则或，若，则，若，则；若，则，若，则，若，则，若，则，若，则，若，则；若，则，综上，是的“好集合”.（3）【解析】【分析】（1）根据好集合的定义判断即可；（2）先就、分类讨论，后者再就不同的取值分类讨论后可得是的“好集合”；（3）先由特例得，再利用反证法证明任意个元素的子集必定为“好集合”，从而可得的最小值.【小问1详解】略【小问2详