广东佛山顺德区2026-2027学年高三上学期第一次模拟数学试卷（含答案）

/高三数学共4页，19小题，满分150分，用时120分钟．注意事项：1．答卷前，请务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上，并在答题卡相应位置上填涂考生号．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.i是虚数单位，则的共轭复数是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法求解，再根据共轭复数的概念求解即可.【详解】，共轭复数为.故选：B2.已知向量，，则（）A. B.6 C. D.8【答案】C【解析】【详解】因为，，所以，所以.3.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由集合的交集运算求解．【详解】，则．4.已知抛物线：的焦点为，过的直线与相交于，两点，若线段的中点到轴的距离为3，则（）A.4 B.8 C.12 D.16【答案】B【解析】【分析】利用抛物线的定义结合中点坐标公式，由中点到轴的距离推导弦长的值.【详解】首先抛物线满足，即，因此焦点为，准线方程为.设，，线段的中点为，由题意得到轴的距离为3，故.根据抛物线的定义可得：，,弦长，由中点坐标公式得，即，代入得.5.在的展开式中，含项的系数为，则（）A.7 B.8 C.9 D.10【答案】D【解析】【详解】由题意：.6.已知函数在上单调，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出内层函数在的取值范围，结合正弦函数的单调区间列不等式求解的范围。

【详解】令，由可知是关于的单调递增函数.当时，代入得,函数在上单调，等价于在上单调,正弦函数的单调递增区间为，单调递减区间为,由于且左端点为，不属于任何单调递减区间，因此必须完全包含于时的单调递增区间，即,结合，解得,即.7.已知一个圆台的上、下底面半径分别为1和4，若该圆台内部存在一个与上下底面和侧面都相切的球，则该圆台的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】圆台有内切球，母线长，求圆台的高，圆台的体积公式，代入，，，即.8.已知函数有五个不同的零点，，，，，其中且，记集合，则的元素个数为（）A.7 B.8 C.9 D.10【答案】A【解析】【分析】根据抽象函数的定义，分析函数零点的性质，将不同函数零点用一个函数零点表示，进而分析出集合中有多少种不同的元素，即可求解.【详解】如果是函数的零点，即，那么用代换可得，，即也是函数的一个零点，而因为零点共有五个，因此必有一个零点满足，即必为函数的一个零点，根据零点的大小关系，，故剩下的四个零点必然互为倒数，即，，而因为，因此联立，得，，，，根据条件集合中的元素可能包括，，，，，，，，，，根据集合的性质，集合中共有7个不同的元素.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.过点作圆：的切线，则的方程为（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】先判断点在圆外，分斜率不存在、斜率存在两种情况设切线方程，利用圆心到直线距离等于半径求解切线.【详解】将代入圆的方程左侧得，故点在圆外，存在两条切线.当斜率不存在时：直线，过，圆心距，切线：；当斜率存在时，设，即.由圆心到切线距离等于半径：，两边平方：，整理得.代入得，化简得.综上所述，切线方程为或.10.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，问塔的顶层有几盏灯．现将该塔各层的灯数按从上到下的顺序依次记为数列，则下列说法正确的是（）A.B.设，则数列的前7项和C.从数列中任意取出不同的三项，这三项可能构成等差数列D.从该塔中随机抽取两层，使得这两层灯数之积大于1000的取法有9种【答案】ABD【解析】【详解】由题意得，是等比数列，公比，项数，前7项和，等比数列求和公式：，解得，故A正确；，是等差数列，，，，即，故B正确；是等比递增数列，公比，假设存在三项，，成等差数列，则，，化简：，右边是奇数加偶数，结果为奇数；左边是2的整数次幂，大于1必为偶数，矛盾，故C错误；求两层灯数乘积的组合，数列；，各项：3，6，12，24，48，96，192，若两项中有一个为：，，，，，，有5种；两项中有一个为：：，，，，有3种；两项中有一个为：：，有1种；合计9种，故D正确.11.已知点，分别为双曲线：的左右顶点，点为上异于，的动点，直线，与轴的两个交点分别为，，下列结论正确的是（）A.双曲线的离心率为 B.直线，的倾斜角互余C.以线段为直径的圆过的顶点 D.的取值范围是【答案】ACD【解析】【分析】通过等轴双曲线的性质，结合直线方程、斜率、圆的几何特征、距离范围求解等知识点，通过设双曲线上动点的坐标，结合双曲线方程逐一验证各选项即可.【详解】

根据题意，如图所示：对于A，双曲线的标准形式为，为等轴双曲线，，，离心率，故A正确；对于B，设，满足，，，则，若均为负，对应倾斜角均为钝角，不满足互余，故B错误；对于C，直线的方程为，令得，所以直线的斜率，，故，即在以为直径的圆上，故C正确；对于D，直线的方程为，令得，则，由得，故，即，取值范围为，D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．其中第14题第一空2分，第二空3分．12.已知数列，均为等差数列，且，，则_____．【答案】【解析】【分析】利用等差数列的等差中项性质，将两个已知等式相加，整体转化为所求式的倍数关系求解.【详解】设等差数列的公差为，等差数列的公差为，其中.根据等差数列的等差中项性质：对于任意等差数列，若，则.将已知两个等式相加，可得：，又，.所以，所以.13.直线与曲线相切，则_____．【答案】【解析】【分析】利用导数的几何意义，先求出切点横坐标，再确定切点坐标，代入直线方程即可求得的值.【详解】直线的斜率，曲线的定义域为，对其求导得：.令，即，解得，满足，将代入曲线方程，得，即切点坐标为.由于切点在切线上，将代入直线方程，得，解得.14.如图所示，在六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱、、、均垂直于底面，且，现需用一个平面将该六面体截成两部分，并重新拼接成一个新的三棱柱，则所拼成的新三棱柱中，最小的表面积为_____．【答案】【解析】【分析】根据几何体特征分析拼接成三棱柱的方法，通过拼接后三棱柱的表面积计算公式计算不同情况的表面积，通过比较即可求解得到表面积的最小值.【详解】通过分析有四种分割方法，其中，均为所在边中点，按照不同方式分割后，以平面为例，有如下三种不同的拼接方式若按第一种方式进行拼接，拼接后的三棱柱的底面是4,4为边长的等腰直角三角形，高为，因此对应的三棱柱的底面积为，侧面面积为，故表面积为.若按第二种方式拼接，拼接后的三棱柱的底面是以5为腰长，以6为底的等腰三角形，高为，因此对应的三棱柱的底面积为，侧面面积为，故表面积为，若按照第三种方式拼接，拼接后的三棱柱的底面积为24，高为4，侧面积为，故表面积最小为88.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知的内角，，所对的边，，成等差数列，且．（1）求角的大小；（2）若，求的周长．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先利用等差数列性质、正弦定理得到三边的比例关系，再由余弦定理求角；（2）根据向量数量积运算求的值，结合三边比例求出各边长，进而得到三角形周长.【小问1详解】因为边成等差数列，所以

.由正弦定理（为外接圆半径），对角化边得：.联立2b=a+cb−设，，（），由余弦定理：

.因为

，所以.【小问2详解】由平面向量数量积的定义，.代入，得：，解得.由（1）知，，故，解得（边长为正，舍去负根）.则，.所以的周长为.16.某医院为了了解甲、乙两种疗法对某种疾病的治疗效果，采用简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查，得到如下数据：接受甲种疗法的病人共有人，其中治愈了人；接受乙种疗法的病人也是人，其中治愈了人．（1）请根据上述信息完成如下列联表；疗法疗效合计治愈未治愈甲

乙

合计

（2）根据小概率值的独立性检验，分析甲、乙两种治疗方案对疗效是否有影响；（3）按分层抽样的方法，在所有治愈的病人中抽出人，再从这人中随机抽出人．设这人中使用了甲种治疗方法的人数为，求的分布列以及数学期望．附：，0.050.010.0053.8416.6357.879【答案】（1）疗法治愈未治愈合计甲乙合计（2）依据小概率值的独立性检验，认为甲、乙两种治疗方案对疗效没有显著影响（3）的分布列为：数学期望【解析】【分析】（1）根据题干样本数据补全列联表；（2）根据题意，代入卡方公式计算统计量完成独立性检验即可；（3）根据题意，结合分层抽样规则确定超几何分布参数即可求解.【小问1详解】已知接受甲疗法共人，治愈人，故甲未治愈人数为；接受乙疗法共人，治愈人，故乙未治愈人数为；治愈总人数为，未治愈总人数为，总样本量为，填入表格即得下述列联表：疗法治愈未治愈合计甲乙合计【小问2详解】提出零假设：甲、乙两种治疗方案与疗效无关联，即两种方案对疗效无影响，计算卡方统计量：令，代入公式得，对比临界值：对应的临界值为，由于，没有充分证据拒绝，因此认为甲、乙两种治疗方案对疗效没有显著影响.【小问3详解】根据题意，分层抽样的抽样比为，故抽取的名治愈病人中，甲疗法的人数为，乙疗法的人数为，所以服从参数的超几何分布，可能取值为，且，计算得，因此，，，，所以的分布列为：由超几何分布期望公式得.17.如图，在四棱锥中，四边形为正方形，，，且平面平面．点为的中点，点，分别为线段，上的动点．（1）当点为的中点时，求证：平面平面；（2）求的最小值；（3）当取到最小值时，求平面与平面夹角的余弦值．【答案】（1）取中点，连接.由，得，.又因为平面平面，且，平面平面，所以平面，面，所以.又因为分别是的中点，所以.因为四边形为正方形，所以，因此.以为原点，为轴，为轴，为轴建立坐标系，如图：则各点坐标为：

，.当为中点时，由中点坐标公式得.平面内的向量，，设平面的法向量，则，，令，则，.平面内的向量，，设平面的法向量为，则，，令，，.因为，所以，因此平面平面.（2）（3）【解析】【分析】（1）取中点，由面面垂直的性质可得平面，进而建立空间直角坐标系，用向量方法证明面面垂直可得；（2）分别设（），，，进而可得，再通过两次放缩可得最小值；（3）由（2）可知取到最小值时，与重合，再用向量方法计算面面夹角的余弦值可得.【小问1详解】略【小问2详解】因为在上，设（），同理在上，，设，，所以，得.所以，，因为，所以，即时，此时分别为的中点，，即.因此的最小值为.【小问3详解】由（2）知当取最小值时，，此时分别为的中点，所以与重合.平面是的坐标平面，其一个法向量为.平面即为平面，，，设平面的一个法向量为，则，，令，则，.设平面与平面夹角为，，则.因此平面与平面夹角的余弦值为.18.已知函数，．（1）当时，求函数的极值；（2）讨论函数的单调性；（3）讨论函数的零点个数．【答案】（1）的极小值为，无极大值；（2）时，在上单调递增，在上单调递减；时，在R上单调递增；时，在，上单调递增，在上单调递减；时，在，上单调递增，在上单调递减.（3）或或时，有2个零点；时，有1个零点；或时，有3个零点；【解析】【分析】（1）求定义域，求导，得到函数的极值点情况，进而得到极值情况；（2）求定义域，求导，分，，和四种情况，分类讨论，求出函数单调性；（3）先得到2为的一个零点，在（2）的基础上进行分类讨论，得到函数的零点个数.【小问1详解】时，，定义域为，，令得，令得，则在上单调递增，令得，则在上单调递减所以为函数的极小值点，且，所以的极小值为，无极大值；【小问2详解】，定义域为，，当时，恒成立，令得，令得，此时的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，，，故的单调递增区间为，无递减区间；当时，令得或，令得，此时的单调递增区间为，，单调递减区间为；当时，令得或，令得，此时的单调递增区间为，，单调递减区间为；综上，时，在上单调递增，在上单调递减；时，在上单调递增；时，在，上单调递增，在上单调递减；时，在，上单调递增，在上单调递减；【小问3详解】，显然，故2为的一个零点，由（2）知，时，的单调递增区间为，单调递减区间为；恒成立，当趋向于时，趋向于，由零点存在性定理可得上，存在一个零点，故有2个零点；时，的单调递增区间为，，单调递减区间为，，，故2为的唯一零点；时，在上单调递增，，故有1个零点；时，的单调递增区间为，，单调递减区间为，，当趋向于时，趋向于，当趋向于时，趋向于，若，即时，共有2个零点，分别为1和2；若，即时，共有1个零点，即2；若，即时，若，即时，共有2个零点，其中一个零点为2，另一个零点位于上，若，即时，在和上分别有1个零点，又2也是零点，故共有3个零点；若，即时，在和上分别有1个零