湖南省长沙市2026-2027学年高二上学期第一次月考数学自编卷01（人教A版必修一、二、选必一1-2单元）（解析版）

湖南省长沙市2026-2027学年高二上学期第一次月考自编卷01数学试题（解析版）题号12345678910答案CCCABADBACDBCD题号11答案AD1．C【分析】由已知条件，求出及，然后利用向量的夹角公式即可求解.【详解】解：因为，，，所以，，所以，故选：C.2．C【分析】直接求出方程组的解，再用列举法表示即可.【详解】由，消去得，解得，所以方程组的解为或，所以方程组的解集.故选：C3．C【分析】利用三角函数图象的平移变换，得到y＝sin，然后根据得到的图象对应函数为g（x）＝cos，由sin＝cos求解.【详解】将函数f（x）＝sin（2x＋φ）（0＜φ<π）的图象向左平移个单位后，得到y＝sin＝sin的图象．又因为所得到的图象对应函数为g（x）＝cos，∴sin＝cos，∵0＜φ＜π，∴2x＋＝－，得φ＝.故选：C4．A【分析】根据奇偶性、单调性排除选项求解【详解】由图可知，关于原点中心对称，且不是上的单调函数；对于B，是偶函数，不符合，排除B；对于C，的定义域不含，不符合，排除C；对于D，由复合函数的单调性知是单调递增函数，排除D；所以A正确.5．B【分析】设，把转化成，再结合函数的奇偶性，把不等式转化成，再结合的单调性，得到，分离参数，根据二次函数的性质，可求实数的取值范围.【详解】令，则，由，可得，即，.因为是定义在上的减函数，所以也是定义在上的减函数，故，即.因为，所以，即实数的取值范围是.故选：B6．A【分析】根据已知条件，将变换为，利用基本不等式乘1法，即可求得其最小值.【详解】∵，∴，当且仅当，联立，解得，时取等号.则的最小值为.故选：A7．D【分析】先根据锥体体积公式表示出；再根据内切球的特点，利用分割法表示出，建立关于的等式；最后利用函数的单调性即可求解.【详解】

取棱中点，记为.由题意得：，，.因为，平面，平面.所以平面.则.设，四面体PABC内切球的半径为.因为AP，AB，AC两两垂直，.，则，.所以在中，，.则的面积为，因为.所以四面体PABC内切球的半径.因为是关于的增函数，，所以的解集为.故选：D【点睛】关键点点睛：本题考查几何体内切球问题及锥体的体积公式.解题关键在于根据内切球的特点，利用分割法及锥体体积公式两种方法表示出，建立关于内切球半径的等式，再利用函数的单调性求解.8．B【分析】对于A，进行三次赋值，，，即可判断；对于B，讨论，，结合条件，即可判断；对于C，分别令即可判断；对于D，由的奇偶性和对称性进行赋值，可得周期性，即可判断.【详解】对于A，令，则，令，则，所以，因为，所以，令，则，故A正确；对于B，结合选项A可得，所以或，若，则，所以，此时与矛盾，舍去；若，则，解得，因为，所以，故B错误；对于C，令则，因为，，所以，所以为偶函数，令，则，所以，令，则，即，故C正确；对于D，由为偶函数，得，则，则，所以，故D正确.故选：B.【点睛】方法点睛：抽象函数求值问题，一般是通过赋值法，即在已知等式中让自变量取特殊值求得一些特殊的函数值，解题时注意所要求函数值的变量值与已知的量之间的关系，通过赋值还可能得出函数的奇偶性、周期性，这样对规律性求值起到决定性的作用．9．ACD【分析】根据空间向量共面的判定定理，结合基底的概念，对每个选项逐一分析向量是否共面，即可得出结果.【详解】因为是空间的一个基底，所以不共面.对于A，因为向量分别与向量共线，所以不共面，故A正确；对于B，因为，所以共面，故B错误；对于C，若共面，则存在唯一的实数对，使得，则，方程组无解，故矛盾，所以不共面，故C正确；对于D，若共面，则存在唯一的实数对，使得，则，方程组无解，故矛盾，所以不共面，故D正确.故选：ACD.10．BCD【分析】A选项先利用，再按照数量积运算即可；B选项由平行四边形法则即可判断；C选项通过解方程组即可；D选项先表示出，再结合余弦函数的范围求出最小值.【详解】，A错误；由知，，结合，故在的平分线上，而，故E为弧的中点，又，由平行四边形法则可知则，故，B正确.由知，，设，则解得故，C正确.，，所以当时，取得最小值，D正确.11．AD【分析】首先可证平面，即可得到点在平面上（包括边界），通过证明平面平面判断A，利用特殊位置判断B，先证明平面，即可判断C，利用空间向量法判断D；【详解】解：在正方体中，，平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又，所以点在平面上（包括边界），又，平面，平面，所以平面，同理可得平面，，平面，所以平面平面，因为平面，平面，所以平面，又平面平面，所以，即位于正方体的表面，故A正确；对于B，设到平面的距离为，则显然当和（不包括点）时不一样，则三棱锥的体积不一样，故B错误；如图建立空间直角坐标系，令正方体的棱长为，则，，，，，所以，，，所以，，即，，，平面，所以平面，若平面，则，显然在平面上（包括边界）不存在点，使得，故C错误；因为设，，，所以，即，又，所以，，，设所以，的夹角为，则，当时，，当时，因为，所以，所以，所以，因为，所以，综上可得，故D正确；故选：AD【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是确定点所在位置，再结合空间向量法运算；12．8【解析】先判断和，再根据基本不等式求的最小值即可.【详解】解：因为，所以，，所以当且仅当即时，取等号，所以的最小值是8.故答案为：①8；②13．；【分析】将不等式整理得，①将代入即可求解；②利用恰有2个整数解可得或，接着分和时进行讨论即可【详解】由可得，①将代入可得，解得，故不等式的解集为；②由题意可得恰有2个整数解，，即或，当时，不等式解为，，恰有两个整数解为1，2，，解得；当时，不等式解为，，恰有两个整数解为，，解得，综上，的取值范围为.故答案为：；14．【分析】作出辅助线，根据，得到方程，求出，，的最小正周期，分和，分别求出，，，求出函数解析式，代入求值，得到答案.【详解】如图，连接CD，OD，作DE垂直轴于点E，因为，所以四边形OBCD为平行四边形，，，又，解得，，由对称性得，的最小正周期，若，则，由点在图象上，可知，故，，解得，，由得，，，解得，所以，，故；若，则，由点在图象上，可知，故，，解得，，由得，，，解得，所以，，故.故答案为：15．(1)2(2)(3)【分析】（1）根据任意角三角函数的定义可得.（2）根据诱导公式及同角三角函数关系式化简，然后代入的值可求得的值；或利用诱导公式化简后，直接由定义求得，代入求值即可.（3）利用，构建同角正、余弦的齐次分式，化简后代入的值可求得的值；或直接由定义求得，代入求值即可.【详解】（1）根据任意角三角函数的定义可得（2）由（1）知.因为，且，所以.所以的值为.方法二：根据任意角三角函数的定义可得.所以.所以的值为.（3）由（1）知.因为，，且，所以.所以的值为.方法二：由（2）知，.所以.所以的值为.16．（1）见解析；（2）变换过程见解析.【详解】试题分析：（1）令分别去，分别求出对应的纵横坐标，然后列表、描点，平滑曲线连接即可；（2）首先，横坐标不变纵坐标变为原来的三分之一，然后纵坐标不变横坐标变为原来的2倍，最后向左平移个单位即可.试题解析：（1）①列表②描点，连线（2）.将函数图象上各点横坐标不变纵坐标变为原来的三分之一，得到函数的图象；的图象上各点纵坐标不变横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象；的图象上各点向左平移个单位，得到的图象.17．（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）本题可连结交于点，连接，然后根据为中点、点是中点得出，最后根据线面平行的判定即可证得结论；（2）本题可通过依次求出、、、得出结果.【详解】（1）如图，连结交于点，连接，因为底面是矩形，所以为中点，因为点是中点，所以，因为平面，平面，所以平面.（2）因为底面，、平面，所以，，，易知，，因为，，，所以为直角三角形，，因为，所以.18．(1)海里(2)巡逻艇应该沿北偏东的方向去追【分析】（1）利用余弦定理即可求解；（2）设经过小时巡逻艇追上走私船，利用正弦定理列式进行求解.【详解】（1）根据题意得：，，所以为等边三角形，所以，又，所以，，在中，由余弦定理得：，所以，解得（海里）；（2）因为，所以，根据正弦定理可得，即，解得，即，，因为，所以，设经过小时巡逻艇追上走私船，所以，根据正弦定理可得，即，解得，即，，该方向与正东方向夹角为，因此北偏东，即巡逻艇应该沿北偏东的方向去追，才能最快追上走私船.19．(1);