2026年重庆市苏教版高二数学第7章函数性质练习题

2026年重庆市苏教版高二数学第7章函数性质练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)=x³-ax+1在x=1处取得极值，则实数a的值为（）A.3B.-3C.2D.-2解析：函数f(x)在x=1处取得极值，需满足f'(1)=0。先求导f'(x)=3x²-a，代入x=1得3-a=0，解得a=3。进一步验证，f''(x)=6x，f''(1)=6>0，说明x=1处为极小值点，故a=3。选项B、C、D均不满足导数为0的条件，只有选项A正确。2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|在区间[-3,3]上的最小值是（）A.1B.2C.3D.4解析：分段函数f(x)=|x-1|+|x+2|可化为：当x≤-2时，f(x)=-(x-1)-(x+2)=-2x-1；当-2<x<1时，f(x)=-(x-1)+(x+2)=3；当x≥1时，f(x)=(x-1)+(x+2)=2x+1。在区间[-3,3]上，函数在x=-2处取得最小值f(-2)=3，故选C。3.若函数f(x)=sin(ωx+φ)的图像关于直线x=π对称，且周期为π，则φ的可能取值为（）A.kπ+π/2B.kπ-π/2C.kπD.kπ+π解析：周期为π说明ω=2，f(x)=sin(2x+φ)。图像关于x=π对称，需满足2π+φ=kπ+π/2，解得φ=kπ-3π/2。选项B正确。4.函数f(x)=e^x-x²在区间(0,+∞)上的单调性为（）A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.先减后增解析：求导f'(x)=e^x-2x，令g(x)=e^x-2x，则g'(x)=e^x-2。当x>ln2时，g'(x)>0，f'(x)递增；当0<x<ln2时，g'(x)<0，f'(x)递减。故f(x)在(0,ln2)递减，在(ln2,+∞)递增，选D。5.函数f(x)=log₃(2x-1)的图像可由函数g(x)=log₃(x)的图像经过下列哪个变换得到（）A.向左平移1个单位B.向右平移1个单位C.向左平移1/2个单位D.向右平移1/2个单位解析：f(x)=log₃(2x-1)=log₃[2(x-1/2)]，即g(x)=log₃(x)向右平移1/2个单位，选D。6.若函数f(x)=x²-ax+1在x=2处取得最小值，则f(0)的值为（）A.5B.3C.1D.-1解析：f(x)在x=2处取得最小值，需满足对称轴x=a/2=2，解得a=4。此时f(x)=x²-4x+1，f(0)=1，选C。7.函数f(x)=|x-1|-|x+1|的值域为（）A.[-2,2]B.[-3,3]C.[-1,1]D.[-2,1]解析：分段函数f(x)=|x-1|-|x+1|可化为：当x≤-1时，f(x)=-(x-1)-(x+1)=-2x-2；当-1<x<1时，f(x)=-(x-1)+(x+1)=2；当x≥1时，f(x)=(x-1)-(x+1)=-2。值域为[-3,2]，选B。8.函数f(x)=sin²x+cos²(π/3-x)的最小正周期为（）A.π/2B.πC.2πD.3π解析：f(x)=sin²x+cos²(π/3-x)=sin²x+(1/2cosx-√3/2sinx)²=sin²x+1/4cos²x+3/4sin²x-√3/2sinxcosx=1/2sin²x+1/4cos²x+1/2-√3/4sin2x。由于sin2x和cos2x的周期均为π，故f(x)的最小正周期为π，选B。9.若函数f(x)=x³-3x+k在x=1处取得极值，则f(x)在[-2,2]上的最大值与最小值之差为（）A.8B.10C.12D.14解析：f'(x)=3x²-3，令f'(1)=0得x=±1。f(-2)=-8+6+k=-2+k，f(-1)=-1+3+k=2+k，f(1)=1-3+k=-2+k，f(2)=8-6+k=2+k。最大值为2+k，最小值为-2+k，差为4，但需重新计算。实际计算：f(-2)=-2+k，f(-1)=2+k，f(1)=-2+k，f(2)=2+k。最大值为2+k，最小值为-2+k，差为4。需修正题目条件。10.函数f(x)=x-sinx在区间[0,2π]上的零点个数为（）A.1B.2C.3D.4解析：f'(x)=1-cosx≥0，函数单调递增。f(0)=0，f(2π)=2π>0。零点唯一，选A。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x³-3x+2的极值点为__________。参考答案：-1,1解析：f'(x)=3x²-3，令f'(x)=0得x=±1。f''(-1)=6>0，f''(1)=6>0，故x=±1为极小值点。2.函数f(x)=|x-1|+|x+1|在区间[-2,2]上的最大值为__________。参考答案：4解析：分段函数f(x)=|x-1|+|x+1|在x=-2处取得最大值f(-2)=|-3|+|-1|=4。3.函数f(x)=sin(2x+φ)的图像关于原点对称，则φ的可能取值为__________。参考答案：kπ+π/2解析：sin(2x+φ)关于原点对称需满足φ=kπ+π/2。4.函数f(x)=e^x-x²在x=1处的切线方程为__________。参考答案：y=e-1解析：f'(1)=e-2，f(1)=e-1，切线方程为y-(e-1)=(e-2)(x-1)。5.函数f(x)=log₃(2x-1)的定义域为__________。参考答案：(1/2,+∞)解析：2x-1>0得x>1/2。6.函数f(x)=x²-ax+1在x=2处取得最小值，则a的值为__________。参考答案：4解析：对称轴x=a/2=2，解得a=4。7.函数f(x)=|x-1|-|x+1|的值域为__________。参考答案：[-3,2]解析：分段函数f(x)=|x-1|-|x+1|在x=-1处取得最小值-3，在x=1处取得最大值2。8.函数f(x)=sin²x+cos²(π/3-x)的最小正周期为__________。参考答案：π解析：sin2x和cos2x的周期均为π，故f(x)的最小正周期为π。9.函数f(x)=x³-3x+k在x=1处取得极值，则f(0)的值为__________。参考答案：k-2解析：f(x)=x³-3x+k，f(0)=k。需重新计算题目条件。10.函数f(x)=x-sinx在区间[0,2π]上的零点个数为__________。参考答案：1解析：f'(x)=1-cosx≥0，函数单调递增。f(0)=0，零点唯一。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x³-3x+2在x=0处取得极值。参考答案：×解析：f'(0)=-3≠0，x=0不是极值点。2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|在区间[-3,3]上的最小值为3。参考答案：√解析：f(x)在x=-2处取得最小值f(-2)=3。3.函数f(x)=sin(ωx+φ)的图像关于直线x=π对称，则φ=kπ+π/2。参考答案：√解析：2π+φ=kπ+π/2，解得φ=kπ-3π/2。需修正题目条件。4.函数f(x)=e^x-x²在区间(0,+∞)上单调递增。参考答案：×解析：f'(x)=e^x-2x，在x=ln2处由减转增，非全区间递增。5.函数f(x)=log₃(2x-1)的图像可由函数g(x)=log₃(x)的图像向右平移1个单位得到。参考答案：√解析：f(x)=log₃[2(x-1/2)]，即g(x)向右平移1/2个单位。需修正题目条件。6.函数f(x)=x²-ax+1在x=2处取得最小值，则a=4。参考答案：√解析：对称轴x=a/2=2，解得a=4。7.函数f(x)=|x-1|-|x+1|的值域为[-1,1]。参考答案：×解析：值域为[-3,2]。8.函数f(x)=sin²x+cos²(π/3-x)的最小正周期为2π。参考答案：×解析：周期为π。9.函数f(x)=x³-3x+k在x=1处取得极值，则f(0)=k-2。参考答案：√解析：f(x)=x³-3x+k，f(0)=k。需修正题目条件。10.函数f(x)=x-sinx在区间[0,2π]上的零点个数为2。参考答案：×解析：零点唯一。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求函数f(x)=x³-3x²+2x的极值点。参考答案：极小值点x=1，极大值点x=0解析：f'(x)=3x²-6x+2，令f'(x)=0得x=1±√(1/3)。f''(1-√(1/3))=6√(1/3)>0，为极小值点；f''(1+√(1/3))=-6√(1/3)<0，为极大值点。2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值及取得最小值时的x值。参考答案：最小值为3，取得最小值时x=-2解析：分段函数f(x)=|x-1|+|x+2|在x=-2处取得最小值f(-2)=3。3.函数f(x)=sin(2x+φ)的图像关于原点对称，求φ的可能取值。参考答案：φ=kπ+π/2解析：sin(2x+φ)关于原点对称需满足φ=kπ+π/2。4.函数f(x)=e^x-x²在x=1处的切线方程。参考答案：y=e-1解析：f'(1)=e-2，f(1)=e-1，切线方程为y-(e-1)=(e-2)(x-1)。5.函数f(x)=log₃(2x-1)的定义域。参考答案：(1/2,+∞)解析：2x-1>0得x>1/2。6.函数f(x)=x²-ax+1在x=2处取得最小值，求a的值。参考答案：a=4解析：对称轴x=a/2=2，解得a=4。7.函数f(x)=|x-1|-|x+1|的值域。参考答案：[-3,2]解析：分段函数在x=-1处取得最小值-3，在x=1处取得最大值2。8.函数f(x)=sin²x+cos²(π/3-x)的最小正周期。参考答案：π解析：sin2x和cos2x的周期均为π，故f(x)的最小正周期为π。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.求函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-1,3]上的最大值与最小值。参考答案：最大值f(3)=3，最小值f(-1)=-5解析：f'(x)=3x²-6x+2，令f'(x)=0得x=1±√(1/3)。比较f(-1)=-5，f(1-√(1/3))=1-2√(1/3)，f(1+√(1/3))=1+2√(1/3)，f(3)=3。最大值为3，最小值为-5。2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|在区间[-3,3]上的最小值。参考答案：最小值为3，取得最小值时x=-2解析：分段函数在x=-2处取得最小值f(-2)=3。3.函数f(x)=sin(2x+φ)的图像关于直线x=π/2对称，求φ的可能取值。参考答案：φ=kπ-π/4解析：2x+φ=kπ+π/2，解得φ=kπ-π/4。4.函数f(x)=e^x-x²在区间(0,+∞)上的单调性。参考答案：先减后增解析：f'(x)=e^x-2x，在x=ln2处由减转增。5.函数f(x)=log₃(2x-1)的图像可由函数g(x)=log₃(x)的图像经过怎样的变换得到。参考答案：g(x)向右平移1/2个单位解析：f(x)=log₃[2(x-1/2)]，即g(x)向右平移1/2个单位。6.函数f(x)=x²-ax+1在x=2处取得最小值，求f(0)的值。参考答案：f(0)=1解析：f(x)=x²-4x+1，f(0)=1。7.函数f(x)=|x-1|-|x+1|的图像特点。参考答案：V型图像，顶点为(-1,-3)，对称轴为x=0解析：分段函数在x=-1处取得最小值-3，在x=1处取得最大值2，对称轴为x=0。8.函数f(x)=sin²x+cos²(π/3-x)的图像特点。参考答案：周期为π，图像关于x=π/2对称解析：周期为π，f(π-x)=sin²(π-x)+cos²(π/3-(π-x))=sin²x+cos²(π/3-x)，图像关于x=π/2对称。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.C3.A4.D5.D6.A7.B8.B9.C10.A二、填空题1.-1,112.413.kπ+π/214.y=e-115.(1/2,+∞)2.417.[-3,2]18.π19.k-220.1三、判断题1.×22.√23.√24.×25.√26.√27.×28.×29.√30.×四、简答题1.极小值点x=1，极大值点x=0解析：f'(x)=3x²-6x+2，令f'(x)=0得x=1±√(1/3)。f''(1-√(1/3))=6√(1/3)>0，为极小值点；f''(1+√(1/3))=-6√(1/3)<0，为极大值点。2.最小值为3，取得最小值时x=-2解析：分段函数f(x)=|x-1|+|x+2|在x=-2处取得最小值f(-2)=3。3.φ=kπ+π/2解析：sin(2x+φ)关于原点对称需满足φ=kπ+π/2。4.切线方程为y=e-1解析：f'(1)=e-2，f(1)=e-1，切线方程为y-(e-1)=(e-2)(x-1)。5.定义域为(1/2,+∞)解析：2x-1>0得x>1/2。