2026-2027学年河北省部分学校高三（上）第一次联考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年河北省部分学校高三（上）第一次联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.数据2，3，3，5，7，9，11，12的上四分位数为(

)A.9 B.10 C.11 D.11.52.已知复数z=(1+i)21+3A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知集合A={0,1,2}，B⊆R，且(∁RA)∩B=⌀，则集合B的个数为A.3 B.6 C.7 D.84.已知总体分为A，B两层，且A层与B层的个体数之比为3：1，用比例分配的分层随机抽样的方法从总体中抽取一个容量为8的样本.若B层中的个体甲、乙均被抽到的概率为121，则总体的个体数为(

)A.7 B.20 C.28 D.325.(x2+x−2)8的展开式中，A.8 B.36 C.16 D.326.已知F1，F2分别是椭圆C：x2a2+y24A.a2 B.a2−4 C.47.在△ABC中，AB=7，AC=8，cosA=27，O是△ABC的外心，若OP=xOB+yOCA.27510 B.27558.已知定义在R上的函数f(x)满足：f(x+1)的图象关于点(−1,0)对称，且当−2π≤x≤0时，f′(x)sinx3+A.3f(π)<3f(2π)<−f(−π2) 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，将f(x)的图象向右平移π12个单位长度得到函数g(x)A.f(x)的最小正周期为π B.g(x)为偶函数

C.f(x)的图象关于直线x=−2π3对称 D.g(x)在10.如图，在矩形ABCD中，E，F分别为边AD，BC上的点，且AD=3AE，BC=3BF，AB=DE，P为线段AF上一点，Q为线段CE的中点，将四边形ABFE沿着直线EF折起，使得AE⊥平面CDEF，则(

)

A.存在点P，使得PQ⊥DF B.存在点P，使得PQ//ED

C.对任意点P，直线PQ与直线CD异面 D.存在点P，使得PQ⊥EF11.已知抛物线C：y2=2px(p>0)，A(1,1)为C上一点，过点B(−1,0)的直线交C于M，N两点，O为坐标原点，则(

)A.C的焦点坐标为(12,0) B.直线AB与C相切

C.|OM|⋅|ON|>2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量a=(−1,1)，b=(1,−2)，则b在a上的投影向量为

.(用坐标表示)13.已知圆O：x2+y2=9，A(x1,y1)、B(x14.在正四面体ABCD中，E为棱AC上一点，过点E作平面α，使得AB/​/α，CD//α，若AB，CD到平面α的距离分别为2和8，则该正四面体的外接球被平面α截得的截面的面积为

．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

某社区准备开展“诵读国学经典，积淀文化底蕴”活动.为调查不同年龄段的人对此项活动的态度，在该社区随机抽取了300人，统计结果如下：50岁以下50岁及以上合计支持态度的人数16060220不支持态度的人数503080合计21090300(1)根据小概率值α=0.005的独立性检验，判断所持态度与年龄是否在50岁以下是否有关联；

(2)以频率估计概率，若在该社区所有年龄在50岁及以上的人中随机抽取4人，记4人中持支持态度的人数为X，求X的分布列和数学期望．

附：χ2=n(ad−bcα0.010.0050.001x6.6357.87910.82816.(本小题15分)

在数列{an}中，a1=1，a2=4，an+2+2an=3an+1．

17.(本小题15分)

如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥BC，AB=BC=2，侧面ACC1A1为菱形，点D为AC的中点，A1D⊥平面ABC．

(1)证明：BD⊥平面ACC1A118.(本小题17分)

已知动点P(x,y)，点F(3,0)，点P到直线l：x=13的距离为d，满足|PF|=3d的点P的轨迹为曲线C，过F的直线l1与曲线C交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点．

(1)求C的方程；

(2)记|AF|⋅|BF||AB|2=t，F关于y轴的对称点为F′．

(i)若x1>0，x2>019.(本小题17分)

已知集合D为函数f(x)，g(x)的定义域的一个子集，若∀x∈D，存在常数k，b，使得不等式g(x)≤kx+b≤f(x)，则称直线y=kx+b为函数f(x)，g(x)在D上的隔离直线．

(1)求函数f(x)=x2的图象在点(1,f(1))处的切线方程，并判断该切线是否是f(x)与g(x)=−x2+4x−3在R上的隔离直线；

(2)若直线y=x+b为函数f(x)=ex，g(x)=lnx在(0,+∞)上的隔离直线，求b的取值范围；

(3)证明：函数f(x)=−x−1x，g(x)=2+1x在(−∞,0)上过原点的隔离直线仅有一条；1.【答案】B

2.【答案】A

3.【答案】D

4.【答案】C

5.【答案】A

6.【答案】C

7.【答案】B

8.【答案】D

9.【答案】ABD

10.【答案】AD

11.【答案】BCD

12.【答案】(313.【答案】614.【答案】66π

15.【答案】解：(1)零假设H0：所持态度与年龄是否在50岁以下无关联．

根据列联表中的数据，计算得到χ2=300(160×30−60×50)2220×80×210×90≈2.922<7.879=x0.005，

根据小概率值α=0.005的独立性检验，没有充分的证据推断H0不成立，

即认为所持态度与年龄是否在50岁以下无关联．

(2)在50岁及以上的人群中持支持态度的频率为6090=23，

所以估计该社区50岁及以上的人群中持支持态度的概率为23，

由题意知X∼B(4,23)，X01234P1883216所以E(X)=4×2316.【答案】解：(1)证明：因为an+2+2an=3an+1，所以an+2−an+1=2(an+1−an)，

又a2−a1=3≠0，所以an+1−an≠0，所以an+2−an+1an+1−an=2，

所以{an+1−an}是以317.【答案】(1)证明：因为D为AC的中点，AB=BC，所以BD⊥AC．

因为A1D⊥平面ABC，BD⊂平面ABC，所以A1D⊥BD．

又AC，A1D⊂平面ACC1A1，且AC∩A1D=D，

所以BD⊥平面ACC1A1．

(2)解：因为AB⊥BC，AB=BC=2，所以AC=2，BD=1．

因为四边形ACC1A1为菱形，且A1D⊥AC，所以A1D=3．

由(1)知DB，DC，DA1两两垂直，

故以D为坐标原点，DB，DC，DA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则D(0,0,0)，A(0,−1,0)，B(1,0,0)，A1(0,0,3)，B1(1,1,3)，

所以AA1=(0,1,3)，AB=A1B1=(1,1,0)，

设A1E18.【答案】解：(1)由题意得(x−3)2+y2=3|x−13|，

两边平方，得x2−6x+9+y2=9x2−6x+1，即8x2−y2=8，

故C的方程为x2−y28=1．

(2)(i)若l1的斜率不存在，则l1的方程为x=3，代入x2−y28=1，得y=±8，

|AF|=|BF|=8，|AB|=16，所以t=|AF|⋅|BF||AB|2=64162=14．

若l1的斜率存在，设l1的方程为y=k(x−3)，

代入x2−y28=1并整理得(8−k2)x2+6k2x−9k2−8=0，

则8−k2≠0Δ=(6k2)2−4(8−k2)(−9k2−8)=256(k2+1)>0x1+x2=6k2k2−8x1x2=9k2+8k2−8，

所以|AB|=1+k2(x1+x2)2−419.【答案】解：(1)由题意得f′(x)=2x，f′(1)=2，f(1)=1，

y=f(x)=x2在点(1,f(1))处的切线方程为y−1=2(x−1)，即y=2x−1，

又f(x)−(2x−1)=x2−2x+1=(x−1)2≥0，

g(x)−(2x−1)=−x2+4x−3−2x+1=−x2+2x−2=−(x−1)2−1<0，

所以g(x)≤2x−1≤f(x)在R上恒成立，

所以切线y=2x−1是f(x)，g(x)在R上的隔离直线．

(2)因为y=x+b是f(x)，g(x)在(0,+∞)上的隔离直线，

所以∃b∈R，使得∀x∈(0,+∞)，lnx≤x+b≤ex，

对lnx≤x+b，则b≥lnx−x，

令h(x)=lnx−x，则h′(x)=1x−1=1−xx，

当x∈(0,1)时，h′(x)>0，h(x)单调递增，当x∈(1,+∞)时，h′(x)<0，h(x)单调递减，

所以h(x)max=h(1)=−1，所以b≥−1．

对x+b≤ex，则b≤ex−x，令k(x)=ex−x，则k′(x)=ex−1>0(x>0)，

所以k(x)在(0,+∞)上单调递增，所以k(x)>k(0)=1，所以b≤1，

故实数b的取值范围为[−1,1]．

(3)证明：设f(x)，g(x)在(−∞,0)上过原点的隔离直线为y=kx，则

2+1x≤kx≤−x−1x，

所以∀x∈(−∞,0)，−1−1x2≤k≤2x+1x2．

当x∈(−∞,0)时，−1−1x2<−1，所以k≥−1，

当x∈(−∞,0)时，2x+1x2=(1x+1)2−1≥−1，所以k≤−