2026-2027学年湖南省永州市宁远一中崇德学校高三（上）模拟数学试卷（9月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年湖南省永州市宁远一中崇德学校高三（上）模拟数学试卷（9月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知i为虚数单位，若复数z满足：z+i∈R，则z的虚部为(

)A.1 B.−1 C.i D.−i2.已知集合A={x|−2<x<10}，B={x|x−12x−4≤0}，则(A.[−2,4] B.(−2,4] C.(−2,4) D.(−2,12]3.某市高三年级共有男生20000人，已知他们的身高X(单位：cm)近似服从正态分布N(170,52)，则身高落在区间[170,175]内的男生人数约为(

)

(参考数据：若X∼N(μ,A.3413 B.5120 C.6827 D.103284.在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，若AB=mAE+nADA.m−n=−12 B.m−n=12 C.5.已知a>0，则(ax3+1axA.2 B.4 C.8 D.166.《算法统宗》是一部中国古代数学名著，全称为《新编直指算法统宗》，由明代数学家程大位所著.该书在万历二十一年(即公元1593年)首次刊行，全书共有17卷.其主要内容涵盖了数学名词、大数与小数的解释、度量衡单位以及珠算盘式图和各种算法的口诀等基础知识.同时，书中还按照“九章”的次序列举了多种应用题及其解法，并附有图式说明.此外，《算法统宗》还包括了难题解法的汇编和不能归入前面各类别的杂法算法等内容.其中有一首诗，讲述了“竹筒容米”问题.诗云：‘家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节三升九，上稍四节贮三升，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明’(【注释】三升九：3.9升，次第盛：盛米容积依次相差同一数量)用你所学数学知识求该九节竹一共盛米多少升？(

)

A.8.8升 B.9升 C.9.1升 D.9.2升7.已知a>b>0，a+b=2，则(

)A.b+a的最大值是14 B.2a+2b+2的最小值是8.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，PA.2π B.4π C.6π D.12π二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法中正确的是(

)A.数据8，9，10，11，12的第80百分位数是11.5

B.两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数r的绝对值越接近于1

C.已知y关于x的线性回归方程为y=0.3−0.7x，则样本点(3,−4)的残差绝对值为1.6

D.若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2，现在样本中加入一个新数据5，则此时样本容量为10.已知等差数列{an}的公差不为0，a1，a2，a5A.数列{an}的通项公式为an=2n+1

B.数列{an}11.已知双曲线C：x2−y23=1的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，P是C的右支上一点(不与右顶点重合)，过点PA.焦点F1到渐近线的距离等于3

B.△PF1F2内切圆的圆心在直线x=1上

C.|PM|⋅|PN|为定值

D.若直线P三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知曲线y=ex在x=0处的切线l与圆C：(x−1)2+y2=4相交于A、13.若函数f(x)=cos2x−sin(x+φ)(0<φ<π)是偶函数，则f(π3)=14.现有一盒子里装有序号分别为1，2，3，4，5，6，7的七个大小、质地完全相同的小球，甲、乙、丙三人依次有放回地从盒子里各随机抽取一次(每个球被抽取的可能性相同)，记录被抽取的球的序号分别为a1=2，a2，a3，则满足|a1四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在锐角△ABC中，a=23，(2b−c)cosA=acosC，

(1)求角A；

(2)求△ABC的周长l16.(本小题15分)

如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，D是棱A1B1的中点，E是线段A1A上动点，且A1A=A1B1=2．

(1)若E是A1A17.(本小题15分)

某中学高三年级各班人数相同.一次模拟考试后，(1)班有13学生的数学成绩低于135分，(2)班有14学生的数学成绩低于135分．

(1)从(1)班、(2)班中随机抽取一人，已知该学生的数学成绩低于135分，求该学生为(1)班学生的概率．

(2)在数学成绩高于145分的学生中，(1)班有3名，(2)班有5名，现从这8名学生中选3人在全年级学生大会上作学习经验报告，记3人中来自(2)班的人数为X，求E(X)18.(本小题17分)

抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F，O为坐标原点，抛物线C上的一点M(2,m)到焦点F的距离为2．

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)已知直线l交抛物线C于A，B两点，直线AO交抛物线的准线于点P，且BP⊥x轴．

(i)证明：直线l过定点；

(i)点Q为抛物线C的准线与y轴的交点，若△MAB的面积与△QAB的面积相等，求直线l19.(本小题17分)

已知函数f(x)=(x−1)ex．

(1)求f(x)的单调区间；

(2)设g(x)=f(x)−n，设对于每个正整数n，方程f(x)=n的正数根为an．

①证明：an<n(n≥2)；

②1.【答案】B

2.【答案】B

3.【答案】C

4.【答案】D

5.【答案】D

6.【答案】B

7.【答案】C

8.【答案】D

9.【答案】ABD

10.【答案】BC

11.【答案】ABC

12.【答案】213.【答案】−1

14.【答案】72

15.【答案】解：(1)因为(2b−c)cosA=acosC，

所以2bcosA=acosC+ccosA，

所以2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA，

所以2sinBcosA=sin(A+C)，

所以2sinBcosA=sinB，

因为sinB≠0，所以cosA=12，

因为A∈(0,π2)，所以A=π3；

(2)因为asinA=2332=4，

所以bsinB=csinC=4，所以b=4sinB，c=4sinC=4sin(2π3−B)，

所以16.【答案】证明：由题意以D为坐标原点，DA1，DC1分别为x，z轴，过点D平行于AA1的直线为y轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，

在正三棱柱ABC−A1B1C1中，由A1A=A1B1=2，E是A1A的中点，

则D(0,0,0),A1(1,0,0),B(−1,2,0),C(0,2,3),C1(0,0,3),E(1,1,0)，

设平面A1BC的一个法向量为m=(x,y,z)，由A1B=(−2,2,0),A1C=(−1,2,3)17.【答案】47

E(X)=18.【答案】x2=4y

(i)证明：由题可设l：y=kx+b，A(x1,y1)，B(x2,y2)，

由x2=4yy=kx+b，消y得到x2−4kx−4b=0，则Δ=16k2+16b>0，x1+x2=4k，x1x2=−4b，

又kOA=y119.【答案】f(x)的单调递减区间(−∞,0)，单调递增区间(0,+∞)

①证明：因为g(x)=f(x)−n，所以g(x)和f(x)的单调性一致，所以g(x)在(0,+∞)上单调递增，

构造函数h(n)=(n−1)en−n，则h′(n)=nen−1，

当n≥2时，y=nen，因为y′=(n+1)en>0，所以y=nen单调递增，

所以nen≥2e2>1，故h′(n)>0，则h(n)在[2,+∞)上单调递增，

故h(n)≥h(