2027年高三数学利用导数研究函数恒成立问题教学设计

2027年高三数学利用导数研究函数恒成立问题教学设计一、教材分析与核心素养定位利用导数研究函数的恒成立与能够成立问题，是高中数学函数与导数板块的皇冠明珠，更是新高考命题体系中考查逻辑推理、函数思想、数形结合核心素养的高频硬核考点。在新课标“三基”（基本知识、基本技能、基本思想）与“四会”（会发现、会推测、会证明、会应用）的要求下，本讲内容不再局限于单一的求参数范围技巧训练，而是要将“分离参数法”、“构造函数法”、“零点判定法”统一在“函数性质与导数几何意义”的大框架下，建立从“题”到“类”、从“法”到“道”的认知体系。教材安排在选修必修衔接后、一轮总复习导数专题的第六讲，前置知识包括导数的运算、函数单调性与极值最值的判定、函数零点存在性定理，后续直通高考压轴题中的不等式证明、参数存在性判定与动点轨迹问题。准确把握“恒成立”对应全称命题逻辑、“能够成立”对应存在性命题逻辑的本质区别，是本讲教学成败的关键。二、学情分析与学习障碍预判高三学生经过一轮前五讲的导数基础训练，已具备基本的求导运算能力与单调区间分析技能，但面对恒能成立综合题时，普遍存在三类认知障碍。第一，逻辑量词理解模糊，不清“恒成立”要求分离参数后的函数在定义域内恒为非负或非正，而“能够成立”只需存在一点满足条件，导致分离参数方向错误、取交集与并集混淆。第二，构造辅助函数缺乏策略感，面对含参函数或复杂不等式，不知如何通过移项、分式变形、对数换元等手段将原问题转化为标准函数求最值或零点问题，陷入“题海战术”却无法形成方法迁移。第三，分类讨论思维僵化，面对参数在系数、指数、定义域端点等不同位置时，缺乏“动点轨迹几何化”、“导数符号恒定代数化”的整体统筹，往往遗漏临界情况或冗余讨论，导致解题过程支离破碎、逻辑链条断裂。针对以上障碍，教学设计必须以“逻辑澄清”为先导，以“方法建模”为核心，以“变式训练”为落脚。三、教学目标知识与技能层面：熟练掌握分离参数法中“定义域分离”与“变量分离”两种范式，精准判断取上确界或下确界的逻辑依据；熟练运用构造函数法将不等式恒成立转化为函数最值问题，将能够成立转化为零点存在性问题；掌握含参导数符号分析的“端点定值法”、“判别式法”、“图像法”三大工具。过程与方法层面：通过“数形结合”重构分离参数的几何图像，理解动点轨迹与曲线相切、相离的几何本质；通过“等价变换”梳理构造函数的定义域、单调性、极值与最值的完整逻辑链条；通过“分类讨论”建立参数范围确定的标准化流程。核心素养层面：在“恒与能”的辨析中强化逻辑推理的严密性；在“分离与构造”的抉择中培养数学建模的灵活性；在“代数与几何”的转化中深化数形结合的直觉性；在“特殊与一般”的变式中提炼数学文化的审美性。四、重难点突破策略重点一：分离参数的逻辑向度与几何向度统一。策略：设计“动点轨迹动演”教具，展示参数\(k\)作为动点\((x_0,f(x_0))\)到原点连线斜率，或\(y=g(x)\)与\(y=h(x)\)两曲线的位置关系，将抽象的“恒大于等于”可视化为“曲线在上方”、“切线在下方”，从根源上解决取交集与并集、取最大值与最小值的逻辑困惑。重点二：构造函数法的完整逻辑闭环。策略：建立“原不等式\(\rightarrow\)移项构造\(F(x)\)\(\rightarrow\)定域求导\(\rightarrow\)单调分析\(\rightarrow\)极值最值\(\rightarrow\)参数范围”的标准化作业模板，强调定义域端点行为、极限值与函数值的比较，攻克“能够成立”转化为“最大值大于等于零”且需验证零点落在定义域内的细节难点。难点：含参导数\(f'(x)\)符号恒定性分析中的多参数耦合与分类讨论。策略：引入“参数区间分割数轴法”，将\(f'(x)\geq0\)转化为二次函数、分式函数、根式函数的恒定号问题，利用“端点代入法”锚定必要条件，再以“判别式\(\Delta\leq0\)”或“分子分母同号法”验证充分性，形成“必要条件\(\rightarrow\)充分性验证\(\rightarrow\)取交集”的严谨范式，化繁为简。五、教学过程设计环节一：情境引入，从“常”到“变”的认知跨越课堂伊始，不直接抛出定义，而是投影两道看似熟悉实则暗藏玄机的旧题变式：题1：已知\(f(x)=x^33x+m\)，若\(f(x)\)在\([0,2]\)上恒成立\(f(x)\geq0\)，求\(m\)的范围。题2：已知\(f(x)=x^33x+m\)，若\(f(x)\)在\([0,2]\)上能够成立\(f(x)\geq0\)，求\(m\)的范围。请学生独立完成。多数学生能迅速给出题1\(m\geq2\)，题2\(m\geq2\)。此时追问：为何同一函数、同一区间、同一不等号，仅“恒”与“能”互换，答案却截然不同？引导学生用语言描述：题1要求曲线\(y=x^33x\)在\([0,2]\)上方恒在\(y=m\)之上，故\(m\)不超过最小值\(2\)；题2只要求曲线与直线有交点，故\(m\)不超过最大值\(2\)。在黑板左侧列出两题核心逻辑对比表：|核心维度|恒成立问题|能够成立问题|:::逻辑量词\(\forallx\inD\)\(\existsx\inD\)几何意义曲线全程在另一曲线上方/下方两曲线至少有一个公共点分离参数方向\(m\geqf(x)_{\text{max}}\)或\(m\leqf(x)_{\text{min}}\)\(m\geqf(x)_{\text{min}}\)或\(m\leqf(x)_{\text{max}}\)取值操作取上确界/下确界取最大值/最小值典型关键词“恒真”、“全称命题”“存在”、“存在性命题”环节二：逻辑重构，分离参数与构造函数的本质辨析过渡提问：若不等式两边均含变量\(x\)，如\(x^22x+m>x\lnx\)恒成立，还能直接分离参数吗？学生尝试移项得\(m>x\lnxx^2+2x\)，定义\(g(x)=x\lnxx^2+2x\)，求最大值。肯定该思路，并指出这是“变量分离法”的标准范式：将参数\(m\)单独放在一边，其余含\(x\)项构造为自变量为\(x\)的函数\(g(x)\)，利用导数求\(g(x)\)的最值。再提问：若题目变为\(\frac{m}{x}+\lnx\geq0\)恒成立，如何分离？学生可能给出\(m\geqx\lnx\)或\(m\leqx\lnx\)。此时引入“定义域分离法”的必要性：原不等式等价于\(m\geqx\lnx\)当\(x>0\)时，但若乘以\(x\)需考虑\(x\)正负？原定义域\(x>0\)，乘\(x>0\)号不变，故\(m\geqx\lnx\)。若定义域含负数，必须分情况讨论。总结分离参数两大铁律：一、分离后含\(x\)的函数自变量必须是原变量\(x\)，不能出现\(x\)的函数（如\(t=\lnx\)需单调映射）；二、乘除变量时必须锁定符号，否则引入“定义域分离”逐段处理。对比构造函数法：针对\(e^xmx1\geq0\)恒成立，分离参数得\(m\leq\frac{e^x1}{x}\)需讨论\(x\)正负、求导复杂；构造\(F(x)=e^xmx1\)，导数\(F'(x)=e^xm\)，分类讨论\(m\)与\(0\)大小，单调性清晰，最值易得。总结决策依据：参数以系数形式线性出现且非线性项结构简单\(\rightarrow\)优先构造函数；参数以常数项或分离后结构简单\(\rightarrow\)优先分离参数；两法往往可互证，高考答题建议主攻一法、副攻一法验算。板书核心决策流程图：原问题\(\rightarrow\)观察参数位置\(\rightarrow\)线性系数型/结构复杂\(\rightarrow\)构造函数法\(F(x)\)\(\rightarrow\)常数项型/分离简洁\(\rightarrow\)分离参数法\(g(x)\)\(\rightarrow\)双法验证，逻辑闭环环节三：方法论建模，导数工具箱的分层调用本环节为课堂主干，分三个层级展开，每层级包含“核心模型讲解\(\rightarrow\)典例实战\(\rightarrow\)易错点预警\(\rightarrow\)变式拓展”。层级一：分离参数法的几何建模与代数规范核心模型：曲线\(y=f(x)\)与动点\((x,g(x))\)的位置关系。若\(f(x)\geqg(x)\)恒成立，则\(f(x)\)图像在\(g(x)\)上方，等价于切线斜率、凹凸性约束。典例1：设\(f(x)=\lnxax\)，\(g(x)=\frac{x}{e^x}1\)。若\(\forallx_1\in(0,+\infty),\existsx_2\in[1,e]\)使得\(f(x_1)\leqg(x_2)\)恒成立，求实数\(a\)的取值范围。解析：逻辑翻译：\(f(x)_{\text{max}}\leqg(x)_{\text{max}}\)。求\(f(x)_{\text{max}}\)：\(f'(x)=\frac{1}{x}a\)。讨论\(a\leq0\)，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)单调增，无最大值（极限\(+\infty\)），不符。讨论\(a>0\)，\(f'(x)=0\Rightarrowx=\frac{1}{a}\)。\(x\in(0,\frac{1}{a})\)增，\((\frac{1}{a},+\infty)\)减。最大值\(f(\frac{1}{a})=\lna1\)。求\(g(x)_{\text{max}}\)：\(g'(x)=\frac{1x}{e^x}\)。\(x\in[1,e]\)上\(g'(x)\leq0\)，单调减。最大值\(g(1)=\frac{1}{e}1\)。不等式：\(\lna1\leq\frac{1}{e}1\Rightarrow\lna\geq\frac{1}{e}\Rightarrowa\geqe^{\frac{1}{e}}\)。易错点预警：\(f(x)\)定义域开区间，必须讨论极限行为确认最大值存在性；\(g(x)\)定义域闭区间，直接比较端点与临界点。逻辑量词嵌套“\(\forall\exists\)”转化为“最大值\(\leq\)最大值”是关键跨越。变式拓展：若改为\(\existsx_1,\forallx_2\)使得\(f(x_1)\leqg(x_2)\)，逻辑如何变？引导得出\(f(x)_{\text{min}}\leqg(x)_{\text{min}}\)。层级二：构造函数法的定域、导数、最值三部曲核心模型：\(F(x)=\text{左边}\text{右边}\)，恒成立\(\LeftrightarrowF(x)_{\text{min}}\geq0\)；能够成立\(\LeftrightarrowF(x)_{\text{max}}\geq0\)且零点在定义域内。典例2：求实数\(a\)的范围，使得不等式\(\lnx\geqa(x1)\)对\(\forallx>0\)恒成立。解析：构造\(F(x)=\lnxa(x1)\)，定义域\((0,+\infty)\)。\(F'(x)=\frac{1}{x}a=\frac{1ax}{x}\)。分类讨论\(a\)：1.\(a\leq0\)：\(F'(x)>0\)，\(F(x)\)单调增。\(x\to0^+\)，\(F(x)\to\infty\)，最值不存在（下确界\(\infty\)），无法\(\geq0\)，舍去。2.\(a>0\)：\(F'(x)=0\Rightarrowx=\frac{1}{a}\)。\(x\in(0,\frac{1}{a})\)增，\((\frac{1}{a},+\infty)\)减。最大值\(F(\frac{1}{a})=\lna+a1\)。注意：此处求的是最大值，但题目要求\(F(x)\leq0\)？原题\(\lnx\geqa(x1)\RightarrowF(x)\geq0\)，需最小值\(\geq0\)。修正：\(F(x)\)在\((0,\frac{1}{a})\)增，\((\frac{1}{a},+\infty)\)减，故\(x=\frac{1}{a}\)处为最大值。端点极限：\(x\to0^+\)，\(F(x)\to\infty\)；\(x\to+\infty\)，\(F(x)\to\infty\)。函数无最小值（下确界\(\infty\)），故无解？待查。重新审题：\(\lnx\geqa(x1)\)。\(x=1\)时等号恒成立。若\(a=1\)，\(\lnx\geqx1\)是经典不等式恒成立。构造\(F(x)=\lnxx+1\)，\(F'(x)=\frac{1}{x}1\)，最大值\(F(1)=0\)，故\(F(x)\leq0\)，即\(\lnx\leqx1\)。原题不等号方向为\(\lnx\geqa(x1)\)，即\(F(x)\geq0\)。若\(a=1\)，\(F(x)\leq0\)矛盾。故\(a\)不能为1。正确分析：\(F(x)=\lnxa(x1)\)。\(F(1)=0\)。要\(F(x)\geq0\)恒成立，\(x=1\)必须是最小值点。导数\(F'(x)=\frac{1}{x}a\)。\(x=1\)处\(F'(1)=1a\)。若\(x=1\)为极小值，需左侧导数\(\leq0\)，右侧\(\geq0\)。但\(F'(x)\)连续，故\(F'(1)=0\Rightarrowa=1\)。但\(a=1\)时\(F(x)\leq0\)。说明无解？不对。若\(a<0\)，\(F'(x)>0\)，单调增，\(F(1)=0\)，则\(x<1\)时\(F(x)<0\)，不满足。若\(a>1\)，\(F'(1)<0\)，\(x=1\)附近左侧\(F'(x)>0\)？\(F'(x)=\frac{1ax}{x}\)。\(a>1\)时，零点\(x=\frac{1}{a}<1\)。\((0,\frac{1}{a})\)增，\((\frac{1}{a},+\infty)\)减。最大值在\(\frac{1}{a}\)处。\(F(1)=0\)在减段。\(x\to0^+\)，\(F\to\infty\)。最小值不存在。若\(0<a<1\)，零点\(\frac{1}{a}>1\)。\((0,\frac{1}{a})\)增，\((\frac{1}{a},+\infty)\)减。最大值在\(\frac{1}{a}\)。\(F(1)=0\)在增段。\(x\to0^+\)，\(F\to\infty\)。最小值不存在。结论：不存在\(a\)使其恒成立。这是一道陷阱题，旨在训练“端点极限必须考察”、“最值存在性判断”的严谨性。典例3（能够成立）：已知\(f(x)=x^22ax+\lnx\)，若存在\(x_0>0\)使得\(f(x_0)\leq0\)，求\(a\)范围。解析：构造\(f(x)\)，定义域\((0,+\infty)\)。\(f'(x)=2x2a+\frac{1}{x}=\frac{2x^22ax+1}{x}\)。分子\(h(x)=2x^22ax+1\)。判别式\(\Delta=4a^28=4(a^22)\)。3.\(|a|\leq\sqrt{2}\)：\(\Delta\leq0\)，\(h(x)\geq0\)，\(f'(x)\geq0\)，\(f(x)\)单调增。\(x\to0^+\)，\(f(x)\to\infty\)。故存在\(x_0\)使\(f(x_0)\leq0\)恒成立。\(a\in[\sqrt{2},\sqrt{2}]\)。4.\(a>\sqrt{2}\)：\(\Delta>0\)，\(h(x)=0\)有两根\(x_1<x_2\)。\(x_1+x_2=a>0\)，\(x_1x_2=1/2>0\)，均为正。\(f(x)\)在\((0,x_1)\)增，\((x_1,x_2)\)减，\((x_2,+\infty)\)增。局部最小值\(f(x_2)\)。需\(f(x_2)\leq0\)。利用\(h(x_2)=0\Rightarrow2x_2^22ax_2+1=0\Rightarrowa=x_2+\frac{1}{2x_2}\)。代入\(f(x_2)=x_2^22(x_2+\frac{1}{2x_2})x_2+\lnx_2=x_2^21+\lnx_2<0\)恒成立。故\(a>\sqrt{2}\)均满足。5.\(a<\sqrt{2}\)：\(h(x)=0\)两根均为负（和为\(a<0\)，积为正）。定义域\((0,+\infty)\)上\(h(x)>0\)，\(f'(x)>0\)，单调增。\(x\to0^+\)，\(f(x)\to\infty\)。满足。结论：\(a\in\mathbb{R}\)。全集。此题训练“能够成立”往往只需函数趋向\(\infty\)即可，无需精确求最值，体现“定性分析优于定量计算”的策略智慧。层级三：含参导数符号恒定的分类讨论标准化流程核心痛点：\(f'(x)=\frac{P(x,a)}{Q(x)}\geq0\)恒成立，参数\(a\)在分子多项式中，如何高效分类？标准流程演示：步骤1：锁定定义域\(D\)，分母\(Q(x)\)在\(D\)上符号恒定（若非恒定，需分段讨论）。步骤2：问题转化为分子多项式/函数\(P(x,a)\)在\(D\)上符号恒定。步骤3：必要条件锚定。取\(D\)内特殊点（端点、对称轴、易算点）代入\(P(x,a)\geq0\)，得到\(a\)的粗略范围\(A_0\)。步骤4：充分性验证。在\(A_0\)基础上，利用二次函数性质（顶点、判别式）、导数单调性、函数图像性质，证明\(\foralla\inA_0\)，\(P(x,a)\)在\(D\)上符号恒定。步骤5：边界包含性检查。\(P(x,a)=0\)是否允许有根在\(D\)内（通常允许，对应切线水平）。典例4：\(f(x)=x^33ax^2+3(a^21)x+1\)在\(\mathbb{R}\)上单调递增，求\(a\)范围。\(f'(x)=3x^26ax+3(a^21)=3[x^22ax+(a^21)]\)。判别式\(\Delta'=4a^24(a^21)=4>0\)。恒有两个实根，导数必变号。无解。此题考查“判别式法”快速否定。典例5：\(f(x)=\frac{x^2+a}{x1}\)在\((1,+\infty)\)单调递增，求\(a\)范围。\(f'(x)=\frac{2x(x1)(x^2+a)}{(x1)^2}=\frac{x^22xa}{(x1)^2}\)。分母\(>0\)。需\(h(x)=x^22xa\geq0\)在\((1,+\infty)\)恒成立。必要条件：轴\(x=1\)不在区间内，区间内单调增。取端点极限\(x\to1^+\)，\(h(1)=1a\geq0\Rightarrowa\leq1\)。充分性：\(a\leq1\)时，\(h(x)\)开口向上，轴在\(x=1\)，\((1,+\infty)\)单调增，最小值\(h(1)=1a\geq0\)。成立。结论：\(a\leq1\)。此题演示“端点定值法”威力。典例6（难点突破）：\(f(x)=x\frac{a}{x}(a+1)\lnx\)单调递增，求\(a\)范围。\(f'(x)=1+\frac{a}{x^2}\frac{a+1}{x}=\frac{x^2(a+1)x+a}{x^2}=\frac{(x1)(xa)}{x^2}\)。定义域\((0,+\infty)\)。分母\(x^2>0\)。需\((x1)(xa)\geq0\)在\((0,+\infty)\)恒成立。零点\(x=1,x=a\)。利用二次函数图像（开口向上）在\((0,+\infty)\)恒\(\geq0\)。讨论\(a\)位置：\(a\leq0\)：零点\(a\leq0\)不在定义域，\(1\)在定义域。\((0,1)\)负，\((1,+\infty)\)正。不满足恒\(\geq0\)。\(0<a<1\)：零点\(a,1\)均在定义域。\((a,1)\)负。不满足。\(a=1\)：\((x1)^2\geq0\)恒成立。满足。\(a>1\)：零点\(1,a\)。\((1,a)\)负。不满足。结论：\(a=1\)。此题演示“因式分解+数轴法”解决参数在零点位置的分类讨论，极其高效。环节四：典型例题深度剖析，多解与变式拓展精选两道高考真题改编与模拟压轴题，进行“多解对比、变式推演”教学，培养解题的广度与深度。案例A（2022全国甲卷压轴改编）：已知函数\(f(x)=\lnxa(x1)\)，\(g(x)=e^{x1}\)。(1)讨论\(f(x)\)单调性。(2)若\(\forallx>0,f(x)\leqg(x)\)恒成立，求\(a\)范围。(3)若\(\existsx_1,x_2>0\)，使得\(f(x_1)=g(x_2)\)，且\(|x_1x_2|\geq2\)，求\(a\)范围。多解演示：(2)法一：构造\(F(x)=e^{x1}\lnx+a(x1)\)。\(F'(x)=e^{x1}\frac{1}{x}+a\)。令\(h(x)=e^{x1}\frac{1}{x}\)，\(h'(x)>0\)，\(h(x)\)单增，零点\(x=1\)。分类讨论\(a\)与\(h(1)\)关系...（过程略，重点展示分类讨论\(F'(x)\)符号的完整性）。法二：分离参数。\(a\geq\frac{\lnxe^{x1}}{x1}\)(\(x\neq1\))。构造\(G(x)=\frac{\lnxe^{x1}}{x1}\)，利用洛必达法则求\(x\to1\)极限为\(1\)，求导分析单调性...（展示分离参数法处理分式函数的技巧）。对比：构造函数法逻辑直观但导数含参分类繁琐；分离参数法转化为求最值但新函数求导复杂。要求学生根据自身优势选择主攻方向，另一法作草稿验算。(3)变式拓展：条件转化为\(f(x)\)与\(g(x)\)值域交集含相距\(\geq2\)的点。利用\(g(x)\)值域\((0,+\infty)\)，\(f(x)\)最大值...此处重点讲解“存在性问题的值域转化思想”：\(\existsx_1,x_2\)使得\(f(x_1)=g(x_2)\)等价于值域有交集；距离条件进一步限制自变量区间。案例B（创新版自编压轴模型——动点轨迹与切线夹角）：曲线\(C:y=x^33x\)上动点\(P\)，过\(P\)作直线\(l\)与曲线\(C\)另外两点相切（或相割），求\(P\)移动区间/直线斜率范围。此题融合“导数几何意义”、“高次函数多重切线”、“参数分离几何化”。解析核心：设切点\((x_0,y_0)\)，切线方程\(yy_0=(3x_0^23)(xx_0)\)。联立曲线得三次方程关于\(x\)的根分布问题。利用韦达定理或构造函数\(\phi(x)=f(x)\text{切线}\)分析零点个数。将“三点共线/两切一割”转化为“三次函数有三个不相等实根/一个二重根+一个单根”。此类题是近三年高考新定义、新情境的高频考向，必须专讲专练。环节五：课堂练习与即时反馈设计分层作业单，覆盖基础巩固、核心突破、拔高创新三个层级，课堂限时完成，当堂批改，错因分析。基础巩固（必做，5分钟）：6.已知\(f(x)=x^22ax+1\)在\([1,+\infty)\)单调递增，求\(a\)范围。（考查含参二次函数导数恒定号，轴左端点判断）7.不等式\(e^x\geqex+m\)在\(\mathbb{R}\)恒成立，求\(m\)最大值。（经典构造\(F(x)=e^xexm\)，切线法）8.若\(\existsx\in[1,e]\)，使得\(\lnx\leqa(x1)\)成立，求\(a\)范围。（能够成立，构造\(F(x)\)求最小值\(\leq0\)）核心突破（必做，15分钟）：9.设\(f(x)=\frac{1}{2}x^2(a+2)x+2a\lnx\)。若\(f(x)\)在\((0,+\infty)\)有两个极值点\(x_1<x_2\)，且\(f(x_1)f(x_2)\geqk\)恒成立，求\(k\)最大值。（极值点参数分离、对数不等式估值、隐函数求导技巧）10.已知\(f(x)=x^33tx^2+3x\)，\(g(x)=x^3+3x^23x\)。若\(\forallx_1\in[0,2],\existsx_2\in[0,2]\)，使得\(f(x_1)\geqg(x_2)\)，求实数\(t\)范围。（两函数最值比较，含参三次函数分段讨论最值）拔高创新（选做，10分钟）：11.设函数\(f(x)=\lnx\frac{a}{x}\)，\(g(x)=x^22x\)。若\(\forallx_1\in(0,+\infty),\existsx_2\in[1,3]\)，使得\(f(x_1)<g(x_2)\)恒成立，求实数\(a\)的取值范围。（双函数嵌套量词，需分别求\(f(x)\)上确界、\(g(x)\)最大值，含参对数函数分类讨论极值存在性）反馈环节：针对第4题，重点讲评“极值点差值\(f(x_1)f(x_2)\)”的参数分离技巧：利用\(f'(x)=0\)表达\(a\)关于\(x\)的函数\(a=\frac{x^2(a+2)x}{2\lnx}\)...不，标准做法：\(f'(x)=x(a+2)+\frac{2a}{x}=\frac{x^2(a+2)x+2a}{x}=\frac{(x2)(xa)}{x}\)。极值点为\(2,a\)。需\(0<a<2\)且\(a\neq2\)。则\(x_1=a,x_2=2\)。\(f(a)f(2)=[\frac{1}{2}a^2(a+2)a+2a\lna][22(a+2)+2a\ln2]=\frac{1}{2}a^22a+2a\lna