高中一年级数学“正切函数的图象与性质”教学设计

高中一年级数学“正切函数的图象与性质”教学设计一、教学设计基本信息与内容定位本教学设计面向普通高中一年级学生，教学内容为苏教版必修第一册第7章第3节第2课时“正切函数的图象与性质”。在此之前，学生已经系统学习了任意角的概念、弧度制、三角函数的定义，以及正弦函数和余弦函数的图象与性质，掌握了单位圆这一核心工具，初步建立了“研究函数先研究定义、再研究图象、最后归纳性质的方法论框架”。正切函数是学生接触的第三类基本三角函数，它的图象呈现出与正弦、余弦截然不同的形态，存在间断点与渐近线，这对学生既有的“函数图象连续光滑”的直观经验形成强烈冲击，是培养学生理性精神与批判性思维的绝佳素材。本节课在整个三角函数模块中承担着承前启后的任务。一方面，它是正弦、余弦函数研究方法的迁移与综合应用，学生需要自主调用“单位圆中三角函数线”这一工具去探索新函数的图象；另一方面，正切函数图象的作法以及周期性、单调性的讨论，为后续学习函数y＝Atan(ωx＋φ)的图象变换以及解三角不等式打下基础，也为高二学习三角函数的综合应用提前铺陈了直观经验。从课程标准的要求看，正切函数的图象与性质属于学业质量水平一与水平二之间的内容。课标强调借助单位圆理解三角函数的定义，利用图象理解三角函数的性质，提倡通过信息技术与数学实验增强学生的直观想象。基于这些要求，本节课的设计以“提出问题—动手作图—观察归纳—推理论证—应用巩固”为主线，让学生在亲手画图、亲自发现的过程中建构知识，而不是被动接受教材给出的结论。二、学情分析优势方面：班级学生已经能够熟练在单位圆中作出任意角的正弦线、余弦线和正切线，知道tanα＝y/x，明白正切值是角的终边上非原点任意一点的纵坐标与横坐标之比。学生经历了正弦函数图象的描点法作图和“五点法”简图作图，具备了基本的函数作图能力。同时，学生对几何画板、图形计算器等工具不陌生，乐于在操作中观察规律。困难预判：第一，学生对tanα在α＝π/2＋kπ时无意义这一事实停留在代数层面，缺乏图象层面的直观认识，容易把正切曲线的两支画成连在一起的光滑曲线。第二，学生容易受正弦函数“五点法”的思维定式影响，机械地取若干特殊点连线，忽视线条在x趋近于π/2时的急剧变化趋势。第三，学生对“正切函数在每一个区间内单调递增，但在整个定义域上不是单调递增”这一精细表述理解困难，容易出错。第四，诱导公式的记忆较为零散，在利用tan(x＋π)＝tanx证明周期性时可能出现符号错误。应对策略：用“探照灯问题”创设情境激活旧知；安排分层作图任务，让不同水平的学生都能参与；利用动态几何软件展示正切线随角的变化而伸缩、翻转的过程，使渐近线的存在成为学生亲眼所见的事实；通过对比正弦函数与正切函数的图象，帮助学生辨析“区间单增”与“整体单增”的细微差别。三、教学目标知识与技能目标：能说出正切函数的定义域为{x|x≠π/2＋kπ，k∈Z}；会用正切线描出y＝tanx在区间(－π/2，π/2)内的草图，并能根据周期性向两侧平移延展；能准确表述正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性与图象的对称中心；会求形如y＝Atan(ωx＋φ)＋b的函数的定义域与最小正周期，会比较两个正切值的大小。过程与方法目标：经历“从单位圆中正切线的几何直观到坐标系中函数图象”的转化过程，体会数形结合思想与以形助数、以数解形的研究路径；经历从一支图象的性质归纳到整个定义域性质概括的过程，体会由特殊到一般、由局部到整体的归纳方法；在证明周期性的过程中体会用定义与公式进行代数推证的严谨性。情感态度与价值观目标：在亲自动手作图、发现图象“断裂”现象的过程中，激发好奇心与探究欲，感受数学图形的奇异之美；在小组协作与成果展示中养成尊重证据、实事求是的科学态度；通过对正切曲线无穷延伸、往复出现的观察，初步感受数学中有限与无限的辩证关系。四、教学重点与难点教学重点：正切函数图象的形成过程，正切函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性等性质的理解与初步应用。教学难点：正切曲线间断性与渐近线的理解；正切函数“在每一个单调区间内递增但不能说在整个定义域上递增”的准确表述；从正切线的几何变化抽象出函数值变化规律的思维跨越。突破难点的基本思路是先让学生产生认知冲突，再借助动态演示化解冲突。学生对“图象为什么会断开”的疑问不是教师告知的，而是在作图中自己遇到的；而渐近线这一概念，本节课不作形式化定义，只以直观语言“直线x＝π/2是图象无限逼近但永远达不到的界线”加以刻画，把严格讨论留给后续学习。五、教学方法与教学准备教学方法以探究发现法为主，辅以问题驱动、实验操作、讲练结合。教师提供结构化的任务链条，学生以四人小组为单位开展作图与归纳活动，课堂上安排两次小组汇报与一次全班性质的辨析讨论。教学准备包括：多媒体课件与几何画板动态演示文件；为每组准备的印有单位圆与平面直角坐标系的作图纸；坐标网格练习卡；课堂检测小卷。教师课前在几何画板中设置好“角α变化时正切线AT长度同步描点”的动画，以便在关键节点投屏展示。六、教学过程（一）情境导入：一盏探照灯的旋转（约6分钟）上课伊始，教师投出情境：学校舞台侧面固定一盏探照灯，灯光照射在正前方的竖直幕墙上，探照灯距幕墙的垂直距离为10米，灯光照射方向与垂直方向之间的夹角为θ，θ可以从接近－90°连续变化到接近90°。光斑打在幕墙上的位置用高度h表示，向上为正、向下为负。教师提出问题链。问题一：h与θ之间是什么关系？学生很快由直角三角形对边与邻边之比得出h＝10tanθ。问题二：当θ从0逐渐增大逼近90°时，光斑会发生什么变化？学生直观地回答光斑会越来越高，高得“看不见了”。教师追问：θ能不能等于90°？学生回忆tanθ的定义，意识到此时光线与幕墙平行，永远照不到幕墙上，tanθ没有意义。问题三：我们能否画出h随θ变化的图象？这个图象会是什么样子？这一情境把抽象的连续变化转化为可感知的物理过程，学生带着“这个函数的图象到底长什么样”的真实疑问进入新课。教师顺势揭示课题：今天我们就来研究正切函数的图象与性质。（二）温故寻法：回顾研究路径（约4分钟）教师引导学生回顾正弦函数的研究过程，在师生对话中提炼出研究一个新函数的通用路径：明确定义与定义域，利用单位圆中的三角函数线描点作图，由图象观察归纳性质，用诱导公式验证周期性，最后应用性质解决简单问题。教师板书三个预备问题，请学生口头回答。第一，tanα的几何意义是什么？学生答：角α的终边与单位圆交于点P(x，y)，则tanα＝y/x；也可借助过点A(1，0)的切线，用有向线段AT的长度表示tanα。第二，tanα在哪些角上不存在？学生答：当终边落在y轴上，即α＝π/2＋kπ（k∈Z）时，x＝0，分母为零，tanα无意义。第三，由诱导公式tan(α＋π)＝tanα，你能推测图象可能具有什么特点？学生猜：每增加π，函数值重复，图象可能每隔π重复一次。这一环节用时很短，但把本节课要用的三件武器——正切线、定义域缺口、诱导公式——全部摆上了台面，为后续探究扫清障碍。（三）动手探究：描出正切曲线（约14分钟）探究任务一：在坐标系中作出y＝tanx在区间(－π/2，π/2)上的大致图象。教师给出作图支架。在学案左侧的单位圆中，把第二象限与第一象限对应的角域八等分，分别取x＝0、±π/6、±π/4、±π/3，以及±5π/12等角；在右侧平面直角坐标系的x轴上以同样间隔标出相应点。学生利用正切线AT的长度量出各点纵坐标，在坐标系中描点。学生在操作中依次发现三个现象。现象一：x＝0时正切线长度为零，图象过原点。现象二：x取正值时纵坐标为正且增长很快，x取负值时纵坐标为负，左右两边的点似乎关于原点呈对称分布。现象三：当x靠近π/2时，正切线变得极长，描出的点冲出方格纸，无法继续下笔画线。不少小组的图纸上出现两种画法，一种是把曲线画到顶端就“拐弯”接上了另一侧，另一种是画成两段各自向上向下延伸的曲线。这正是教师等待的认知冲突。探究任务二：动态演示化解冲突。教师打开几何画板，让角α从0缓慢增大趋向π/2。屏幕上，单位圆中的正切线AT同步拉长，坐标系中的动点(x，tanx)随之爬升。学生亲眼看到：α越接近π/2，tanα增长得越快，而且可以任意大；当α一旦等于π/2，正切线消失，动点也消失。教师暂停动画提问：曲线能跨过直线x＝π/2吗？学生答：不能，因为在x＝π/2处函数没有值，曲线上没有对应的点。教师给出直观描述：我们把直线x＝π/2与直线x＝－π/2叫作这支曲线的渐近线，曲线向它们无限靠近却永不触碰。这段区间(－π/2，π/2)内的图象，称为正切曲线的一支，习惯上也把它叫作正切函数的一支主值曲线。探究任务三：由一支到整体。教师提问：其他区间上的图象怎么得到？学生依据tan(x＋π)＝tanx回答：把(－π/2，π/2)上的曲线沿着x轴方向向左、向右每隔π平移复制，就能得到(π/2，3π/2)、(－3π/2，－π/2)等区间上的图象，所有直线x＝π/2＋kπ（k∈Z）都是渐近线。教师让学生在学案上完成两支相邻曲线的平移作图，随后投屏展示完整的正切曲线，学生看到自己手中的“草图”与标准图象形状吻合，获得明显的成就感。（四）归纳性质：从图象到结论（约8分钟）教师组织“看图说话”活动，请各组依据完整图象填写性质表格，再逐条汇报、全班确认，教师同步规范板书。定义域：{x|x≠π/2＋kπ，k∈Z}。教师强调这是正切函数与正弦、余弦函数最醒目的区别，图象在无数个点处断开。值域：全体实数R。教师追问依据：曲线每一支都向上无限延伸、向下无限延伸，纵坐标取遍所有实数。周期性：由tan(x＋π)＝tanx知π是周期，且从图象看相邻两支的间隔恰为π，故最小正周期为π。教师提醒学生与正弦、余弦函数的周期2π对比记忆，并指出图象的平移复制正是周期性的几何表现。奇偶性：tan(－x)＝－tanx，函数是奇函数，图象关于原点对称；学生在作图中发现的“左右对称”现象由此获得代数解释。单调性：在每一个开区间(－π/2＋kπ，π/2＋kπ)（k∈Z）上都是增函数。随即展开本节课最关键的辨析：能否说正切函数在整个定义域上是增函数？教师给出反例：取x₁＝π/4，x₂＝5π/4，显然x₁＜x₂，但tanx₁＝1，tanx₂＝tanπ/4＝1，并不满足tanx₁＜tanx₂；再看x₁＝π/4与x₂＝3π/4，tan3π/4＝－1＜1，更是直接违背增函数定义。学生由此理解：单调区间必须一节一节地写，不能合并。对称性补充：曲线关于点(kπ/2，0)（k∈Z）成中心对称，其中k为偶数时是零点中心，k为奇数时是渐近线与x轴交点处的对称中心。此条作为学有余力学生的拓展内容，教师只作提点，不作全体要求。（五）例题精讲：性质的初步应用（约8分钟）例1：求函数y＝tan(2x－π/3)的定义域与最小正周期。教师示范书写规范。令2x－π/3≠π/2＋kπ，解得x≠5π/12＋kπ/2，k∈Z，故定义域为{x|x≠5π/12＋kπ/2，k∈Z}。由于tan(2x－π/3)＝tan(2x－π/3＋π)＝tan[2(x＋π/2)－π/3]，所以最小正周期T＝π/2。教师总结规律：对y＝tan(ωx＋φ)，定义域由ωx＋φ≠π/2＋kπ解出，最小正周期为π/|ω|，与正弦型函数周期公式2π/|ω|形成对照。例2：不求值，比较tan(－13π/4)与tan(－17π/5)的大小。学生板演，教师点评。利用周期性化简：tan(－13π/4)＝tan(－13π/4＋4π)＝tan(3π/4)…教师提醒更简洁的做法是利用奇偶性与周期把它化到同一单调区间内：tan(－13π/4)＝tan(－π/4)，tan(－17π/5)＝tan(－17π/5＋4π)＝tan(3π/5)？此处学生易错，教师引导谨慎检验：－17π/5＋4π＝3π/5，而3π/5与－π/4不在同一支内，需继续调整，tan(3π/5)＝tan(3π/5－π)＝tan(－2π/5)。于是比较转化为在区间(－π/2，π/2)上比较tan(－π/4)与tan(－2π/5)。由于－π/2＜－2π/5＜－π/4＜π/2，且正切函数在该区间上单调递增，故tan(－2π/5)＜tan(－π/4)，即tan(－17π/5)＜tan(－13π/4)。教师提炼方法口诀：先用周期性和奇偶性把角化到同一个单调区间，再用单调性比大小。学生在纠错过程中深刻体会到“同一单调区间”这五个字的分量。（六）巩固练习与当堂检测（约6分钟）练习一：写出函数y＝3tan(x/2＋π/6)的定义域与最小正周期。学生独立完成，同桌互批。参考答案：由x/2＋π/6≠π/2＋kπ得x≠2π/3＋2kπ，k∈Z；周期T＝π/(1/2)＝2π。练习二：判断y＝tanx在区间(π/2，3π/2)上的单调性，并求tan(2π/3)与tan(5π/6)的大小关系。参考答案：在该区间上单调递增；因2π/3＜5π/6，故tan(2π/3)＜tan(5π/6)，即－√3＜－√3/3。练习三（思辨题）：函数y＝tanx的图象是中心对称图形吗？若是，写出一个对称中心；你能写出多少个？学生答：是，原点是一个对称中心，(π，0)、(π/2，0)等也是，对称中心为(kπ/2，0)，k∈Z，有无穷多个。教师巡视记录典型错误，选择系数符号错误、区间合并错误两类共性问题在投影下公开订正，让错误成为公共资源。（七）课堂小结与作业布置（约4分钟）教师引导学生用三句话自我梳理。其一，我们经历了怎样的研究过程？学生答：由探照灯情境提出问题，用正切线描点作图，借动态演示认识渐近线，由周期性延展图象，最后看图归纳性质。其二，正切函数最重要的性质有哪些？学生齐述：定义域有缺口，值域为R，最小正周期为π，是奇函数，每支曲线单调递增。其三，最容易错在哪里？学生答：把各支的单调性合并说，以及比较值大小时忘记化到同一区间。教师用一句话收束全课：正切曲线让我们看到，数学中的函数并非都如正弦曲线那般绵延平顺，间断与无限逼近同样是函数世界的真实风景；认识它，需要直观，更需要严谨。作业分层布置。基础层：教材相应习题中关于求定义域、周期与比较大小的题目四道。提高层：作出y＝tanx＋1与y＝|tanx|在一个周期内的草图，并说明变换依据。探究层（选做）：观察探照灯问题中光斑移动的速度，思考当θ趋近90°时，光斑移动速度怎样变化，你能用本节课的知识粗略解释为什么许多国家把这一原理用于设计高速扫掠的仪表示数装置吗？七、板书设计主板书分三栏。左栏为正切函数y＝tanx的知识骨架：定义（tanα＝y/x，几何意义为正切线AT），定义域{x|x≠π/2＋kπ，k∈Z}。中栏为课堂现场生成的正切曲线简图，用彩色粉笔标出渐近线x＝π/2＋kπ与对称中心。右栏为性质表格：值域R，最小正周期π，奇函数，在每一个区间(－π/2＋kπ，π/2＋kπ)上单调递增；下方留例题演算区，例题擦写，骨架保留，供学生整节课回望对照。八、教学评价设计本节课实行嵌入式过程评价。作图