6.2.1排列与排列数公式教学设计（高中数学选择性必修第三册）

6.2.1排列与排列数公式教学设计（高中数学选择性必修第三册）一、教材分析与内容定位本节课选自人教A版选择性必修第三册第六章计数原理第二节第一课时。排列与排列数公式是计数原理的重要组成部分，是学习组合数公式、二项式定理的必备基础。学生此前已掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理，具备用树状图、框图表示计数过程的基本经验。本课的核心任务是从具体情境中抽象出排列概念，建立排列数公式，并运用公式解决简单的计数问题。课标对本节的要求是理解排列的概念，能利用计数原理推导排列数公式，能利用公式解决简单的实际问题。教学重点为排列概念的理解和排列数公式的推导；教学难点为区分排列与一般计数问题、理解排列数公式的结构特征。二、学情分析高二学生已具备一定的抽象思维能力和逻辑推理能力，但面对从具体到一般的概念建构过程仍需要支架。学生对“有序”这一核心特征的感知尚不敏锐，容易将排列问题与普通分步计数问题混淆。在公式推导环节，学生对连乘形式的抽象概括可能存在困难，需要教师通过多个具体实例让学生充分积累经验。此外，学生对排列数公式中n、m的取值范围及其实际意义容易模糊，需在练习中反复辨析。三、教学目标1.通过实际情境的观察、比较、抽象，理解排列的概念，能准确判断一个问题是否为排列问题。2.借助分步乘法计数原理推导排列数公式A(n,m)=n(n1)(n2)…(nm+1)，理解公式中每一步的含义。3.掌握全排列公式A(n,n)=n!，了解阶乘的概念与记法。4.能熟练运用排列数公式计算具体排列数，并解决简单的实际计数问题，体会数学建模思想。四、教学策略与方法本课采用“情境导入—概念建构—公式推导—应用深化—反思总结”的教学主线。教学方法以启发式讲授为主，辅以问题驱动、小组讨论。在概念建构阶段，采用对比辨析策略，引导学生从若干计数问题中辨别“有序”与“无序”的本质差异。在公式推导阶段，引导学生借助分步计数原理逐位分析，实现从操作到符号的自然过渡。在应用阶段，设计梯度练习，从直接套用公式到变式迁移，层层深入。五、教学过程（一）创设情境，引出课题上课伊始，教师出示三个问题。问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名参加上午的活动，另1名参加下午的活动，有多少种不同的选法？问题2：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加同一项活动，有多少种不同的选法？问题3：用1、2、3三个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？学生独立思考后，教师组织交流。对于问题1，学生用树状图列出所有选法：甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙，共6种。对于问题2，学生列出甲乙、甲丙、乙丙，共3种。对于问题3，学生列出123、132、213、231、312、321，共6种。教师追问：问题1和问题2的结果为什么不同？问题1与问题3有什么共同特征？学生讨论后明确：问题1中选出甲和乙后，甲参加上午活动、乙参加下午活动与乙参加上午活动、甲参加下午活动是两种不同的选法，说明顺序不同则结果不同；问题2中甲乙与乙甲是同一种选法，顺序无关。问题1与问题3都涉及顺序。教师顺势指出：像问题1、问题3这样，从n个不同元素中取出m个元素并按照一定的顺序排成一列，就是本节课要研究的排列问题。（二）抽象概括，形成概念教师引导学生从三个具体问题中提炼共同要素。要素一：元素来源是n个不同的元素（如不同的人、不同的数字）。要素二：取出m个元素（m≤n）。要素三：将取出的m个元素按一定顺序排成一列。教师给出排列的严格定义：一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。教师强调两个关键点：第一，取出的元素互不相同，不能重复；第二，“一定的顺序”是排列的本质特征，顺序改变即为不同的排列。教师出示一组判断题，让学生辨析。判断1：从1、2、3、4中任取两个数相乘，有多少个不同的积？这是排列问题吗？判断2：从1、2、3、4中任取两个数相除（除数不为0），有多少个不同的商？这是排列问题吗？判断3：从5名同学中选出3名参加演讲比赛，这是排列问题吗？判断4：从5名同学中选出3名分别担任班长、学习委员、体育委员，这是排列问题吗？学生通过辨析明确：乘法满足交换律，与顺序无关，不是排列问题；除法不满足交换律，被除数与除数交换后结果不同，是排列问题；只选不排不是排列问题；选出后分配不同职务与顺序有关，是排列问题。教师引导学生总结判断一个计数问题是否为排列问题的标准：先看是否取出元素，再看取出后是否与顺序有关。如果改变元素顺序后计数的结果不同，则为排列问题；反之则不是。（三）逐层推进，推导公式教师提出问题：从n个不同元素中取出m个元素的排列共有多少种？如何用计数原理计算？教师引导学生从特殊到一般进行探究。第一步，回顾具体例子。从3个不同元素中取出2个元素的排列数为6，从3个不同元素中取出3个元素的排列数为6。学生用树状图或列举法验证。第二步，教师引导学生用分步乘法计数原理分析一般情形。设想有m个位置，依次放置从n个不同元素中取出的元素。第1个位置有n种放法；第2个位置不能重复已选的元素，有n1种放法；第3个位置有n2种放法；……第m个位置有n(m1)=nm+1种放法。学生根据分步乘法计数原理得出：排列总数为n(n1)(n2)…(nm+1)。教师指出，这个结果是从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记为A(n,m)，读作“n排m”。排列数公式为：A(n,m)=n(n1)(n2)…(nm+1)其中n、m∈N，m≤n。教师特别说明：公式右边是m个连续正整数的连乘积，最大因数是n，最小因数是nm+1。第三步，教师引导学生探讨m=n的特殊情形。当m=n时，即从n个不同元素中取出全部n个元素进行排列，排列数为A(n,n)=n(n1)(n2)…3·2·1。教师介绍阶乘符号：n!=n(n1)(n2)…3·2·1，读作“n的阶乘”。于是全排列公式为A(n,n)=n!。教师补充规定：0!=1，这是为了使公式在边界情况下保持一致性，后续学习组合数时还会用到。教师进一步将排列数公式用阶乘表示。因为n!=n(n1)(n2)…(nm+1)·(nm)!，所以A(n,m)=n!/(nm)!。这个恒等式形式简洁，便于运算和后续学习。（四）典例精析，深化理解例1：计算下列排列数。（1）A(5,2)；（2）A(7,3)；（3）A(8,8)。学生独立完成后，教师请三位学生板演并讲解。（1）A(5,2)=5×4=20。（2）A(7,3)=7×6×5=210。（3）A(8,8)=8!=8×7×6×5×4×3×2×1=40320。教师追问：A(5,2)的含义是什么？你能构造一个实际问题来解释这个结果吗？学生举例：从5名同学中选出2名分别担任正、副班长，有A(5,2)=20种选法。教师肯定后指出，将抽象的排列数与具体情境相对应，有助于检验计算结果的合理性。例2：某省高中学生学业水平考试共开考语文、数学、英语、物理、化学、生物6门科目。某校安排高二某班某天的考试顺序，要求上午考3门，下午考3门，问有多少种不同的安排方式？学生分析：先从6门科目中取出3门安排上午，剩下3门自动安排下午。上午的3门有顺序要求，因此上午的安排方式为A(6,3)=6×5×4=120种。上午确定后，下午3门的顺序也随之确定，因此总安排方式为120种。教师引导讨论：还有没有其他思考方式？学生提出可以将6门科目全部排成一列，前3个位置对应上午，后3个位置对应下午，于是总排列数为A(6,6)=720种。教师请学生比较两种方法的差异。学生发现：两种方法结果不同，说明问题分析有出入。教师引导重新审视题意：上午考3门、下午考3门，但并未规定上午3门的顺序、下午3门的顺序是否需要区分。实际上，上午3门课存在先后顺序（如8点、9点、10点），下午同样有顺序，因此应当将6门科目全部排成一列，顺序对应具体时间点，所以正确结果为A(6,6)=720种。教师总结：解决排列问题时，务必先明确“位置”是否区分顺序。若时间点有先后，则全部元素均应参与有序排列。例3：用0、1、2、3、4五个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？学生尝试后，教师展示两种解法。解法一（位置分析法）：百位不能为0，有4种选法；十位从剩余4个数字中选，有4种选法；个位从剩余3个数字中选，有3种选法。由分步乘法计数原理，共有4×4×3=48个。解法二（间接法）：不考虑0的限制，从5个数字中取3个排列，有A(5,3)=5×4×3=60个。其中百位为0的排列即从1、2、3、4中取2个排列在十位和个位，有A(4,2)=4×3=12个。所以满足条件的三位数为6012=48个。教师引导学生比较两种方法，指出位置分析法更直观，间接法在后续组合问题中会更常用，两种方法都需熟练掌握。（五）小组合作，探究规律教师布置探究任务：比较A(n,m)与A(n,nm)之间是否存在某种关系？请举例验证并尝试说明理由。小组1举例：A(5,2)=20，A(5,3)=60，二者不相等，也没有简单的倍数关系。小组2尝试从公式出发：A(n,m)=n(n1)…(nm+1)，A(n,nm)=n(n1)…(m+1)，两者实际上都是m个因子的连乘，但起始和终止因子不同，一般来说不相等。只有在某些特殊值下可能相等。教师进一步追问：是否存在n、m使得A(n,m)=A(n,nm)？学生通过计算发现，当n=4时，A(4,1)=4，A(4,3)=24，不相等；当n=2时，A(2,1)=2，A(2,1)=2，相等。教师指出，一般而言二者不相等，这与组合数的对称性有本质区别，学习排列时不要误将其类比为组合的对称性质。教师再布置一个开放性问题：你能设计一个实际情境，使得计数结果为A(6,3)吗？各组分别展示。组1：6名运动员参加100米决赛，前三名各获得金、银、铜牌，共有A(6,3)种奖牌归属方式。组2：从6本书中选3本分别送给甲、乙、丙三位同学，共有A(6,3)种送法。组3：用6个不同数字组成没有重复数字的三位数，共有A(6,3)个。教师总结：同一个排列数公式可以对应多种不同的实际情境，关键在于把握“从n个不同元素中有序取出m个”这一共同结构。（六）分层练习，巩固提升基础练习：1.计算A(4,2)、A(6,4)、A(5,5)。2.从7名同学中选出3名分别担任正、副班长和体育委员，共有多少种选法？3.由数字1、2、3、4组成的没有重复数字的四位数共有多少个？提高练习：4.用0、1、2、3、4、5六个数字组成没有重复数字的偶数四位数，共有多少个？5.5个人站成一排照相，甲必须站在正中间，有多少种站法？6.5个人站成一排照相，甲、乙两人必须相邻，有多少种站法？学生在练习过程中，教师巡视指导。对于第4题，学生需要分个位为0和个位为2、4两种情况讨论。个位为0时，前三位从1、2、3、4、5中选3个排列，有A(5,3)=60个；个位为2或4时，有2种选择，千位不能为0且不能与个位重复，有4种选择，百位从剩余4个数字中选1个，有4种选择，十位从剩余3个数字中选1个，有3种选择，共2×4×4×3=96个。总数为60+96=156个。对于第5题，甲固定在正中间，其余4人自由排列，有A(4,4)=24种。对于第6题，将甲、乙视为一个整体，与其余3人共4个“对象”排列，有A(4,4)=24种排法，甲乙内部有A(2,2)=2种排法，共48种。教师在讲评时强调：第6题体现了“捆绑法”的核心思想——将必须相邻的元素视为整体，先排整体，再排内部。这是排列计数中重要的策略之一，后续还会接触到插空法等策略。（七）课堂小结与反思教师引导学生从知识、方法、思想三个维度进行小结。知识维度：排列的概念、排列数公式A(n,m)=n(n1)…(nm+1)、全排列公式、阶乘表示。方法维度：判断排列问题的关键看是否与顺序有关；计算排列数时既可以直接套用公式，也可以用分步计数原理逐位分析。思想维度：从特殊到一般的归纳思想、转化与化归思想。教师提出问题：若将“从n个不同元素中取出m个元素”改为“从n个不同元素中取出m个元素并组成一组，不讲究顺序”，计数结果如何变化？这一变化将引出下一节课的内容——组合。学生带着疑问结束本课，为后续学习埋下伏笔。（八）课后作业7.计算A(9,3)、A(10,4)、A(7,7)，并用阶乘形式表示结果。8.某天课程表要安排语文、数学、英语、物理、化学5节课，要求第一节不排数学，共有多少种排法？9.用1、2、3、4、5五个数字组成没有重复数字的五位数，其中大于30000的有多少个？10.思考题：6个人站成一