2027高考数学【一轮复习】5.7 解三角形中的最值与范围问题【解析版】

第页专题课解三角形中的最值与范围问题【课标要求】解三角形中的最值或范围问题，通常涉及与边长、周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，一直是高考的热点与重点，主要是利用三角函数、正余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等工具研究三角形问题，解决此类问题的关键是建立起角与边的数量关系．题型一数形结合求最值与范围例1【2015·新课标Ⅰ·高考真题】如图在平面四边形ABCD中，，，则AB的取值范围是___________．例2在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，，且，则的取值范围是___________．【解题技法】在解三角形的问题中，“数形结合”是突破最值和取值范围问题的核心利器，很多题目如果纯用代数方法(如正弦定理+三角函数化简，或余弦定理+基本不等式)会非常繁琐，甚至算不出来；但如果画出图形，利用几何性质，往往能瞬间看破玄机.对点训练1在中，角的对边分别为，若，，则面积的最大值为（）A.3 B.2 C. D.对点训练2在中，若，过点作边的垂线，若的内心在直线上，则的取值范围为（）A. B. C. D.题型二利用基本不等式求最值与范围例3【2025·上海·高考真题】在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且．(1)若，求a；(2)若，求的面积的最大值．例4【25-26高三下·广西桂林·月考】在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，向量，，且．(1)求A；(2)若，，求面积的最大值；【解题技法】在解三角形的问题中，“利用基本不等式求最值”是最常用、最经典的代数方法之一，它通常与余弦定理、面积公式结合，用于处理“已知一边及其对角，求周长/面积最值”或“已知两边关系，求角或面积最值”等问题.对点训练3【2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．对点训练4【2026·海南海口·模拟预测】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．(1)求角A；(2)是的角平分线，且．当取最小值时，求此时的面积．题型三利用三角函数求最值与范围例5（2026·安徽合肥·三模）记的内角的对边分别为，已知．(1)求；(2)若是锐角三角形，求的取值范围．例6如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，△ABC的面积为S，且．(1)求角B的大小；(2)若为平面ABC上△ABC外一点，DB=2，DC=1，求四边形ABDC面积的最大值．【解题技法】在解三角形的问题中，当题目涉及非对称的最值、角度的范围，或者基本不等式等号取不到时，“利用三角函数求最值与范围”是最稳妥、最万能的方法，它的核心思想是：利用正弦定理或余弦定理，将边的关系转化为角的关系，最终将目标式子化为正弦型函数的形式，利用三角函数的图像和性质求值域.对点训练5钝角的内角，，的对边分别为，，，满足，则的取值范围为（

）A．（0，1） B． C． D．对点训练6如图所示，若，，点与分别在直线两侧，且，则的最大值为__________．课时练解三角形中的最值与范围问题【试题部分】1．三角形中，角所对的边分别为，已知，，点满足，则的最小值为（

）A． B．2 C． D．2．【2026·湖南永州·一模】已知分别为内角的对边，若，，动点满足的大小与的大小相等，则的最小值为（

）A． B． C． D．23．在锐角中，角的对边分别为，若，，则边上的中线长度的取值范围为（）A． B． C． D．4．【2014·江苏·高考真题】若△ABC的内角满足，则的最小值是_____．5．【2018·江苏·高考真题】在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________．6．【2011·新课标卷·高考真题】在中，，则的最大值为___________．7．【2022·全国甲卷·高考真题】已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________．8．【2025·上海·高考真题】在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且．(1)若，求a；(2)若，求的面积的最大值．9．【2026·山东泰安·模拟预测】已知内角，，的对边分别为，，，已知．(1)求角；(2)若，为中点，求的最大值．10．在中，角所对的边分别是，且.(1)求角；(2)若点在边上，且满足，，求面积的最小值.提素能4道题1．【2019·全国III卷·高考真题】的内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．2．如图，在平面四边形ABCD中，点B与点D分别在直线AC的两侧，．(1)若，，且，求；(2)若，且，求的最大值．3.在平行四边形中，.(1)若，证明：；(2)若，点在线段（包含端点）上运动，求的取值范围；(3)若是上一点，满足，且，求的最小值.4.如图，在中，为边上一点，且.(1)若.（i）求；（ii）求的面积；(2)求的取值范围.专题课解三角形中的最值与范围问题【课标要求】解三角形中的最值或范围问题，通常涉及与边长、周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，一直是高考的热点与重点，主要是利用三角函数、正余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等工具研究三角形问题，解决此类问题的关键是建立起角与边的数量关系．题型一数形结合求最值与范围例1【2015·新课标Ⅰ·高考真题】如图在平面四边形ABCD中，，，则AB的取值范围是___________．【答案】【详解】如图所示，延长BA，CD交于E，平移AD，当A与D重合与E点时，在中，，，，由正弦定理可得，即，解得，当D与C重合时，与AB交于F，在中，，，由正弦定理知可得，即，解得，所以AB的取值范围为.例2在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，，且，则的取值范围是___________．【答案】【详解】因为，由正弦定理得，且，即，可得，又因为，则，故，由辅助角公式得，即，因为，所以，所以，解得，由可得的外接圆半径，如图所示，则，当点与点重合时，在方向上的投影最大，最大为；当点与点重合时，在方向上的投影最小，最小为；所以的取值范围为.【解题技法】在解三角形的问题中，“数形结合”是突破最值和取值范围问题的核心利器，很多题目如果纯用代数方法(如正弦定理+三角函数化简，或余弦定理+基本不等式)会非常繁琐，甚至算不出来；但如果画出图形，利用几何性质，往往能瞬间看破玄机.对点训练1在中，角的对边分别为，若，，则面积的最大值为（）A.3 B.2 C. D.【答案】C【详解】因为，即，整理可得，且，以的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，则，设，因为，则，整理可得，可知点A的轨迹为椭圆（点除外），所以面积的最大值为.故选：C.对点训练2在中，若，过点作边的垂线，若的内心在直线上，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【详解】因为，则，设内切圆与边分别切于点，由题意可知：内切圆与边切于点，则，可得，可知点在以为焦点的双曲线上（右半支且不为点），则，可得双曲线的渐近线方程为，由渐近线的性质可知的取值范围为.题型二利用基本不等式求最值与范围例3【2025·上海·高考真题】在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且．(1)若，求a；(2)若，求的面积的最大值．【答案】(1)；(2)【详解】(1)由正弦定理可得即，又，所以，即，解得，所以.(2)因为，且，，所以，当且仅当时等号成立，当取最小值时，取最大值，最大值，所以的面积的最大值为.例4【25-26高三下·广西桂林·月考】在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，向量，，且．(1)求A；(2)若，，求面积的最大值；【答案】(1)；(2)【详解】(1)因为，所以，即，由正弦定理得，所以．因为，所以，所以，而为三角形内角，故，所以．因为，所以．(2)因为，所以，所以，所以，因为，且，所以，当且仅当时，等号成立，则的面积，即面积的最大值为．【解题技法】在解三角形的问题中，“利用基本不等式求最值”是最常用、最经典的代数方法之一，它通常与余弦定理、面积公式结合，用于处理“已知一边及其对角，求周长/面积最值”或“已知两边关系，求角或面积最值”等问题.对点训练3【2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．【答案】(1)；(2)．【详解】(1)因为可得，则，即，注意到，于是，展开可得，则，又，.(2)由(1)知，，所以，而，所以，即有，所以所以由正弦定理得．当且仅当时取等号，所以的最小值为．对点训练4【2026·海南海口·模拟预测】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．(1)求角A；(2)是的角平分线，且．当取最小值时，求此时的面积．【答案】(1)；(2)【详解】(1)，得到得到，，，又，.(2)由得，得，化简得，即，

所以，当且仅当时等号成立，取得最小值，

此时，面积为．题型三利用三角函数求最值与范围例5（2026·安徽合肥·三模）记的内角的对边分别为，已知．(1)求；(2)若是锐角三角形，求的取值范围．【答案】(1)；(2)．【详解】(1)由正弦定理，为外接圆半径.因为，所以，即，化简为，即，因为，所以．(2)因为，所以b+ca=又，所以．又是锐角三角形，则，解得，所以，.所以的取值范围为．例6如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，△ABC的面积为S，且．(1)求角B的大小；(2)若为平面ABC上△ABC外一点，DB=2，DC=1，求四边形ABDC面积的最大值．【答案】(1)；(2)【详解】(1)在中，由，则，则，即，∵，所以．(2)在中，，∴，又，则为等腰直角三角形，，又，∴，当时，四边形的面积最大值，最大值为．【解题技法】在解三角形的问题中，当题目涉及非对称的最值、角度的范围，或者基本不等式等号取不到时，“利用三角函数求最值与范围”是最稳妥、最万能的方法，它的核心思想是：利用正弦定理或余弦定理，将边的关系转化为角的关系，最终将目标式子化为正弦型函数的形式，利用三角函数的图像和性质求值域.对点训练5钝角的内角，，的对边分别为，，，满足，则的取值范围为（

）A．（0，1） B． C． D．【答案】B【详解】因为，由正弦定理得，，即，中，故，由及为钝角三角形可得，，由正弦定理得，，由各内角大于0，即，可得，故，对勾函数在上单调递减，且，所以，的取值范围为.对点训练6如图所示，若，，点与分别在直线两侧，且，则的最大值为__________．【答案】【详解】设，，因为，则，，由余弦定理，可得，因为，则.在中，，则.在中，由余弦定理，，代入得，，，由，则，所以当，即时，取最大值，此时取最大值为.课时练解三角形中的最值与范围问题【试题部分】1．三角形中，角所对的边分别为，已知，，点满足，则的最小值为（

）A． B．2 C． D．【答案】C【详解】在中，，所以.又，所以.又，所以，当且仅当时，等号成立.故的最小值为.2．【2026·湖南永州·一模】已知分别为内角的对边，若，，动点满足的大小与的大小相等，则的最小值为（

）A． B． C． D．2【答案】C【详解】因为，整理可得，则，可知为等边三角形．设点到直线的距离为，则，可得，如图，过点作，垂足为，则，过点作，垂足为，可知点在以为焦点，所在直线为准线的抛物线上，可知当点为抛物线顶点（即为的中点）时，取得最小值，此时，所以的最小值为．故选：C.3．在锐角中，角的对边分别为，若，，则边上的中线长度的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，由正弦定理可得，则，可得，显然，可得，即，以的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，可知点A在以为焦点的双曲线上（左半支且不含顶点），且，因为为锐角三角形，显然为锐角，取两种临界状态：若，则；若，则，可得；结合双曲线性质可知的取值范围为.故选：D.4．【2014·江苏·高考真题】若△ABC的内角满足，则的最小值是_____．【答案】【详解】试题分析：由正弦定理有,所以,,由于,故,所以的最小值是.5．【2018·江苏·高考真题】在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________．【答案】9【详解】由题意可知，,由角平分线定义和三角形面积公式得，化简得，即，因此当且仅当时取等号，则的最小值为.故答案为：.6．【2011·新课标卷·高考真题】在中，，则的最大值为___________．【答案】【详解】设，，，由余弦定理：，所以，设，则，代入上式得，方程有解，所以，故，当时，此时，，符合题意，因此最大值为.故答案为：.7．【2022·全国甲卷·高考真题】已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________．【答案】/【详解】设，则在中，，在中，，所以，当且仅当即时，等号成立，所以当取最小值时，.故答案为：.8．【2025·上海·高考真题】在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且．(1)若，求a；(2)若，求的面积的最大值．【答案】(1)；(2)【详解】（1）由正弦定理可得即，又，所以，即，解得，所以.（2）因为，且，，所以，当且仅当时等号成立，当取最小值时，取最大值，最大值，所以的面积的最大值为.9．【2026·山东泰安·模拟预测】已知内角，，的对边分别为，，，已知．(1)求角；(2)若，为中点，求的最大值．【答案】(1)；(2)【详解】（1），∴2sin，∴2sin，，即，，∴A+π3∈(π3,（2）∵a=23由余弦定理，b2+c由基本不等式，b2即bc≤12当且仅当b=c=24+12解法一，两边取平方，可得：|AD∴|AD当且仅当b=c=24+123=32+解法二：,∴AD整理得，故，∴AD≤21+123=3+2故取得最大值为.解法三：∵cos整理得，故，∴AD≤21+123=3+2故取得最大值为.10．在中，角所对的边分别是，且.(1)求角；(2)若点在边上，且满足，，求面积的最小值.【答案】(1)；(2)【详解】（1）由，得，即，因为，所以结合正弦定理得，又，所以，所以，所以，即，又，所以，所以，所以.（2）由知，因为，则，即，可得，即，当且仅当时，等号成立，所以面积的最小值为.提素能4道题1．【2019·全国III卷·高考真题】的内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．【答案】(1)；(2).【详解】(1)[方法一]【最优解：利用三角形内角和为结合正弦定理求角度】由三角形的内角和定理得，此时就变为．由诱导公式得，所以．在中，由正弦定理知，此时就有，即，再由二倍角的正弦公式得，解得．[方法二]【利用正弦定理解方程求得的值可得的值】由解法1得，两边平方得，即．又，即，所以，进一步整理得，解得，因此．[方法三]【利用正弦定理结合三角形内角和为求得的比例关系】根据题意，由正弦定理得，因为，故，消去得．，，因为故或者，而根据题意，故不成立，所以，又因为，代入得，所以.(2)[方法一]【最优解：利用锐角三角形求得C的范围，然后由面积函数求面积的取值范围】因为是锐角三角形，又，所以，则．因为，所以，则，从而，故面积的取值范围是．[方法二]【由题意求得边的取值范围，然后结合面积公式求面积的取值范围】由题设及（1）知的面积．因为为锐角三角形，且，所以即又由余弦定理得，所以即，所以，故面积的取值范围是．[方法三]【数形结合，利用极限的思想求解三角形面积的取值范围】如图，在中，过点A作，垂足为，作与交于点．由题设及（1）知的面积，因为为锐角三角形，且，所以点C位于在线段上且不含端点，从而，即，即，所以，故面积的取值范围是．

2．如图，在平面四边形ABCD中，点B与点D分别在直线AC的两侧，．(1)若，，且，求；(2)若，且，求的最大值．【答案】(1)；(2).【解析】(1)设，依题意，，则，，即，而，所以.(2)连接，中，，，

由余弦定理得，则，即，设，在中，，于是，在中，，由余弦定理得：，则，当且