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（培优版）九年级数学加油站（9月23日）参考答案与试题解析一．解答题（共1小题）1．如图，在等腰三角形ABC中，顶角BAC是锐角且∠BAC＞45°，点D是CB延长线上一点，点M是点C关于直线AD的对称点，过点M作AC的平行线交直线AD于点E，连接CE．（1）依题意补全图形并证明AC＝CE；（2）已知∠ADC＝α，写出一个α的值，使得∠BAC＝2∠DCE，并证明；（3）在（2）的条件下，直接写出AD，BD，ED的数量关系．【分析】（1）根据题意补全图形，进而证明四边形MECA是菱形；（2）设AB，CE交于点F，设∠BAC＝2∠DCE＝2β，根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理求得∠ADC＝45°，即可求解；（3）过点E作EG∥CD，过点A作AG⊥CD交EG于点G，连接GB，GC，证明△AEG是等腰直角三角形，可得AE=2EG，进而证明△AGB≌△EGC（SSS）得出∠AGB＝∠EGC，即可得出∠AGE＝∠BGC＝90°，进而证明ED∥BG得出四边形DEGB是平行四边形．可得EG＝DB，即可得出【解答】解：（1）依题意补全图形，如图1即为所求；∵点M是点C关于直线AD的对称点，∴∠CAE＝∠MAE，AM＝AC，∵过点M作AC的平行线交直线AD于点E，．∴ME∥AC，∴∠MEA＝∠CAE，∴∠MEA＝∠MAE，∴ME＝MA，∴ME＝AC，∴四边形MECA是平行四边形，∴四边形MECA是菱形，∴AC＝CE；（2）解：α＝45°；证明：如图2，∠ADC＝45°，∠BAC＝2∠DCE，设AB，CE交于点F，设∠BAC＝2∠DCE＝2β，∵AB＝AC，∴∠ABC=∠ACB=1∴∠ABC+∠DCE＝90°即∠AFE＝∠BFC＝90°，∴∠ACE＝∠ACB﹣∠DCE＝90°﹣β﹣β＝90°﹣2β，∵CA＝CE，∴∠CAE=∠CEA=1∴∠ADC＝180°﹣∠CAE﹣∠DCA＝180°﹣（45°+β）﹣（90°﹣β）＝45°，即α＝45°；（3）2DB+ED=AD证明：如图3，过点E作EG∥CD，过点A作AG⊥CD交EG于点G，连接GB，GC，∵∠CDA＝45°，EG∥CD，∴∠AEG＝45°，∴△AEG是等腰直角三角形，∴AE=2∵AB＝AC，AG⊥CD，∴GB＝GC，∵AB＝AC，AC＝EC，∴AB＝CE，在△AGB和△EGC中，AG=EGAB=EC∴△AGB≌△EGC（SSS），∴∠AGB＝∠EGC，∴∠AGB﹣∠EGB＝∠EGC﹣∠EGB，即∠AGE＝∠BGC＝90°，∵GB＝GC，∴∠GBC＝∠GCB＝45°，∴∠GBC＝∠ADC，∴ED∥BG，∴四边形DEGB是平行四边形，∴EG＝DB，∴AE=2∴AD=AE+ED=2DB+ED，即【点评】本题属于几何变换综合题，主要考查了全等三角形的性质与判定，菱形的性质

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