中考数学难题突破之二次根式

2027年中考数学复习难题速递之二次根式（2026年7月）一．选择题（共10小题）1．某中学数学兴趣小组在一次课外学习与探究中遇到一些新的数学符号，将其中某些材料摘录如下：对于三个实数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数，例如M{1，3，8}=1+3+83=4，min{﹣3，﹣1，2}＝﹣3，min{1，请结合上述材料，判断下列说法中正确的个数是（）①M{(-2)2，(-3②若min{3﹣2x，2x+1，﹣5}＝﹣5，则x的取值范围是﹣3≤x≤4；③若M{2x，x﹣1，﹣5}＝min{﹣2，﹣1，2x}，则x的值为0或﹣2．A．0 B．1 C．2 D．32．对于正实数n，根据n是否是有理数，分以下两种情况得到另一个正实数m；若n为有理数，则m=n+1；若n为无理数，则m＝n2+2．这种得到m的过程称为对n进行一次变换．对所得的数m再进行一次变换称为对n进行二次变换，…，依此类推．例如，正实数n＝5为有理数，则对5进行一次变换得到的数为5+1=6，6为无理数，对5进行二次变换得到的数为(6)2+2=8；8①对正实数1进行三次变换，得到的数为5；②若对正实数n进行二次变换得到的数为3，则所有满足条件的n的值之和为63+6③若对实数n进行三次变换得到的数为5，且n＞5，则所有满足条件的n有4个．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个3．在学习二次根式的过程中，小明同学发现一些特殊无理数之间具有互为倒数的关系．如：由(2+1)(2-1)=1，可得2+1与2-1互为倒数，即12+1=2-1A．2176 B．2177 C．2178 D．21794．下列计算正确的是（）A．(-8)2=-8 BC．381=9 D5．在除法运算中，当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似yx这样的形式，我们称形如这种形式的式子为根分式，例如35，x+2x2-3①根分式N=x2-8x+17x-3中x的取值范围为：②存在整数x，使得：N2﹣M2＝1；③存在无数个无理数x，使得M2+N2是一个整数．其中错误的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．36．当1＜a＜2时，代数式(a-1)2+A．﹣1 B．2a﹣3 C．1 D．3﹣2a7．下列计算错误的是（）A．(2)2=2 B．22-2=8．某同学做了以下四道习题，其中做错的题是（）A．16a4=4a2C．5a⋅10a=52a D9．下列计算正确的是（）A．53-3=5 B．(2)2=210．下列各式中计算正确的是（）A．2+3=5 C．3×6=32二．填空题（共5小题）11．阅读理解：对于任意正实数a，b，∵(a-b)2≥0，∴a-2ab+b≥0，∴a+b≥2ab，只有当a＝b时，等号成立．结论：在a+b≥2ab（a，b均为正实数）中，只有当a＝b时，a+b有最小值2ab．若正实数m，n满足12．若实数x，y同时满足x﹣|y|＝2，x2+2y=5，则x+y的值为13．若一个三角形的三边长分别为5，7，23，则此三角形的面积为14．观察下列各式：4+(1+12)2=2+11×2，4+(15．【文化欣赏】我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方（a+b）n展开式的系数规律如图所示，其中“立方”对应的展开式：（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3．【应用体验】已知(x+3)3=x3+mx2+nx+33三．解答题（共5小题）16．阅读材料，解答下列问题：材料：已知8-x-3-x=1解答示例：∵(8-x又∵8-x-3-x=1这种方法称为“构造乘积对偶法”．问题：已知50-x+（1）求50-x-（2）求x的值．17．阅读下列材料：材料1：若无理数A的被开方数A满足n2＜A＜（n+1）2（其中A、n均为正整数），则称无理数A的“整数区间”为（n，n+1）；同理：无理数-A的“整数区间”为（﹣n﹣1，﹣n例：若42＜17＜52，则4＜则17的“整数区间”为（4，5），-17的“整数区间”为（﹣5，﹣4材料2：若A（A是整式）有意义，则A≥0且A≥0解决问题：（1）3的“整数区间”是；-3的“整数区间”是（2）若无理数-a（a为正整数）的“整数区间”为（﹣3，﹣2），无理数a+2的“整数区间”是（3，4），求的a（3）实数x，y，m满足关系式：2x+y+m+x+2y-7m=18．现有两块长和宽分别相等的矩形木板，甲木工采用如图1所示的方式，在矩形木板上截出两个面积分别为18dm2和32dm2的正方形木板A，B．（1）求矩形木板的面积；（2）乙木工想采用如图2所示的方式，在矩形木板上截出两个面积均为25dm2的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由．19．先阅读，再解决问题：在二次根式的世界里，有一类特别“有规律”的等式，比如：1+1121+1（1）观察以上的“魔法等式”，直接写出结果：1+1132+1142=（2）运用以上你发现的规律计算：1+120．【阅读理解】滨滨在学习二次根式性质时，发现有些含二次根式的式子，可以化成另一个含二次根式的式子的平方．例如4+23设4+23=(a+b)2=a2+2ab+b2(a＞0验证a2+b【深入思考】（1）江江发现把ab=3两边平方，得a2b2＝3，设x＝a2，又因为a2+b2＝4，所以b2＝4﹣x，这样就能先求x的值，再求出a，b的值，请你把江江求a，b【尝试探究】（2）把下列各式化成含二次根式的式子的平方（直接写出结果）：①6+25②10-221

2027年中考数学复习难题速递之二次根式（2026年7月）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案DCCBCCCBBC一．选择题（共10小题）1．某中学数学兴趣小组在一次课外学习与探究中遇到一些新的数学符号，将其中某些材料摘录如下：对于三个实数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数，例如M{1，3，8}=1+3+83=4，min{﹣3，﹣1，2}＝﹣3，min{1，请结合上述材料，判断下列说法中正确的个数是（）①M{(-2)2，(-3②若min{3﹣2x，2x+1，﹣5}＝﹣5，则x的取值范围是﹣3≤x≤4；③若M{2x，x﹣1，﹣5}＝min{﹣2，﹣1，2x}，则x的值为0或﹣2．A．0 B．1 C．2 D．3【考点】二次根式的性质与化简；解一元一次不等式组；立方根；实数大小比较．【专题】二次根式；运算能力．【答案】D【分析】根据题目给出的平均数M和最小值min的定义，逐个验证三个说法的正误，统计正确个数即可得到答案．【解答】解：根据题目给出的平均数M和最小值min的定义逐个验证三个说法：①先化简三个数：(-2)2=2，∴M{(-2又3-8=-2，三个数2，∴min{2，π②∵min{3﹣2x，2x+1，﹣5}＝﹣5，说明﹣5是三个数中的最小值，因此其余两个数都不小于﹣5，可得3-2x≥-52x+1≥-5解第一个不等式得x≤4，解第二个不等式得x≥﹣3，∴x的取值范围是﹣3≤x≤4，故②正确，符合题意；③先计算平均数：M{2x，x-1，-5}=2x+x-1-53=x-2，等式为x﹣2＝min{﹣2分情况讨论：若2x≤﹣2即x≤﹣1，此时min{﹣2，﹣1，2x}＝2x，则x﹣2＝2x，解得x＝﹣2，满足x≤﹣1，是有效解；若2x＞﹣2即x＞﹣1，此时min{﹣2，﹣1，2x}＝﹣2，则x﹣2＝﹣2，解得x＝0，满足x＞﹣1，是有效解；∴x的值为0或﹣2，故③正确，符合题意；故选：D．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简、立方根、实数大小的比较，熟练掌握以上知识点是关键．2．对于正实数n，根据n是否是有理数，分以下两种情况得到另一个正实数m；若n为有理数，则m=n+1；若n为无理数，则m＝n2+2．这种得到m的过程称为对n进行一次变换．对所得的数m再进行一次变换称为对n进行二次变换，…，依此类推．例如，正实数n＝5为有理数，则对5进行一次变换得到的数为5+1=6，6为无理数，对5进行二次变换得到的数为(6)2+2=8；8①对正实数1进行三次变换，得到的数为5；②若对正实数n进行二次变换得到的数为3，则所有满足条件的n的值之和为63+6③若对实数n进行三次变换得到的数为5，且n＞5，则所有满足条件的n有4个．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【考点】二次根式的性质与化简；无理数；规律型：数字的变化类．【专题】二次根式；运算能力．【答案】C【分析】根据给定的变换规则，对正实数n，若n为有理数，一次变换结果为m=n+1；若n为无理数，一次变换结果为m＝n2+2【解答】解：变换规则为：对正实数n，若n为有理数，一次变换结果为m=n+1；若n为无理数，一次变换结果为m＝n2+2判定说法①：1是有理数，一次变换得1+1=2；二次变换得(2)2三次变换得4+1=5，因此说法判定说法②：对n二次变换得3，设一次变换结果为t，即对t变换得3．若t为有理数，则t+1=3，解得t＝8再对n分类：若n为有理数，n+1=8得n＝63若n为无理数，n2+2＝8得n=6若t为无理数，则t2+2＝3，解得t＝1（负根舍去），1是有理数，矛盾舍去．满足条件的n和为63+6，因此说法②判定说法③：三次变换得5，设二次变换结果为a，一次变换结果为b，从后往前推导：对a变换得5，得a＝24（有理）或a=3（无理），共2个a对b变换得a，得b＝575、b=22、b＝2，共3个b对n变换得b且要求n＞5：b＝575得2个符合的n，b=22得1个符合的n，b＝2没有符合的n共3个符合条件的n，说法③认为有4个，因此说法③错误，不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简、数字的变化规律，熟练掌握以上知识点是关键．3．在学习二次根式的过程中，小明同学发现一些特殊无理数之间具有互为倒数的关系．如：由(2+1)(2-1)=1，可得2+1与2-1互为倒数，即12+1=2-1A．2176 B．2177 C．2178 D．2179【考点】分母有理化；无理数．【专题】实数；运算能力．【答案】C【分析】根据分母有理化的方法将原式化为12+1+13+2+14+【解答】解：∵12+1=1×(2-1)(2∴12+1+13+2+∵332-1=2178-1∴整数n＝2178，故选：C．【点评】本题考查分母有理化，掌握分母有理化的方法是正确解答的关键．4．下列计算正确的是（）A．(-8)2=-8 BC．381=9 D【考点】二次根式的性质与化简；立方根．【专题】二次根式；运算能力．【答案】B【分析】根据算术平方根的非负性及立方根的性质逐一判断各选项的正确性．【解答】解：根据算术平方根的非负性及立方根的性质逐项分析判断如下：A、(-8)2B、-(-2)C、381D、149故选：B．【点评】本题考查平方根和立方根的基本概念．熟练掌握以上知识点是关键．5．在除法运算中，当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似yx这样的形式，我们称形如这种形式的式子为根分式，例如35，x+2x2-3①根分式N=x2-8x+17x-3中x的取值范围为：②存在整数x，使得：N2﹣M2＝1；③存在无数个无理数x，使得M2+N2是一个整数．其中错误的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】二次根式的定义；无理数；分式的定义．【专题】二次根式；运算能力．【答案】C【分析】根据二次根式、分式有意义的条件判断①，再通过分式化简、因式分解判断②和③，用到初中二次根式性质，完全平方公式，分式化简等知识点．【解答】解：当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似yx判断①要使根分式N有意义，需满足被开方数非负，分母不为零，∵x2﹣8x+17＝（x﹣4）2+1＞0对任意实数x恒成立，只需满足分母x﹣3≠0，即x≠3，∴x的取值范围是x≠3，故①说法错误，符合题意；判断②计算得M2∴N2令N2﹣M2＝1，得x2-10x+21(x-3)2对分子因式分解得x2﹣10x+21＝（x﹣3）（x﹣7），代入得(x-3)(x-7)(x-3整理得x﹣7＝x﹣3，即﹣7＝﹣3，矛盾，方程无解，故②说法错误，符合题意；判断③M2∵x2﹣6x+13＝（x﹣3）2+4，∴M2若M2+N2是整数，则4(x-3)2整理得x=3±2当k为非完全平方正整数时，k是无理数，x为无理数，这样的k有无数个，对应无数个无理数x满足条件，∴③说法正确，不符合题意，故选：C．【点评】本题考查二次根式的定义，正确进行计算是解题关键．6．当1＜a＜2时，代数式(a-1)2+A．﹣1 B．2a﹣3 C．1 D．3﹣2a【考点】二次根式的性质与化简．【专题】二次根式；运算能力．【答案】C【分析】根据题意，得到a﹣1＞0，a﹣2＜0，把二次根式化简，可得到结果．【解答】解：∵1＜a＜2，∴a﹣1＞0，a﹣2＜0，∴(a-1＝|a﹣1|+|a﹣2|＝a﹣1+2﹣a＝1．故选：C．【点评】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．7．下列计算错误的是（）A．(2)2=2 B．22-2=【考点】二次根式的混合运算．【专题】二次根式；运算能力．【答案】C【分析】根据二次根式混合运算的法则进行计算即可．【解答】解：A、(2B、22C、8÷D、3×故选：C．【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．8．某同学做了以下四道习题，其中做错的题是（）A．16a4=4a2C．5a⋅10a=52a D【考点】二次根式的混合运算．【专题】二次根式；运算能力．【答案】B【分析】根据二次根式的运算法则逐项分析判断即可．【解答】解：根据二次根式的运算法则逐项分析判断如下：A、16aB、3a与2a不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，符合题意；C、由二次根式有意义的条件可知a≥0，则5a⋅D、由二次根式有意义的条件和分式有意义的条件可得a＞0，则a1故选：B．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是关键．9．下列计算正确的是（）A．53-3=5 B．(2)2=2【考点】二次根式的混合运算．【专题】二次根式；推理能力．【答案】B【分析】根据二次根式的减法运算对A选项进行判断；根据二次根式的性质对B选项进行判断；根据最简二次根式的定义对C选项进行判断；根据二次根式的加法运算对D选项进行判断．【解答】解：A．53-3=43B．（2）2＝2，所以B选项符合题意；C．62为最简二次根式，所以CD．2与3不能合并，所以D选项不符合题意．故选：B．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键．10．下列各式中计算正确的是（）A．2+3=5 C．3×6=32【考点】二次根式的混合运算．【专题】二次根式；运算能力．【答案】C【分析】根据二次根式的运算法则进行计算即可，【解答】解：A、2与3不是同类二次根式，不能合并，错误，不符合题意；B、2与2不是同类二次根式，不能合并，B错误，不符合题意；C、3×6=D、36+26故选：C．【点评】本题考查二次根式的应用，正确进行计算是解题关键．二．填空题（共5小题）11．阅读理解：对于任意正实数a，b，∵(a-b)2≥0，∴a-2ab+b≥0，∴a+b≥2ab，只有当a＝b时，等号成立．结论：在a+b≥2ab（a，b均为正实数）中，只有当a＝b时，a+b有最小值2ab．若正实数m，n【考点】二次根式的混合运算；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根．【专题】二次根式；运算能力．【答案】22【分析】根据题意，将题目中的式子变形，即可求得所求式子的最大值．【解答】解：∵2m+2mn+n＝∴2m﹣22mn+n＝3﹣32mn∴（2m-n）2＝3﹣3∵（2m-n）2≥∴3﹣32mn≥0化简，得：2mn≤1∴mn≤∴mn的最大值为22故答案为：22【点评】本题考查二次根式的混合运算、完全平方公式，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．12．若实数x，y同时满足x﹣|y|＝2，x2+2y=5，则x+y的值为2【考点】二次根式的性质与化简．【专题】二次根式；运算能力．【答案】2．【分析】由绝对值的非负性可判断x≥0，则化简第二个式子可得x+2y＝5，与第一个式子消元可得2+|y|＝5﹣2y，分类讨论y的值即可求解．【解答】解：由条件可知x＝2+|y|，∴x≥0，∵x2∴x+2y＝5，∴x＝5﹣2y，∴2+|y|＝5﹣2y，当y≥0时，2+y＝5﹣2y，y＝1，此时x＝5﹣2×1＝3，∴x+y=当y＜0时，2﹣y＝5﹣2yy＝3（舍）；∴x+y=2故答案为：2．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握以上知识点是关键．13．若一个三角形的三边长分别为5，7，23，则此三角形的面积为352【考点】二次根式的应用；勾股定理．【专题】二次根式；运算能力．【答案】352【分析】先确定三角形的最大边，根据勾股定理的逆定理判断该三角形为直角三角形，再利用直角三角形的面积公式计算即可．【解答】解：∵(5)2∴(5∴两条直角边为5和7，∴S△=1故答案为：352【点评】本题考查了二次根式的应用，熟练掌握运算法则是关键．14．观察下列各式：4+(1+12)2=2+11×2，4+(【考点】二次根式的性质与化简；规律型：数字的变化类．【专题】二次根式；运算能力．【答案】101100【分析】根据规律将原式化为200﹣[2+11×2+2+12×3+2+13×4+⋯+2+【解答】解：原式＝200﹣[2+11×2+2+12×3＝200﹣[2×99+（11×2+＝200﹣198﹣（1-1＝2﹣（1-1＝2﹣1+＝1+=101故答案为：101100【点评】本题考查二次根式的性质与化简，数字变化类，掌握二次根式的性质与化简方法是正确解答的关键．15．【文化欣赏】我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方（a+b）n展开式的系数规律如图所示，其中“立方”对应的展开式：（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3．【应用体验】已知(x+3)3=x3+mx2+nx+33，则m【考点】二次根式的混合运算；完全平方公式．【专题】二次根式；运算能力．【答案】33+9【分析】根据（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3进行计算，即可解答．【解答】解：∵（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，∴（x+3）3＝x3+3x2•3+3x•（3）2+（3）3＝x3+33x2+9x+3∵(x+3∴m＝33，n＝9，∴m+n＝33+9故答案为：33+9【点评】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．三．解答题（共5小题）16．阅读材料，解答下列问题：材料：已知8-x-3-x=1解答示例：∵(8-x又∵8-x-3-x=1这种方法称为“构造乘积对偶法”．问题：已知50-x+（1）求50-x-（2）求x的值．【考点】二次根式的化简求值．【专题】二次根式；运算能力．【答案】（1）4；（2）x＝1．【分析】（1）运用题目中的方法进行计算、求解；（2）运用50-x+10-x=10，50-x-【解答】解：（1）∵（50-x+10-x）（＝（50-x）2﹣（10-x）2＝50﹣x﹣10+x＝40，∴50-x=40=40＝4；（2）∵50-x+10-x50-x-10-x∴（50-x+10-x）+（=50-x＝250-x=14∴50-x=7∴50﹣x＝49，∴x＝1．【点评】此题考查了二次根式化简的应用能力，关键是能准确理解并运用二次根式的性质和题目中的方法．17．阅读下列材料：材料1：若无理数A的被开方数A满足n2＜A＜（n+1）2（其中A、n均为正整数），则称无理数A的“整数区间”为（n，n+1）；同理：无理数-A的“整数区间”为（﹣n﹣1，﹣n例：若42＜17＜52，则4＜则17的“整数区间”为（4，5），-17的“整数区间”为（﹣5，﹣4材料2：若A（A是整式）有意义，则A≥0且A≥0解决问题：（1）3的“整数区间”是（1，2）；-3的“整数区间”是（﹣2，﹣1）（2）若无理数-a（a为正整数）的“整数区间”为（﹣3，﹣2），无理数a+2的“整数区间”是（3，4），求的a（3）实数x，y，m满足关系式：2x+y+m+x+2y-7m=【考点】二次根式有意义的条件；非负数的性质：算术平方根；无理数．【专题】实数；二次根式；运算能力．【答案】（1）（1，2），（﹣2，﹣1）；（2）8；（3）（5，6）．【分析】（1）根据算术平方根的定义估算无理数3，-3（2）根据-a和a+2的“整数区间”的意义确定a的取值范围，进而确定正整数a（3）根据二次根式有意义的条件得到x+y＝62，再根据算术平方根的非负性得到x+y＝6m﹣124，进而求出m的值，再估算无理数m的大小即可．【解答】解：（1）∵1＜3＜∴3的“整数区间”是（1，2），∵1＜3＜∴﹣2＜-∴-3的“整数区间”是（﹣2，﹣1故答案为：（1，2），（﹣2，﹣1）；（2）∵无理数-a（a为正整数）的“整数区间”为（﹣3，﹣2），无理数a+2的“整数区间”是（3，4∴4＜a＜9，且9＜a+2＜16，即4＜a＜9且7＜a＜14，且a为正整数，∴a＝8；（3）∵(x+y)-62与62-(x+y)均有意义，∴（x+y）﹣62≥0且62﹣（x+y）≥0，∴（x+y）﹣62＝62﹣（x+y）＝0，即x+y＝62，当x+y＝62时，(x+y)-62+62-(x+y)∴2x+y+m+x+2y-7m即(x+y)+x+m+(x+y)+y-7m∴x+m+62+y-7m+62∴x+m+62＝0，y﹣7m+62＝0，∴x+y＝6m﹣124，∵x+y＝62，∴6m﹣124＝62，解得m＝31，∵5＜31＜∴31的“整数区间”为（5，6），即m的“整数区间”为（5，6）．【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义，理解“整数区间”的定义是正确解答的关键．18．现有两块长和宽分别相等的矩形木板，甲木工采用如图1所示的方式，在矩形木板上截出两个面积分别为18dm2和32dm2的正方形木板A，B．（1）求矩形木板的面积；（2）乙木工想采用如图2所示的方式，在矩形木板上截出两个面积均为25dm2的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由．【考点】二次根式的应用．【专题】二次根式；运算能力；科学文化情境．【答案】（1）原矩形木板的面积为56dm2．（2）不能截出，∵面积为25dm2的两个正方形木板的边长＝5（dm），5+5＝10=100＞98∴不能在长方形木板②上截出面积为25dm2的两个正方形木板．【分析】（1）根据二次根式的性质分别求出两个正方形的边长，结合图形计算得到答案；（2）先求截出的两个正方形木板的边长，再与长方形木板的长比较即可．【解答】解：（1）∵两个正方形的面积分别为18dm2和32dm2，∴这两个正方形的边长分别为18=32（dm）和32=42（∴原矩形木板的长为32+42=72（dm），宽为42∴原矩形木板的面积为72×42=56（答：原矩形木板的面积为56dm2．（2）不能截出，理由如下：∵面积为25dm2的两个正方形木板的边长＝5（dm），