中考数学难题突破之二元一次方程组

2027年中考数学复习难题速递之二元一次方程组（2026年7月）一．选择题（共10小题）1．若关于x，y的二元一次方程组ax+by=mcx+dy=n的解满足：2x+3y＝1，则关于x，y的二元一次方程组ax+by-2b=5mcx+dy-2d=5n的正整数解的组数有A．1组 B．2组 C．3组 D．无数组2．已知关于x，y的方程组a1x+b1y=c1a2x+bA．x=4.1y=13.5 B．x=4.1C．x=6.2y=9 D．3．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，书中记载有这样一个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其意思是：“今有3人坐一辆车，则有2辆车是空的；2人坐一辆车，则有9人需要步行．问：人与车各多少？”若设有x个人，y辆车，则可列方程组是（）A．3(y-2)=x2y-9=x B．3(y+2)=xC．3(y-2)=x2y+9=x D．4．古书中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当．”翻译成现代文，其大意如下：甲乙两人隔一条沟放牧，二人心里暗中合计．甲对乙说：“我得到你的九只羊，我的羊就比你多一倍．”乙对甲说：“我得到你的九只羊，咱俩的羊一样多．”设甲有羊x只，乙有羊y只，则符合题意的方程组是（）A．x+9=2yy+9=xB．2(x+9)=y-9x-9=y+9C．x+9=2(y-9)x-9=y+9D．x-9=2(y-9)5．“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．如图给出了《燕几图》中名为“屏山”的桌面组合方式，若设每张桌面的宽为m尺，每张长桌的长为n尺，根据图中信息，可列方程组为（）A．4m=7m+n=8.75 B．4n=7C．4m=72m+n=8.75 D．6．已知x=1y=-2是关于x，y的方程，x+ky＝3的一个解，则k的值为（A．﹣1 B．1 C．2 D．37．定义：横、纵坐标都是整数的点，称为格点；若一个三角形的顶点全是格点，则这个三角形称为格点三角形．格点三角形的面积可以用皮克定理来计算：S=a+b2-1．（其中a是三角形内部格点数目，b是三角形边上格点数目）．平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，﹣3），B（4，5），C（6，1），三角形ABC的内部比边上多9个格点，求三角形ABCA．17 B．18 C．19 D．208．若关于x，y的方程组4x+3y=11ax+by=-2和3x-5y=1bx-ay=6有相同的解，则a+b的值是A．2 B．﹣1 C．1 D．09．阅读下面的诗句：“栖树一群鸦，鸦树不知数，两只栖一树，五只没去处，五只栖一树，闲了两棵树，余树均栖满，请你仔细数，鸦树各几何？”大意是：“一群乌鸦在树上栖息，若每棵树上有2只，则5只没地方去，若每棵树上有5只，则会空出2棵树．”设有树x棵，乌鸦y只，依题意可列方程组（）A．2y+5=x5(y-2)=x B．2x+5=yC．2y+5=x5y=x-2 D．10．我国古代数学名著《算法统宗》中有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果一间客房住9人，那么就空出一间客房无人住．若设该店有x间客房，房客y人，则可列方程组为（）A．7x-7=y9(x-1)=y B．7x+7=yC．7x+7=y9x-1=y D．二．填空题（共5小题）11．关于x，y的二元一次方程组x+y=2x-y=a的解满足|x|＜1且y＞0，则整数a的值为12．如图所示，大长方形中放置了6个形状、大小都相同的小长方形（无缝隙、不重叠），图中阴影部分面积是．13．下列说法：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②若3.14≈1.77，且-x≈17.7，则x＝﹣③已知关于x、y的二元一次方程组x+y=1-ax-y=3a+5，不论a取什么有理数，2x+y④若不等式|a﹣1|+|a+4|≥m对一切实数a都成立，则m的最大值是5；⑤若关于x的不等式组2x-a＜02x+1＞-9所有的整数解的和为﹣4，则a的取值范围是﹣8＜a＜﹣6或6其中正确说法是（填正确结论的序号）．14．现要在矩形草坪中规划出3块大小，形状一样的小矩形（图形中阴影部分）区域种植鲜花，数据如图所示，则每块小矩形的宽是m．15．我们规定：一个四位数M=abcd，若满足a+c＝b+d＝9，则称这个数为“福禄数”．例如：四位数1287，因为1+8＝2+7＝9，所以1287是“福禄数”．按照这个规定，最小的“福禄数”是；一个“福禄数”M=abcd，将其千位数字与个位数字调换位置，百位数字与十位数字调换位置，得到一个新的数M′=dcba，记F（M）=M+M'11，G（M）＝c+4d．若ab+G(M)19与F(M)+cd+8三．解答题（共5小题）16．学校计划租用客车送师生到劳动基地开展实践活动．收集信息如下：信息1：客运公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车清员情况下，4辆A型客车载客人数相同，3辆B型客车载客人数相同，3辆A型客车和4辆B型客车共载客375人．信息2：A型客车租车费用为1200元/辆，B型客车租车费用为1500元/辆．信息3：学校参加实践活动的师生共有1025人；租用A，B两种型号客车共20辆，其中A型客车至少8辆．问题解决（1）求A，B两种型号每辆车清员时的载客人数；（2）共有几种租车方案；（3）设计一种方案，使本次实践活动的租车总费用最少，并求出最少总费用．17．数学活动课上，各学习小组根据方程组的特点选择适当的方法解决下列问题：已知关于x，y的二元一次方程组3x+4y=3①x+2y=1-2m②的解满足x+y＝2③，求m联想组：将①③联立可得一个不含m的二元一次方程组，求出x，y的值，再求m的值；巧思组：直接①﹣②可以更简便地求出m的值．（1）请按照联想组的方法，求出x，y的值；（2）请按照巧思组的思路求m的值．18．根据以下素材，探究完成任务．设计预订巴士优惠方案素材一某校八年级师生600人一行前往矮寨大桥和十八洞村进行春季研学活动．现有大巴和中巴两种车型可供选择素材二若预订8辆大巴车和7辆中巴车会有5个空座位，预订7辆大巴车和8辆中巴车，则有5人无座位素材三旅游公司制定车辆租赁费用如下：大巴车租金为540元/辆，中巴车租金为490元/辆问题解决任务一探求两种车型的规格请运用适当方法，求出1辆大巴车与1辆中巴车的载客量．任务二探究预定方案请你为该校选择一种最优惠的预定方案．19．综合与实践【主题】探究大球、小球数量与水面高度的变化关系．【素材】如图．①若干个体积相同的大球和体积相同的小球；②原始水面高度是26cm的高为55cm的圆柱形烧杯．【实践操作】如图．步骤一：将3个小球放入烧杯中，测得此时水面高度为32cm；步骤二：将步骤一的小球取出，放入2个大球，测得此时水面高度也为32cm．（误差均忽略不计）【实践探索】（1）放入一个小球水面升高cm；（2）若放入大球、小球共10个，要使水面高度为50cm，求放入大球和小球的个数．20．在运动与代谢研究中，发现人体供能主要靠碳水化合物和脂肪，身体在分解这两类物质时会消耗氧气、生成二氧化碳并释放热量．如表为安静状态下，分解1克营养物质时实验测得的相关数据：分解的营养物质氧气消耗量（g）二氧化碳生成量（g）释放热量（kJ）1g碳水化合物11.5181g脂肪3340（1）【数据推算】小王在安静状态下，通过运动手表测得身体每分钟分解碳水化合物和脂肪的氧气消耗总量为0.5g，二氧化碳生成总量为0.6g．求他的身体平均每分钟分解碳水化合物和脂肪各多少克？（2）【运动规划】已知小王计划进行30分钟的有氧运动，运动方式分为跳绳和快走．跳绳每分钟释放热量50kJ，快走每分钟释放热量20kJ．若他想通过这次运动消耗掉身体在安静状态下150分钟分解碳水化合物和脂肪所释放的总热量（按第（1）小题的结果计算），请问他至少需要安排多少分钟进行跳绳？

2027年中考数学复习难题速递之二元一次方程组（2026年7月）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案BDCCAAADBB一．选择题（共10小题）1．若关于x，y的二元一次方程组ax+by=mcx+dy=n的解满足：2x+3y＝1，则关于x，y的二元一次方程组ax+by-2b=5mcx+dy-2d=5n的正整数解的组数有A．1组 B．2组 C．3组 D．无数组【考点】二元一次方程组的解．【专题】一次方程（组）及应用；推理能力．【答案】B【分析】将待解方程组变形后与原方程组对比，得到待解方程组中x，y满足的关系式，再求该方程的正整数解个数即可．【解答】解：ax+by-2b=5mcx+dy-2d=5n可化为：a⋅x令u=x5，则方程组au+bv=mcu+dv=n的解满足2u+3v＝1代入得：2⋅x∴2x+3y＝11，即y=11-2x∵x，y为正整数，∴11-2x3＞0，即x＜5.5，且11﹣2x当x＝1时，y＝3，符合条件，当x＝4时，y＝1，符合条件，其余正整数x均不满足条件，∴正整数解共2组，故选：B．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组的应用是解题的关键．2．已知关于x，y的方程组a1x+b1y=c1a2x+bA．x=4.1y=13.5 B．x=4.1C．x=6.2y=9 D．【考点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组．【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．【答案】D【分析】先把新方程组变形为：a1(x-2)+b1⋅(3y)=c1a2(x-2)+b2⋅(3y)=c2，令m＝x﹣2，n＝3y，则新方程组为a1m+b1n=c1a【解答】解：先把新方程组变形为：a1令m＝x﹣2，n＝3y，则新方程组为a1∵方程组a1x+b∴m=4.2n=9∴x-2=4.23y=9解得：x=6.2y=3故选：D．【点评】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，掌握二元一次方程组的解的定义，解二元一次方程组的方法是解题的关键．3．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，书中记载有这样一个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其意思是：“今有3人坐一辆车，则有2辆车是空的；2人坐一辆车，则有9人需要步行．问：人与车各多少？”若设有x个人，y辆车，则可列方程组是（）A．3(y-2)=x2y-9=x B．3(y+2)=xC．3(y-2)=x2y+9=x D．【考点】二元一次方程组的应用．【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．【答案】C【分析】根据今有3人坐一辆车，则有2辆车是空的；2人坐一辆车，则有9人需要步行；列出二元一次方程组即可．【解答】解：根据题意得：3(y-2)=x2y+9=x故选：C．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．4．古书中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当．”翻译成现代文，其大意如下：甲乙两人隔一条沟放牧，二人心里暗中合计．甲对乙说：“我得到你的九只羊，我的羊就比你多一倍．”乙对甲说：“我得到你的九只羊，咱俩的羊一样多．”设甲有羊x只，乙有羊y只，则符合题意的方程组是（）A．x+9=2yy+9=xB．2(x+9)=y-9x-9=y+9C．x+9=2(y-9)x-9=y+9D．x-9=2(y-9)【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．【答案】C【分析】设甲有羊x只，乙有羊y只，根据“甲得到乙的九只羊后，甲的羊就比乙多一倍；乙得到甲的九只羊后，两人的羊一样多”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【解答】解：设甲有羊x只，乙有羊y只．∵甲对乙说：“我得到你的九只羊，我的羊就比你多一倍．”∴x+9＝2（y﹣9）；∵乙对甲说：“我得到你的九只羊，咱俩的羊就一样多．”∴x﹣9＝y+9．联立两方程组成方程组x+9=2(y-9)x-9=y+9故选：C．【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．5．“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．如图给出了《燕几图》中名为“屏山”的桌面组合方式，若设每张桌面的宽为m尺，每张长桌的长为n尺，根据图中信息，可列方程组为（）A．4m=7m+n=8.75 B．4n=7C．4m=72m+n=8.75 D．【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．【答案】A【分析】根据每张桌面的宽都相等，设每张桌面的宽为m尺，每张长桌的长为n尺，由图形结合A（7，8.75）列式即可．【解答】解：根据题意知：横轴方向，4m＝7，纵轴方向，m+n＝8.75，∴方程组为4m=7m+n=8.75故选：A．【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．6．已知x=1y=-2是关于x，y的方程，x+ky＝3的一个解，则k的值为（A．﹣1 B．1 C．2 D．3【考点】二元一次方程的解．【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．【答案】A【分析】把x与y的值代入方程计算即可求出k的值．【解答】解：由条件可得1﹣2k＝3，解得：k＝﹣1，故选：A．【点评】本题主要考查了二元一次方程的解的定义，解一元一次方程，熟知方程的解是使方程两边相等的未知数的值是解题的关键．7．定义：横、纵坐标都是整数的点，称为格点；若一个三角形的顶点全是格点，则这个三角形称为格点三角形．格点三角形的面积可以用皮克定理来计算：S=a+b2-1．（其中a是三角形内部格点数目，b是三角形边上格点数目）．平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，﹣3），B（4，5），C（6，1），三角形ABC的内部比边上多9个格点，求三角形ABCA．17 B．18 C．19 D．20【考点】二元一次方程组的应用；坐标与图形性质；一元一次方程的应用．【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．【答案】A【分析】由点A（﹣2，﹣3），B（4，5），C（6，1）坐标求出AB，AC，BC，再由勾股定理逆定理判断出△ABC是以∠B为直角的直角三角形，然后由直角三角形的面积公式求出三角形的面积，再由题意得出方程组，解方程组即可．【解答】解：∵A（﹣2，﹣3），B（4，5），C（6，1），∴AB=(-2-4)AC=(-2-6)2BC=(4-6)2∴AB2＝100，AC2＝80，BC2＝20，∴AB2＝AC2+BC2，∴△ABC是以∠B为直角的直角三角形，∴S△ABC=12BC•AC=12×2∴a+b解得a=17b=8∴三角形ABC内部格点的个数为17，故选：A．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、坐标与图形性质、直角三角形面积公式、格点三角形的面积公式等知识，熟练掌握格点三角形的面积公式，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．8．若关于x，y的方程组4x+3y=11ax+by=-2和3x-5y=1bx-ay=6有相同的解，则a+b的值是A．2 B．﹣1 C．1 D．0【考点】二元一次方程组的解．【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．【答案】D【分析】根据两个方程组有相同解，说明该解满足所有方程，先联立不含参数a，b的方程求出x，y，再代入含参数的方程求出a，b，即可计算a+b的值．【解答】解：∵两个方程组有相同的解，∴该解满足所有方程，先联立不含a，b的方程得4x+3y=11①3x-5y=1②由①×5+②×3解得x＝2，把x＝2代入①解得y＝1，根据题意得2a+b=-2③2b-a=6④由④得a＝2b﹣6，代入③得2（2b﹣6）+b＝﹣2，整理得5b＝10，解得b＝2，把b＝2代入a＝2b﹣6，得a＝﹣2，∴a+b＝﹣2+2＝0．故选：D．【点评】本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握该知识点是关键．9．阅读下面的诗句：“栖树一群鸦，鸦树不知数，两只栖一树，五只没去处，五只栖一树，闲了两棵树，余树均栖满，请你仔细数，鸦树各几何？”大意是：“一群乌鸦在树上栖息，若每棵树上有2只，则5只没地方去，若每棵树上有5只，则会空出2棵树．”设有树x棵，乌鸦y只，依题意可列方程组（）A．2y+5=x5(y-2)=x B．2x+5=yC．2y+5=x5y=x-2 D．【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．【专题】一次方程（组）及应用；运算能力；应用意识．【答案】B【分析】本题考查从实际问题中抽象出二元一次方程组，根据两种栖息情况，分别找出乌鸦总数的等量关系即可列出方程组．【解答】解：设有树x棵，乌鸦y只．∴2x+5=y5(x-2)=y故选：B．【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题时要熟练掌握并能根据题意列出方程组是关键．10．我国古代数学名著《算法统宗》中有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果一间客房住9人，那么就空出一间客房无人住．若设该店有x间客房，房客y人，则可列方程组为（）A．7x-7=y9(x-1)=y B．7x+7=yC．7x+7=y9x-1=y D．【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组；数学常识．【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．【答案】B【分析】根据题意和题目中的数据，可以列出方程组7x+7=y9(x-1)=y【解答】解：由题意可得，7x+7=y9(x-1)=y故选：B．【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．二．填空题（共5小题）11．关于x，y的二元一次方程组x+y=2x-y=a的解满足|x|＜1且y＞0，则整数a的值为﹣1或﹣2或﹣3【考点】二元一次方程组的解；绝对值．【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．【答案】﹣1或﹣2或﹣3．【分析】先解二元一次方程组，得到用a表示的x和y，再根据|x|＜1和y＞0列出关于a的不等式，解不等式得到a的取值范围，找出范围内的整数即可．【解答】解：关于x，y的二元一次方程组x+y=2x-y=a的解满足|x|＜1且y＞0解方程组x+y=2两式相加，得2x＝a+2，解得x=a+2两式相减，得2y＝2﹣a，解得y=2-a由|x|＜1，得|a+2根据绝对值的意义，得-1＜不等式三边同乘2，得﹣2＜a+2＜2，解得﹣4＜a＜0由y＞0，得2-a2不等式两边同乘2，得2﹣a＞0，解得a＜2．取两个解集的公共部分，得﹣4＜a＜0，则﹣4＜a＜0中的整数为﹣3，﹣2，﹣1．故答案为：﹣1或﹣2或﹣3．【点评】本题考查二元一次方程的解，正确进行计算是解题关键．12．如图所示，大长方形中放置了6个形状、大小都相同的小长方形（无缝隙、不重叠），图中阴影部分面积是24cm2．【考点】二元一次方程组的应用；一元一次方程的应用．【专题】一次方程（组）及应用；运算能力；应用意识．【答案】24cm2．【分析】设小长方形的长为xcm，宽为ycm，根据图中的数量关系，列出二元一次方程组，解方程组，即可解决问题．【解答】解：设小长方形的长为xcm，宽为ycm，由题意得：x+3y=12x+y-2y=4解得：x=6y=2∴图中阴影部分面积＝12×（4+2×2）﹣6×6×2＝96﹣72＝24（cm2），故答案为：24cm2．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．13．下列说法：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②若3.14≈1.77，且-x≈17.7，则x＝﹣③已知关于x、y的二元一次方程组x+y=1-ax-y=3a+5，不论a取什么有理数，2x+y④若不等式|a﹣1|+|a+4|≥m对一切实数a都成立，则m的最大值是5；⑤若关于x的不等式组2x-a＜02x+1＞-9所有的整数解的和为﹣4，则a的取值范围是﹣8＜a＜﹣6或6其中正确说法是②③④（填正确结论的序号）．【考点】二元一次方程组的解；解一元一次不等式；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解；平行公理及推论．【专题】二次根式；一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．【答案】②③④．【分析】根据平行线的性质，二次根式的性质，二元一次方程组的解，一元一次不等式组的解集逐项进行判断即可．【解答】解：①平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行，因此①不正确；②∵3.14≈1.77∴314=3.14×100=3.14×100∴﹣x＝314，即x＝﹣314因此②正确；③关于x、y的二元一次方程组x+y=1-ax-y=3a+5的解为x=a+3所以2x+y＝2a+6﹣2a﹣2＝4，即不论a取什么有理数，2x+y的值始终不变，其值为4，因此③正确；④当﹣4≤a≤1时，|a﹣1|+|a+4|的最小值为|﹣4﹣1|＝5，当a＜﹣4或a＞1时，|a﹣1|+|a+4|的值大于5，即若不等式|a﹣1|+|a+4|≥m对一切实数a都成立，则m的最大值是5，因此④正确；⑤不等式2x﹣a＜0的解集为x＜a2，不等式2x+1＞﹣9的解集为x＞﹣由于关于x的不等式组2x-a＜02x+1所以﹣4＜a2≤-3，或3解得﹣8＜a≤﹣6或6＜a≤8，因此⑤不正确；综上所述，正确的结论有②③④，故答案为：②③④．【点评】本题考查平行线的性质，二次根式的性质，二元一次方程组的解，一元一次不等式组的解集，掌握平行线的性质，二次根式的性质与化简方法，二元一次方程组的解法，一元一次不等式组的解集的定义以及解法是正确解答的关键．14．现要在矩形草坪中规划出3块大小，形状一样的小矩形（图形中阴影部分）区域种植鲜花，数据如图所示，则每块小矩形的宽是10m．【考点】二元一次方程组的应用．【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．【答案】10．【分析】首先根据大长方形的长和宽分别为60m和45m列出二元一次方程组，然后解方程组即可．【解答】解：设小长方形的长为xm，宽为ym，由题意列二元一次方程组得，2x+y=60x+2y=45解得x=25y=10所以每块小矩形的宽是10m，故答案为：10．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是根据题意找到关系式．15．我们规定：一个四位数M=abcd，若满足a+c＝b+d＝9，则称这个数为“福禄数”．例如：四位数1287，因为1+8＝2+7＝9，所以1287是“福禄数”．按照这个规定，最小的“福禄数”是1089；一个“福禄数”M=abcd，将其千位数字与个位数字调换位置，百位数字与十位数字调换位置，得到一个新的数M′=dcba，记F（M）=M+M'11，G（M）＝c+4d．若ab+G(M)19与F(M)+cd【考点】二元一次方程的应用；因式分解的应用．【专题】整式；推理能力．【答案】1089；3564．【分析】根据“福禄数”的定义进行求解即可；先推导出F（M）＝909﹣81c+81d，再分别求出ab+G(M)19=5+4-9c+3d19，【解答】解：根据题意：当a＝1，c＝8，b＝0，d＝9时，这个“福禄数”最小，即最小的“福禄数”是1089；M=abcdM'=dcba∴F(M)==1000a+100b+10c+d+1000d+100c+10b+a=1001a+1001d+110b+110c＝91a+91d+10b+10c，∵a+c＝b+d＝9，∴a＝9﹣c，b＝9﹣d，∴F（M）＝91a+91d+10b+10c＝91（9﹣c）+91d+10（9﹣d）+10c＝819﹣91c+91d+90﹣10d+10c＝909﹣8lc+81d，∵G（M）＝c+4d，∴ab=10a+b+c+4d=10(9-c)+(9-d)+c+4d=90-10c+9-d+c+4d=99-9c+3d=95+4-9c+3d=5+4-9c+3dF(M)+cd=909-81c+81d+10c+d+8=917-71c+82d=910-65c+78d+7-6c+4d=70-5c+6d+7-6c+4d∵ab+G(M)10与∴5+4-9c+3d19为整数，∴4-9c+3d19为整数，7-6c+4d根据题意得：0≤c≤8，0≤d≤9，∴﹣68≤4﹣9c+3d≤31，﹣41≤7﹣6c+4d≤43，∴4﹣9c+3d＝﹣57或﹣38或﹣19或0或19，7﹣6c+4d＝﹣39或﹣26或﹣13或0或13或26或39，设x＝4﹣9c+3d，y＝7﹣6c+4d，∴3d﹣9c＝x﹣4，4d﹣6c＝y﹣7，∴d-3c=x-43，∵c、d为整数，∴d﹣3c为整数，2d﹣3c为整数，∴x-43为整数，y-7∴x﹣4能被3整除，y﹣7能被2整除，∴4﹣9c+3d＝﹣38或19，7﹣6c+4d＝﹣39或﹣13或13或39，当4-9c+3d=-387-6c+4d=-39时，解得c=当4-9c+3d=-387-6c+4d=-13时，解得c=6∴a＝9﹣6＝3，b＝9﹣4＝5，∴M＝3564；当4-9c+3d=-387-6c+4d=13时，解得c=当4-9c+3d=-387-6c+4d=39时，解得c=当4-9c+3d=197-6c+4d=-39时，解得c=-11当4-9c+3d=197-6c+4d=-13时，解得c=-当4-9c+3d=197-6c+4d=13时，解得c=-当4-9c+3d=197-6c+4d=39时，解得c=2综上，M＝3564．故答案为：1089；3564．【点评】本题考查了因式分解的应用，二元一次方程的应用，掌握综合知识是解题的关键．三．解答题（共5小题）16．学校计划租用客车送师生到劳动基地开展实践活动．收集信息如下：信息1：客运公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车清员情况下，4辆A型客车载客人数相同，3辆B型客车载客人数相同，3辆A型客车和4辆B型客车共载客375人．信息2：A型客车租车费用为1200元/辆，B型客车租车费用为1500元/辆．信息3：学校参加实践活动的师生共有1025人；租用A，B两种型号客车共20辆，其中A型客车至少8辆．问题解决（1）求A，B两种型号每辆车清员时的载客人数；（2）共有几种租车方案；（3）设计一种方案，使本次实践活动的租车总费用最少，并求出最少总费用．【考点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式组的应用；有理数的混合运算．【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；应用意识．【答案】（1）每辆A型客车满员时载客45人，每辆B型客车满员时载客60人；（2）共有4种租车方案；（3）当租用11辆A型客车，9辆B型客车时，租车总费用最少，最少总费用为26700元．【分析】（1）设每辆A型客车满员时载客x人，每辆B型客车满员时载客y人，根据“在每辆车清员情况下，4辆A型客车载客人数与3辆B型客车载客人数相同，3辆A型客车和4辆B型客车共载客375人”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设租用m辆A型客车，则租用（20﹣m）辆B型客车，根据租用的20辆客车的总载客量不少于1025人且租用A型客车至少8辆，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，结合m为整数，可得出共有4种租车方案；（3）利用总租金＝每辆A型客车的租金×租用A型客车的辆数+每辆B型客车的租金×租用B型客车的辆数，可求出选择各方案所需总租金，比较后，即可得出结论．【解答】解：（1）设每辆A型客车满员时载客x人，每辆B型客车满员时载客y人，根据题意得：4x=3y3x+4y=375解得：x=45y=60答：每辆A型客车满员时载客45人，每辆B型客车满员时载客60人；（2）设租用m辆A型客车，则租用（20﹣m）辆B型客车，根据题意得：45m+60(20-m)≥1025m≥8解得：8≤m≤1123∵m为整数，∴m可以为8，9，10，11，∴共有4种租车方案．答：共有4种租车方案；（3）方案1：租用8辆A型客车，12辆B型客车，租车总费用为1200×8+1500×12＝27600（元）；方案2：租用9辆A型客车，11辆B型客车，租车总费用为1200×9+1500×11＝27300（元）；方案3：租用10辆A型客车，10辆B型客车，租车总费用为1200×10+1500×10＝27000（元）；方案4：租用11辆A型客车，9辆B型客车，租车总费用为1200×11+1500×9＝26700（元），∵27600＞27300＞27000＞26700，∴当租用11辆A型客车，9辆B型客车时，租车总费用最少．答：当租用11辆A型客车，9辆B型客车时，租车总费用最少，最少总费用为26700元．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）根据各数量之间的关系，求出选择方案租车方案所需的总租金．17．数学活动课上，各学习小组根据方程组的特点选择适当的方法解决下列问题：已知关于x，y的二元一次方程组3x+4y=3①x+2y=1-2m②的解满足x+y＝2③，求m联想组：将①③联立可得一个不含m的二元一次方程组，求出x，y的值，再求m的值；巧思组：直接①﹣②可以更简便地求出m的值．（1）请按照联想组的方法，求出x，y的值；（2）请按照巧思组的思路求m的值．【考点】二元一次方程组的解．【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．【答案】（1）x=5y=-3（2）m＝1．【分析】（1）由①③联立得新的二元一次方程组，利用加减消元法求解即可；（2）由①﹣②得到x+y＝1+m，结合已知x+y＝2，据此计算即可求解．【解答】解：（1）关于x，y的二元一次方程组3x+4y=3①x+2y=1-2m②的解满足x+y＝2③由题意得3x+4y=3①x+y=2③③×4﹣①得x＝5，将x＝5代入③得5+y＝2，解得y＝﹣3，∴方程组的解为x=5y=-3（2）3x+4y=3①x+2y=1-2m②①﹣②得2x+2y＝2+2m，即x+y＝1+m，∵x+y＝2，∴1+m＝2，解得m＝1．【点评】本题考查二元一次组的解，正确进行计算是解题关键．18．根据以下素材，探究完成任务．设计预订巴士优惠方案素材一某校八年级师生600人一行前往矮寨大桥和十八洞村进行春季研学活动．现有大巴和中巴两种车型可供选择素材二若预订8辆大巴车和7辆中巴车会有5个空座位，预订7辆大巴车和8辆中巴车，则有5人无座位素材三旅游公司制定车辆租赁费用如下：大巴车租金为540元/辆，中巴车租金为490元/辆问题解决任务一探求两种车型的规格请运用适当方法，求出1辆大巴车与1辆中巴车的载客量．任务二探究预定方案请你为该校选择一种最优惠的预定方案．【考点】二元一次方程组的应用；有理数的混合运算；二元一次方程的应用．【专题】一次方程（组）及应用；运算能力；应用意识．【答案】（1）1辆大巴车的载客量为45人，1辆中巴车的载客量为35人；（2）最优惠的预定方案是预定11辆大巴车，3辆中巴车．【分析】（1）设1辆大巴车的载客量为x人，1辆中巴车的载客量为y人，根据预订8辆大巴车和7辆中巴车会有5个空座位，预订7辆大巴车和8辆中巴车，则有5人无座位，列出二元一次方程组，解方程组即可；（2）求出尽可能多地预定大巴车，设预订m辆大巴车，n辆中巴车，根据某校八年级师生600人，列出二元一次方程，求出符合题意的正整数解，即可解决问题．【解答】解：（1）设1辆大巴车的载客量为x人，1辆中巴车的载客量为y人，由题意得：8x+7y=600+57x+8y=600-5解得：x=45y=35答：1辆大巴车的载客量为45人，1辆中巴车的载客量为35人；（2）大巴车人均价格540÷45＝12（元），中巴车人均价格490÷35＝14（元），12＜14，∴尽可能多地预定大巴车，600÷45＝13（辆）……15（人），设预订m辆大巴车，n辆中巴车，由题意得：45m+35n＝600，整理得：9m+7n＝120，∵m、n均为自然数，∴m=4n=12或m=11∴有2种预定方案：①预定4辆大巴车，12辆中巴车，租金为4×540+12×490＝8040（元）；②预定11辆大巴车，3辆中巴