中考数学难题突破之三角形

2027年中考数学复习难题速递之三角形（2026年7月）一．选择题（共10小题）1．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，延长BC到点D，且CD＝3，E，F分别为AB，AC的中点，连接EF，EC，FD，ED，且ED与FC交于点O，连接OB，OB＝OE，作OH⊥BC于点H．下列结论：①FD=213；②OE＝OD；③OB=12ED；④OH＝3．其中正确A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．在四边形ABCD中，CB＝CD，∠A＝56°，∠B＝∠D＝90°，M，N分别是边AB、AD上的点，且MN＝BM+DN，则∠MCN的度数为（）A．56° B．62° C．72° D．78°3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，作DE∥BC交AB于点E．若BE＝3，BC＝4，则△BDC的面积为（）A．42 B．82 C．6 D4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AB，BC，CA为边向外作正方形ABDE．正方形BCFG，正方形ACHM，正方形ABDE的面积为25，正方形BCFG的面积为17．点N在直线BC上，连结AN，MN，则△ANM的面积为（）A．3 B．4 C．5 D．75．如图，点C在线段AB上，AB＝a，点A与点B向上平移距离b得到点E与点F，点D到直线AB的距离为c，CF和ED相交于点G，连结EC和DF．则△ECG和△FDG面积的差可以表示为（）A．ac B．12ac C．ab﹣ac D6．如图，在△ABC中，∠BAC＝40°，点D在AC右侧，连接BD、CD，设∠D＝α，过A作AG⊥CD于点G，点E在∠ABD内部，且BE平分∠ABD，延长DC至点F，使∠FCE=45°+12∠CAG，则∠BECA．100°+α B．120°﹣α C．110°+α2 D7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，点N在BC边上，点M为AB边上的动点，点D，E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是（）A．a2+b22C．aba2+b8．如图，AD是△ABC的高，∠CAD的平分线AE交BC于点E，过点B作BF⊥AE，垂足为点F，交AD于点G．若AF＝BF，则下列结论中：①∠ABF＝45°；②AG+CE＝BC；③AC＜BG+2GF．所有正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．39．如图，点A，B，C，D，M，P，Q都是方格纸中的格点（即小正方形的顶点）．若将点M分别与点A，B，C，D连接，则下列选项正确的是（）A．AM⊥PQ B．BM⊥PQ C．CM⊥PQ D．DM⊥PQ10．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为（）A．5 B．0.8 C．3-5 D．二．填空题（共5小题）11．如图，△ABC中，∠C＝∠CBA，点E是边BC上一点，连接AE并延长至点D，连接DB，使得∠D＝∠DAB，若∠CAD和∠CBD都是锐角，则∠CED的取值范围是．12．如图，将两个全等的等腰三角形△ABC和△ADE的顶角顶点A重合，且∠BAC＝∠DAE＝120°．点A、D分别在BC的两侧，AD与BC交于点M，DE分别与BC、AC交于点O、N．当△DOM为等腰三角形时，∠BAD的度数为．13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的中线，延长CB至点E，使得BE＝BC，连接DE．若CD⊥DE，CE＝4，则AC的长是．14．如图，在△ABC中，已知D为BC上一点，E，F分别为AD，BE的中点，若S△CFE＝4，则△ABC的面积为．15．如图，在△ABC中，D是BC上的一点，∠A＝∠C，AC＝18，CD＝6，动点P从点C出发向点A运动，速度为1，同时动点Q从点A出发向点B匀速运动，连接PQ、PD，在运动过程中，存在某一时刻使△CDP与△APQ全等，则点Q的运动速度为．三．解答题（共5小题）16．“道路交通管理条例”规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市道路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后到达B处，这时小汽车与车速检测仪A处间的距离为50m，那么这辆小汽车超速了吗？并通过计算说明理由．（其中1m/s＝3.6km/h）17．（1）如图1，AC与BD相交于点O，连接AB，CD，△AOB≌△COD，点E为边AB上一点，连接EO并延长交边CD于点F，求证：EO＝FO；（2）如图2，在正方形纸片的四个角上分别剪去一个相同的小正方形，记该图形的对称中心为点O，仅用无刻度的直尺，画出点P关于点O的对称点Q；（3）如图3，若点P在图形内部，画出点P关于点O的对称点Q．18．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC的垂直平分线分别交BC、AC于点D和E，∠ACB的平分线交AB于点F，若AF＝8，BF＝10．（1）求证：∠CDE＝∠BAD；（2）若△ABD的周长是48，求△BFC的面积．19．已知：在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，请判断线段CE和BD有怎样的关系？请说明理由．20．北师大版八年级下册《三角形的中位线》一节，要求我们经历作图、猜想、证明的完整探究过程，请结合教材内容完成下列问题：求证：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．（1）根据给出的△ABC及AB边上的中点D，利用尺规作图作出AC边上的中点E；（不写作法，保留作图痕迹）（2）概念辨析．在（1）的条件下，连接点D、E，则线段DE是△ABC的（填“中线”或“中位线”）；（3）根据做出的图象完成证明．已知：在△ABC中，点D、E分别是AB与AC的中点．求证：DE∥BC，且DE=1

2027年中考数学复习难题速递之三角形（2026年7月）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案CBABBCDCCC一．选择题（共10小题）1．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，延长BC到点D，且CD＝3，E，F分别为AB，AC的中点，连接EF，EC，FD，ED，且ED与FC交于点O，连接OB，OB＝OE，作OH⊥BC于点H．下列结论：①FD=213；②OE＝OD；③OB=12ED；④OH＝3．其中正确A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；三角形中位线定理．【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．【答案】C【分析】利用三角形中位线定理求出EF的长及位置关系，结合勾股定理计算FD；证明四边形EFDC为平行四边形，利用平行四边形性质判断OE＝OD及O为ED中点；利用直角三角形斜边中线性质或已知条件判断OB与ED关系；利用等腰三角形的判定和性质及三角形中位线的性质求解即可判断．【解答】解：∵BC＝6，∠ABC＝90°，AB＝8，∴AC=6∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥BC，EF=12BC=3过点F作FG⊥BC于G，则FG∥AB，∴四边形EFGB为平行四边形，∵∠ABC＝90°，∴四边形EFGB为矩形，∴FG＝BE＝4，∵F是AC中点，∴FC=1∴CG=5∵CD＝3，∴GD＝GC+CD＝6．在Rt△FGD中，FD=FG2∵EF∥CD且EF＝CD＝3，∴四边形EFDC是平行四边形，∴对角线ED，FC互相平分，即O为ED中点，∴OE＝OD，故②正确；∵O为ED中点，Rt△BED∴OB＝OE＝OD，OE=1∴OB=12ED由③得OB＝OE＝OD，∵OH⊥BC，∴点H为BD的中点，∴DH=1∵O为DE中点，∴OH是△DBE的中位线，∴OH=12BE=故选：C．【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．2．在四边形ABCD中，CB＝CD，∠A＝56°，∠B＝∠D＝90°，M，N分别是边AB、AD上的点，且MN＝BM+DN，则∠MCN的度数为（）A．56° B．62° C．72° D．78°【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】三角形；图形的全等；运算能力；推理能力．【答案】B【分析】延长AD至E使DE＝BM，连接CE，证明△CBM≌△CDE（SAS），再证明△CMN≌△CEN（SSS），得到∠BCD＝∠BCM+∠MCN+∠DCN＝2∠MCN，在四边形ABCD中由内角和定理即可求解．【解答】解：如图所示，延长AD至E使DE＝BM，连接CE，∵∠B＝∠ADC＝90°，∴∠CDE＝180°﹣∠ADC＝90°＝∠B，在△CBM和△CDE中，CB=CD∠B=∠CDE∴△CBM≌△CDE（SAS），∴∠BCM＝∠DCE，CM＝CE，∵DE＝BM，MN＝BM+DN，∴MN＝DE+DN＝NE，在△CMN和△CEN中，CM=CECN=CN∴△CMN≌△CEN（SSS），∴∠ECN＝∠MCN，∵∠ECN＝∠DCE+∠DCN＝∠BCM+∠DCN，∴∠MCN＝∠BCM+∠DCN，∵∠BCD＝∠DCN+∠BCM+∠MCN＝2∠MCN，∠BCD＝360°﹣∠A﹣∠B﹣∠D＝360°﹣56°﹣90°﹣90°＝124°，∴∠MCN=1故选：B．【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，作DE∥BC交AB于点E．若BE＝3，BC＝4，则△BDC的面积为（）A．42 B．82 C．6 D【考点】角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；平行线的性质；三角形的面积．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】A【分析】如图，过D作DH⊥AB于H，根据角平分线的定义和平行线的性质可得△EBD是等腰三角形，从而可得ED＝EB＝3，证明△CBD≌△HBD（AAS），然后在Rt△DHE中，利用勾股定理求出DH=22【解答】解：如图，过D作DH⊥AB于H，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵DE∥BC，∴∠C＝∠ADE＝90°，∠CBD＝∠EDB，∴∠ABD＝∠EDB，∴ED＝EB＝3，∵∠CBD＝∠HBD，∠C＝∠DHB＝90°，BD＝BD，∴△CBD≌△HBD（AAS），∴BC＝BH＝4，CD＝DH，∴EH＝BH﹣BE＝4﹣3＝1，∴DC=DH=D∴S△BDC故选：A．【点评】本题考查的是平行线的性质，角平分线的性质，三角形的面积，等腰三角形的判定与性质，熟知以上知识是解题的关键．4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AB，BC，CA为边向外作正方形ABDE．正方形BCFG，正方形ACHM，正方形ABDE的面积为25，正方形BCFG的面积为17．点N在直线BC上，连结AN，MN，则△ANM的面积为（）A．3 B．4 C．5 D．7【考点】勾股定理；正方形的性质；三角形的面积．【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；几何直观；推理能力．【答案】B【分析】设正方形ABDE、正方形BCFG、正方形ACHM的面积分别记为S1，S2，S3，根据勾股定理得出S1＝S2+S3，求出S3＝8，根据S△ANM【解答】解：设正方形ABDE的面积为S1，正方形BCFG的面积为S2，正方形ACHM的面积为S3，∴S1=AB2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，由勾股定理得：AB2＝AC2+BC2，∴S1＝S2+S3，∵正方形ABDE的面积为25，正方形BCFG的面积为17，∴S3＝S1﹣S2＝25﹣17＝8，∵正方形ACHM中，AM＝AC，CH∥AM，∴S△ANM故选：B．【点评】本题主要考查了勾股定理，正方形的性质，三角形的面积，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题．5．如图，点C在线段AB上，AB＝a，点A与点B向上平移距离b得到点E与点F，点D到直线AB的距离为c，CF和ED相交于点G，连结EC和DF．则△ECG和△FDG面积的差可以表示为（）A．ac B．12ac C．ab﹣ac D【考点】三角形的面积；平移的性质；点到直线的距离．【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．【答案】B【分析】连接AE，BF，EF，作DH⊥AB于H，因为点A与点B向上平移距离b得到点E与点F，所以EF＝AB＝a，AE＝BF＝b，由题意知DH＝c，AE⊥AB，BF⊥AB，计算出△ECG的面积为S△EFC-S△EFG=【解答】解：连接AE，BF，EF，作DH⊥AB于H，∵点A与点B向上平移距离b得到点E与点F，AB＝a，∴EF＝AB＝a，AE＝BF＝b，由题意知，DH＝c，AE⊥AB，BF⊥AB，∴△ECG的面积为S△EFC△FDG的面积为S△EFD∴△ECG和△FDG面积的差为(1故选：B．【点评】本题考查了三角形的面积，点到直线的距离，平移的性质，熟记以上知识点并正确作出辅助线是解题的关键．6．如图，在△ABC中，∠BAC＝40°，点D在AC右侧，连接BD、CD，设∠D＝α，过A作AG⊥CD于点G，点E在∠ABD内部，且BE平分∠ABD，延长DC至点F，使∠FCE=45°+12∠CAG，则∠BECA．100°+α B．120°﹣α C．110°+α2 D【考点】三角形内角和定理．【专题】三角形；推理能力．【答案】C【分析】设∠ABD＝2x，利用“8字模型”表示出∠ACD，进而表示出∠CAG和∠ECD，最后利用三角形内角和及对顶角相等建立∠BEC与α的关系即可．【解答】解：如图，设∠ABD＝2x，设AC与BD交于点O，CE交BD于点K，∵BE平分∠ABD，∴∠EBD=1∵∠AOB＝∠COD，∴∠BAC+∠ABD＝∠ACD+∠D，∴∠ACD＝40°+2x﹣α，∵AG⊥CD，∴∠CAG＝90°﹣∠ACD＝90°﹣（40°+2x﹣α）＝50°﹣2x+α，∵∠FCE=45°+1∴∠FCE=45°+1∵F，C，D共线，∴∠ECD=180°-∠FCE=180°-(70°-x+α∵∠BEC＝180°﹣∠EBD﹣∠BKE，∠BKE＝∠DKC，∵∠DKC＝180°﹣∠D﹣∠ECD，∴∠BEC＝180°﹣x﹣（180°﹣α﹣∠ECD）＝α+∠ECD﹣x，∴∠BEC=α+(110°+x-α故选：C．【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解题的关键．7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，点N在BC边上，点M为AB边上的动点，点D，E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是（）A．a2+b22C．aba2+b【考点】三角形中位线定理；非负数的性质：算术平方根；勾股定理．【专题】三角形；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力；科学文化情境．【答案】D【分析】当CM⊥AB时，CM的值最小，此时DE的值也最小，根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积求出CM，再求出答案即可．【解答】解：如图，连接CM，∵点D、E分别为CN，MN的中点，∴DE是CMN的中位线，∴DE=12当CM⊥AB时，CM的值最小，此时DE的值也最小，由勾股定理得：AB=A∵S△ABC=12×AB×CM=1∴CM=ab∴DE=12CM故选：D．【点评】本题考查了三角形的面积，勾股定理，三角形的中位线，垂线段最短等知识点，注意：三角形的中位线等于第三边的一半．8．如图，AD是△ABC的高，∠CAD的平分线AE交BC于点E，过点B作BF⊥AE，垂足为点F，交AD于点G．若AF＝BF，则下列结论中：①∠ABF＝45°；②AG+CE＝BC；③AC＜BG+2GF．所有正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；角平分线的定义；三角形三边关系．【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力；推理能力．【答案】C【分析】①利用等腰直角三角形的判定和性质进行求解即可；②根据等角的余角相等得出∠GBD＝∠GAF，利用ASA证明△AFG≌△BFE，然后利用角平分线的定义得出相等角，利用①的结论得出相等角，然后利用等角对等边证明即可；③延长BF交AC于点H，证明△AFG≌△AFH，得出BH＝BG+2GF，然后利用三角形边和角的关系即可得出结论．【解答】解：①∵BF⊥AE，∴∠AFB＝90°，∵AF＝BF，∴∠BAF＝∠ABF＝45°，故①正确，符合题意；②∵BF⊥AE，AD是△ABC的高，∴∠AFG＝∠BFE＝90°，∠BDG＝90°，∵∠BGD＝∠AGF，∴∠GBD＝∠GAF，又∵AF＝BF，∴△AFG≌△BFE（ASA）；∵AE平分∠CAD，∴∠GAF＝∠CAE，∵∠GBD＝∠GAF，∴∠GBD＝∠CAE，由①得∠BAF＝∠ABF，∴∠BAF+∠CAE＝∠ABF+∠GBD，即∠CAB＝∠CBA，∴AC＝BC，∵△AFG≌△BFE，∴AG＝BE，∵BE+CE＝BC，∴AG+CE＝BC，故②正确，符合题意；③如图，延长BF交AC于点H，∵∠FAG＝∠FAH，∠AFG＝∠AFH＝90°，AF＝AF，∴△AFG≌△AFH（ASA），∴FG＝FH，∴GH＝2GF，∴BH＝BG+2GF，在Rt△AFH中，∠AHF＜90°，∴∠BHC为钝角，∴在△BHC中，BC＞BH，∴BC＞BG+2GF，∴AC＞BG+2GF，故③错误，不符合题意；综上，正确选项为①②，有2个．故选：C．【点评】本题考查等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形三边关系，掌握以上知识点是解题的关键．9．如图，点A，B，C，D，M，P，Q都是方格纸中的格点（即小正方形的顶点）．若将点M分别与点A，B，C，D连接，则下列选项正确的是（）A．AM⊥PQ B．BM⊥PQ C．CM⊥PQ D．DM⊥PQ【考点】勾股定理的逆定理；垂线；勾股定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【答案】C【分析】根据勾股定理得出AM，CM，PQ，DM，BM，进而利用勾股定理的逆定理解答即可．【解答】解：由勾股定理可得，AM=12+12=2，CM＝PQ＝由图可知，DM∥PQ，过P作PH∥MC，在△PHQ中，PH＝PQ＝CM=5，QH=∴PH2+PQ2＝HQ2，∴PH⊥PQ，∴CM⊥PQ，故选：C．【点评】此题考查勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理得出AM，CM，PQ，DM，BM解答．10．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为（）A．5 B．0.8 C．3-5 D．【考点】勾股定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力．【答案】C【分析】连接AD，由勾股定理求出DE，即可得出CD的长．【解答】解：如图，连接AD，则AD＝AB＝3，由勾股定理可得，Rt△ADE中，DE=A又∵CE＝3，∴CD＝3-5故选：C．【点评】本题考查了勾股定理的运用，由勾股定理求出DE是解决问题的关键．二．填空题（共5小题）11．如图，△ABC中，∠C＝∠CBA，点E是边BC上一点，连接AE并延长至点D，连接DB，使得∠D＝∠DAB，若∠CAD和∠CBD都是锐角，则∠CED的取值范围是60°＜∠CED＜120°．【考点】三角形内角和定理；对顶角、邻补角．【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；推理能力．【答案】60°＜∠CED＜120°．【分析】设∠C＝∠CBA＝α，∠D＝∠DAB＝β，求出∠CAD＝∠CAB﹣∠DAB＝180°﹣2α﹣β，∠CBD＝∠ABD﹣∠CBA＝180°﹣2β﹣α，根据∠CAD和∠CBD都是锐角，推出60°＜α+β＜120°，根据对顶角和三角形的内角和定理得到∠CED＝∠AEB＝180°﹣∠EAB﹣∠EBA＝180°﹣α﹣β＝180﹣（α+β），即可得出结论．【解答】解：设∠ABC＝∠C＝α，∠BAD＝∠D＝β，在△ABC中，∠ABC+∠C+∠CAB＝180°，∴∠CAB＝180°﹣2α；在△ABD中，∠BAD+∠D+∠ABD＝180°，∴∠ABD＝180°﹣2β；∴∠CAD＝∠CAB﹣∠DAB＝180°﹣2α﹣β，∠CBD＝∠ABD﹣∠CBA＝180°﹣2β﹣α，∵∠CAD和∠CBD都是锐角，∴0°＜180°﹣2α﹣β＜90°，0°＜180°﹣2β﹣α＜90°，整理得：90°＜2α+β＜180°，90°＜2β+α＜180°，两式相加得：180°＜3α+3β＜360°，∴60°＜α+β＜120°，在△AEB中：∠CED＝∠AEB＝180°﹣∠EAB﹣∠EBA＝180°﹣α﹣β＝180﹣（α+β），∴60°＜∠CED＜120°，故答案为：60°＜∠CED＜120°．【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，对顶角、邻补角，熟练掌握三角形内角和定理是解题关键．12．如图，将两个全等的等腰三角形△ABC和△ADE的顶角顶点A重合，且∠BAC＝∠DAE＝120°．点A、D分别在BC的两侧，AD与BC交于点M，DE分别与BC、AC交于点O、N．当△DOM为等腰三角形时，∠BAD的度数为30°或75°．【考点】全等三角形的性质；等腰三角形的性质．【专题】图形的全等；推理能力．【答案】30°或75°．【分析】先得出∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝30°，AB＝AC＝AE＝AD，再分三种情况：①OM＝DM，②OD＝DM和③OM＝OD，根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理求解即可．【解答】解：∵将两个全等的等腰三角形△ABC和△ADE的顶角顶点A重合，∠BAC＝∠DAE＝120°，∴AB＝AC＝AE＝AD，∠B=∠C=∠D=∠E=180°-120°①如图，当OM＝DM时，△DOM为等腰三角形，∴∠DOM＝∠D＝30°，∴∠DMO＝180°﹣∠DOM﹣∠D＝120°，∴∠AMB＝∠DMO＝120°，∴∠BAD＝180°﹣∠AMB﹣∠B＝30°；②如图，当OD＝DM时，△DOM为等腰三角形，∴∠DMO=∠DOM=180°-∠D∴∠AMB＝∠DMO＝75°，∴∠BAD＝180°﹣∠AMB﹣∠B＝75°；③如图，当OM＝OD时，△DOM为等腰三角形，∴∠DMO＝∠D＝30°，∴∠AMB＝∠DMO＝30°，∴∠BAD＝180°﹣∠AMB﹣∠B＝120°＝∠BAC，此时AD与AC重合，不符合题意，舍去；综上，∠BAD的度数为30°或75°，故答案为：30°或75°．【点评】本题考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键．13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的中线，延长CB至点E，使得BE＝BC，连接DE．若CD⊥DE，CE＝4，则AC的长是23．【考点】直角三角形斜边上的中线；勾股定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力；推理能力．【答案】23【分析】根据BE＝BC，CD⊥DE得BD是RtCDE斜边CE上的中线，进而得BD＝BC＝BE=12CE＝2，则AD＝BD＝2，AB＝4，然后再由勾股定理即可求出【解答】解：∵BE＝BC，CD⊥DE，CE＝4，∴BD是Rt△CDE斜边CE上的中线，∴BD＝BC＝BE=12CE＝∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，∴AD＝BD＝2，∴AB＝AD+BD＝4，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC=A故答案为：23【点评】此题主要考查了直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，理解直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，熟练掌握勾股定理是解决问题的关键．14．如图，在△ABC中，已知D为BC上一点，E，F分别为AD，BE的中点，若S△CFE＝4，则△ABC的面积为16．【考点】三角形的面积．【专题】三角形；运算能力．【答案】16．【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形即可求解．【解答】解：∵F是BE的中点，S△CFE＝4，∴S△CFE＝S△CFB＝4，∴S△CEB＝S△CEF+S△CBF＝4+4＝8，∵E是AD的中点，∴S△AEB＝S△DBE，S△AEC＝S△DEC，∵S△CEB＝S△BDE+S△CDE，∴S△BDE+S△CDE＝8，∴S△AEB+S△AEC＝8，∴S△ABC＝S△BDE+S△CDE+S△AEB+S△AEC＝8+8＝16．则△ABC的面积为16．故答案为：16．【点评】本题考查了三角形的面积，三角形的角平分线、中线和高，解决本题的关键是利用三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形．15．如图，在△ABC中，D是BC上的一点，∠A＝∠C，AC＝18，CD＝6，动点P从点C出发向点A运动，速度为1，同时动点Q从点A出发向点B匀速运动，连接PQ、PD，在运动过程中，存在某一时刻使△CDP与△APQ全等，则点Q的运动速度为23或1【考点】全等三角形的判定；等腰三角形的性质．【专题】图形的全等；运算能力．【答案】23或1【分析】设运动时间为t，则CP＝t，AP＝18﹣t，再分△CDP≌△APQ和△CDP≌△AQP两种情况，利用全等三角形的性质解答即可求解．【解答】解：设运动时间为t，则CP＝t，∴AP＝18﹣t，∵∠A＝∠C，当△CDP≌△AQP时，CD＝AQ，CP＝AP，∴AQ＝6，t＝18﹣t，解得t＝9．∴点Q的运动速度为6÷9=2当△CDP≌△APQ时，CD＝AP，CP＝AQ，∴18﹣t＝6，AQ＝t，解得t＝12，AQ＝12，∴点Q的运动速度为12÷12＝1；综上，点Q的运动速度为23或1故答案为：23或1【点评】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质并运用分类讨论思想解答是解题的关键．三．解答题（共5小题）16．“道路交通管理条例”规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市道路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后到达B处，这时小汽车与车速检测仪A处间的距离为50m，那么这辆小汽车超速了吗？并通过计算说明理由．（其中1m/s＝3.6km/h）【考点】勾股定理的应用．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【答案】这辆小汽车超速了，理由如下：在Rt△ABC中，AC＝30m，AB＝50m，根据勾股定理可得：BC=AB2∴小汽车的速度v=402=20（m/s）＝72km∵72km/h＞70km/h，∴这辆小汽车超速行驶．【分析】求小汽车是否超速，其实就是求BC的距离，直角三角形ABC中，有斜边AB的长，有直角边AC的长，那么BC的长就很容易求得，根据小汽车用2s行驶的路程为BC，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速了．【解答】解：这辆小汽车超速了，理由如下：在Rt△ABC中，AC＝30m，AB＝50m；根据勾股定理可得：BC=AB2∴小汽车的速度v=402=20（m/s）＝72km∵72km/h＞70km/h，∴这辆小汽车超速行驶．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求出BC的长是解题关键．17．（1）如图1，AC与BD相交于点O，连接AB，CD，△AOB≌△COD，点E为边AB上一点，连接EO并延长交边CD于点F，求证：EO＝FO；（2）如图2，在正方形纸片的四个角上分别剪去一个相同的小正方形，记该图形的对称中心为点O，仅用无刻度的直尺，画出点P关于点O的对称点Q；（3）如图3，若点P在图形内部，画出点P关于点O的对称点Q．【考点】全等三角形的判定与性质；中心对称．【专题】作图题；三角形；图形的全等；几何直观；推理能力．【答案】（1）∵△AOB≌△COD，∴AO＝CO，∠A＝∠C，又∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF（ASA），∴EO＝FO；（2）点Q如图所示即为所求；（3）点Q如图所示即为所求．【分析】（1）由全等三角形的性质可得AO＝CO，∠A＝∠C，再证明△AOE≌△COF（ASA），即可得证；（2）利用图形的中心对称性，先连接图形的对应顶点，找到对称中心O，连接PO并延长与图形另一边的交点即为点Q；（3）利用图形的中心对称性，先连接图形的对应顶点，找到对称中心O，连接MP并延长，交左上角小正方形的边于点E，连接EO并延长交右下角小正方形的边于点F，连接GF，连接PO并延长与GF的交点即为点Q．【解答】（1）证明：∵△AOB≌△COD，∴AO＝CO，∠A＝∠C，又∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF（ASA），∴EO＝FO；（2）点Q如图所示即为所求；（3）点Q如图所示即为所求．【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，中心对称，作图，掌握以上知识点是解题的关键．18．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC的垂直平分线分别交BC、AC于点D和E，∠ACB的平分线交AB于点F，若AF＝8，BF＝10．（1）求证：∠CDE＝∠BAD；（2）若△ABD的周长是48，求△BFC的面积．【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；图形的全等；运算能力；推理能力．【答案】（1）∵DE垂直平分AC，∴DE⊥AC，∠ADE＝∠CDE，则∠AED＝90°，又∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠DAE＝90°，∠ADE+∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠ADE，∴∠CDE＝∠BAD；（2）120．【分析】（1）由垂直平分线的性质可得DE⊥AC，∠ADE＝∠CDE，进而得到∠BAD＝∠ADE，则∠CDE＝∠BAD；（2）根据题意可得AB+BC＝48，进而得到BC＝30，利用勾股定理求出AC，再根据S△BFC【解答】（1）证明：∵DE垂直平分AC，∴DE⊥AC，∠ADE＝∠CDE，则∠AED＝90°，又∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠DAE＝90°，∠ADE+∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠ADE，∴∠CDE＝∠BAD；（2）∵DE垂直平分AC，∴AD＝CD，则△ABD的周长AB+BD+AD＝AB+BD+CD＝AB+BC＝48，又AB＝AF+BF＝18，∴BC＝48﹣18＝30，∴AC=B∴S△BFC【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．19．已知：在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，请判断线段CE和BD有怎样的关系？请说明理由．【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．【专题】图形的全等；等腰三角