中考数学难题突破之图形的对称

2027年中考数学复习难题速递之图形的对称（2026年7月）一．选择题（共10小题）1．如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F是边AB，CD上的点，将正方形ABCD沿着EF折叠，使点D的对应点G落在BC边上，点A的对应点为点A'，连接DG交EF于点H，若DG=210，则EH的长为（A．102 B．3 C．3102 2．如图，先将正方形纸片对折，折痕为MN，再将点B折叠在折痕MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为F，连接DF，CF．则下列说法：①△ADF是等边三角形；②BE＝2NF；③∠NEF＝2∠NCF；④NE+EF＝CF；⑤DF＝4EF．其中正确的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．53．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝12，点M，N分别在AD，BC上，且AM=13AD，BN=13BC，E为直线BC上一动点，连接DE，将△DCE沿DE所在直线翻折得到△DC′E，当点C′恰好落在直线A．5 B．15 C．5或20 D．5或154．如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，将△ABE沿BE翻折，使A落在点A'处，连接EA′并延长，交边BC于点F．若AB＝3，BC＝4，则线段BF的长为（）A．134 B．125 C．25 5．如图，正方形ABCD，边长为9，点E在边AD上，DE＝2，连接CE，点F在边BC上，连接EF，将△CEF沿EF翻折得△GEF，点G在AB边上，点H在线段EF上，∠FGH＝45°，求△FGH的面积为（）A．3528 B．354 C．7586．如图（1）在正方形ABCD纸片中，各边分别取点E、F、G、H，使得BE＝CF＝CG＝HD，沿着EF，HG裁剪，得到的六边形AEFCGH，再沿对角线AC剪开分成如图（2）两个四边形，将四边形A′C′GH沿A′C′的垂直平分线对称得到图（3）四边形，再将AC与C′A′重合（A与C′重合，C与A′重合）得如图（4）六边形AEFCHG，连接GF，则AG，AE，FG之间的关系是（）A．AG+AE＝FG B．AG2+AE2＝2FG2 C．AG2+AE7．如图，在△ABC中，D是边BC的中点，将△ABD沿AD翻折，点B落在点E处，AE交CD于点F，△ADF的面积恰好是△ABC面积的14．小丽在研究这个图形时得到以下两个结论：①∠B＝∠CAE；②AC＝CD．那么下列说法中，正确的是（A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①、②皆正确 D．①、②皆错误8．将图1中的5个边长为1的小正方形，剪拼成图2中的大正方形ABCD．在数轴上，以原点O为圆心，AB为半径作弧，交数轴于点E，则点E表示的数为（）A．5 B．5或-5 C．5 D．5或﹣9．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，沿DE折叠，使点A与点B重合，则DE的长为（）A．113 B．4 C．245 D10．如图，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝10，点E为DC边上一个动点，将△ADE沿直线AE折叠，点D的对应点为F．下列说法正确的是（）①当点F落在AB边上时，EF＝5；②当∠DAE＝30°时，点F恰好落在矩形ABCD的对角线AC上；③点F落在AD的垂直平分线上时，∠FAB＝30°；④点F与A，B组成△ABF的面积为15时，此时DE的长为2.4或10．A．①③④ B．①④ C．①③ D．②④二．填空题（共5小题）11．如图，∠AOB＝45°，点M、N分别在射线OA、OB上，MN＝9，△OMN的面积为12，点P是直线MN上的动点，点P关于OA对称的点为点P1，点P关于OB对称的点为点P2，当点P在直线NM上运动时，△OP1P2的面积最小值为．12．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，点D，E为BC上两点，∠DAE＝45°，F为△ABC外一点，且AF＝AE，∠EAF＝90°．以下结论：①CE＝BF；②S△ACB③若BE：CE＝3：1，则DE=5④△FBE周长的最小值为1+22正确的有．（请填写序号）13．如图，在矩形ABCD中，AB=3+3，AD=23，P，Q分别是AB，AD上的动点，且AP＝DQ，则PQ+22PB的最小值是14．在长方形ABCD中，AD＝5，AB＝4，延长CB至点E，使得BE＝AB，连接AE，点M是DC的中点，点P是边AD上一动点，点Q在边AE上，则MP+BP+BQ的最小值＝．15．在△ABC中，AB＝AC＝5，∠ABC＝40°，CD平分∠ACB，点E，F分别是线段BC，CD上的动点，且BE＝CF，连接AE，AF，则AE+AF的最小值为．三．解答题（共5小题）16．如图，在△ABC中，∠B＝20°，∠ADC＝100°，点D为边BC上一点，将△ADC沿直线AD折叠后，点C落到点E处，AE与BC相交于点F．（1）求证：AB∥DE；（2）若AE恰好平分∠BAD，求∠E的度数；（3）若△ACF的周长为12，△DEF的周长为4，求AF的长．17．如图，在8×8的正方形网格图中，点A，B，C均在格点上，现要另外添加一个格点D，使A、B、C、D这4个点两两连接所形成的图形是轴对称图形．请在图中画出所有满足条件的点D，并简要描述你是如何找到的．18．如图①，在△ABC中，∠BAC＝52°，点M是△ABC内的一点，分别过M作关于AB，AC的对称点M1，M2，连接AM，AM1，AM2．（1）∠ABC+∠ACB＝°；（2）求∠M1AM2的度数；（3）如图②，再作M关于BC的对称点M3，分别连接BM1，BM3，CM2，CM3，求∠M1BM3与∠M2CM3的度数之和．19．如图，在正方形网格中，△ABC是格点三角形．（1）若每一个小正方形的边长为1，则△ABC的面积＝；（2）画出△A1B1C1，使得△A1B1C1和△ABC关于直线l对称；（3）请在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小．20．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，直线l经过点C但不经过点A，B．（1）作点D关于直线l的对称点E；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）连接EB并延长交直线l于点F，连接AF．求证：AF＝AB．

2027年中考数学复习难题速递之图形的对称（2026年7月）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案DBCACCCBDC一．选择题（共10小题）1．如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F是边AB，CD上的点，将正方形ABCD沿着EF折叠，使点D的对应点G落在BC边上，点A的对应点为点A'，连接DG交EF于点H，若DG=210，则EH的长为（A．102 B．3 C．3102 【考点】翻折变换（折叠问题）；正方形的性质．【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；几何直观；运算能力；推理能力．【答案】D【分析】过点E作EP⊥CD于点P，设DF＝x，则CF＝6﹣x，先由勾股定理求出CG＝2，由折叠性质得GF＝DF＝x，EF⊥DG，DH＝GH=12DG＝√10，在Rt△CGF中，由勾股定理得DF＝x=103，在Rt△DHF中，由勾股定理得FH=103，证明四边形EPCB是矩形得EP＝BC＝DC，再证明△PEF和△CDG全等得EF＝DG=210，据此可得【解答】解：过点E作EP⊥CD于点P，如图所示：∴∠EPF＝90°，∵四边形ABCD是正方形，且边长为6，∴DC＝BC＝6，∠B＝∠C＝90°，∴∠EPF＝∠C＝90°，设DF＝x，则CF＝DC﹣DF＝6﹣x，在Rt△DCG中，∠C＝90°，DG=210由勾股定理得：CG=DG∵将正方形ABCD沿着EF折叠，使点D的对应点G落在BC边上，∴EF是DH的垂直平分线，GF＝DF＝x，∴EF⊥DG，DH＝GH=12DG∴∠DHF＝90°，在Rt△CGF中，∠C＝90°，由勾股定理得：GF2＝CF2+CG2，∴x2＝（6﹣x）2+22，解得：x=10∴DF＝x=10在Rt△DHF中，∠DHF＝90°，由勾股定理得：FH=D∵∠EPF＝∠B＝∠C＝90°，∴四边形EPCB是矩形，∴EP＝BC，∴EP＝DC，在Rt△EPF中，∠EPF＝90°，∴∠PEF+∠PFE＝90°，在Rt△DHF中，∠DHF＝90°，∴∠CDG+∠PFE＝90°，∴∠PEF＝∠CDG，在△PEF和△CDG中，∠EPF=∠C=90°EP=DC∴△PEF≌△CDG（ASA），∴EF＝DG=210∴EH＝EF﹣FH=210故选：D．【点评】此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，正方形的性质，矩形的判定及性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，理解图形的翻折变换及其性质，正方形的性质，熟练掌握矩形的判定及性质，全等三角形的判定和性质，灵活利用勾股定理进行计算是解决问题的关键．2．如图，先将正方形纸片对折，折痕为MN，再将点B折叠在折痕MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为F，连接DF，CF．则下列说法：①△ADF是等边三角形；②BE＝2NF；③∠NEF＝2∠NCF；④NE+EF＝CF；⑤DF＝4EF．其中正确的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】翻折变换（折叠问题）；等边三角形的判定与性质；正方形的性质．【专题】矩形菱形正方形；展开与折叠；几何直观；推理能力．【答案】B【分析】由题意可得AD＝AB＝CD＝BC，∠B＝90°，由折叠的性质可得MN垂直平分AD，AF＝AB，BE＝EF，∠AFE＝∠B＝90°，MN⊥BC，CN＝BN＝DM＝AM，结合等边三角形的性质即可判断①正确；求出∠FEN＝30°，从而得出BE＝EF＝2NF，即可判断②正确；在CN上取点G，使得GN＝EN，连接GF，求出∠GCF＝∠GFC＝15°，即可判断③正确；由NE+EF＝NE+BE＝BN＝CN＜CF，即可判断④错误；表示出DF＝AF＝2AM，EF=BE≠12BN【解答】解：由题意可得AD＝AB＝CD＝BC，∠B＝90°，∵将点B折叠在折痕MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为F，∴MN垂直平分AD，AF＝AB，BE＝EF，∠AFE＝∠B＝90°，MN⊥BC，CN＝BN＝DM＝AM，∴AF＝DF，∴AF＝DF＝AD，∴△ADF是等边三角形，故说法①正确，符合题意；∴∠AFD＝60°，∴∠AFM=1∴∠EFN＝180°﹣∠AFM﹣∠AFE＝60°，∵MN⊥BC，∴∠ENF＝90°，∴∠FEN＝90°﹣∠EFN＝30°，∴EF＝2NF，∴BE＝EF＝2NF，故说法②正确，符合题意；如图，在CN上取点G，使得GN＝EN，连接GF，则MN垂直平分GE，∴GF＝EF，∴∠FGN＝∠FEN＝30°，∵CN＝BN，∴CN﹣GN＝BN﹣EN，∴CG＝BE，∵BE＝EF，∴CG＝GF，∴∠GCF＝∠GFC，∵∠GCF+∠GFC＝∠FGN＝30°，∴∠GCF＝∠GFC＝15°，∴∠NEF＝2∠NCF，故说法③正确，符合题意；NE+EF＝NE+BE＝BN＝CN＜CF，故说法④错误，不符合题意；∵△ADF为等边三角形，FM⊥AD，∠AFM＝30°，∴DF＝AF＝2AM，∵EF=BE≠1∴DF≠4EF，故说法⑤错误，不符合题意；综上所述，正确的有①②③，共3个，故选：B．【点评】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），等边三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握折叠的性质是解答本题的关键．3．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝12，点M，N分别在AD，BC上，且AM=13AD，BN=13BC，E为直线BC上一动点，连接DE，将△DCE沿DE所在直线翻折得到△DC′E，当点C′恰好落在直线A．5 B．15 C．5或20 D．5或15【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理；矩形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；展开与折叠；几何直观；推理能力．【答案】C【分析】当点C′在矩形ABCD内部时，由矩形的性质得到DC＝AB＝10，∠A＝90°，AD＝BC＝12，根据已知条件得到AM＝BN，推出四边形ABNM的矩形，得到∠NMA＝∠NMD＝90°，MN＝AB＝10，根据折叠的性质得到DC′＝DC＝10，C′E＝CE，根据勾股定理得到C'M=DC'2-DM【解答】解：在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝12，∴AB＝CD＝10，AD＝BC＝12，AD∥BC，∠A＝90°，∵点M，N分别在AD，BC上，AM=13AD∴AM＝BN＝4，∵AM∥BN，∴四边形ABNM的矩形，∴∠NMA＝∠NMD＝90°，MN＝AB＝10，由题意可分：当点C′在矩形ABCD内部时，如图1，由折叠的性质可知：DC′＝DC＝10，C′E＝CE，∵AM＝4，∴DM＝AD﹣AM＝12﹣4＝8，由勾股定理得：C'M=DC∴C′N＝MN﹣C′M＝4，∵∠CDM＝∠DCN＝∠NMD＝90°，∴四边形CDMN是矩形，∴CN＝DM＝8，∠CNM＝90°，NE＝CN﹣CE＝8﹣CE，在Rt△C′NE中，由勾股定理可得：NE2+C′N2＝C′E2，∴（8﹣CE）2+42＝CE2，解得：CE＝5；当点C′在矩形ABCD外部时，如图2，由勾股定理得：C'M=DC∴C′N＝MN+C′M＝16，∵∠CDM＝∠DCN＝∠NMD＝90°，∴四边形CDMN是矩形，∴CN＝DM＝8，∠CNM＝∠MNE＝90°，NE＝CE﹣CN＝CE﹣8，在Rt△C′NE中，由勾股定理可得：NE2+C′N2＝C′E2，∴（CE﹣8）2+162＝CE2，解得：CE＝20；综上所述：CE的长为5或20，故选：C．【点评】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，矩形的性质，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理．4．如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，将△ABE沿BE翻折，使A落在点A'处，连接EA′并延长，交边BC于点F．若AB＝3，BC＝4，则线段BF的长为（）A．134 B．125 C．25 【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；几何直观；运算能力；推理能力．【答案】A【分析】依题意得AE=12AD＝2，由翻折性质得A'E＝AE＝2，A'B＝AB＝3，∠BA'E＝∠A＝90°，∠A'EB＝∠AEB，则∠BA'F＝90°，∠FEB＝∠AEB，设A'F＝a，则EF＝2+a，由AD∥BC得∠AEB＝∠FBE，则∠FEB＝∠FBE，由此得BF＝EF＝2+a，然后在Rt△A'BF中，由勾股定理得a=54，继而得BF＝【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝3，BC＝4，∴CD＝AB＝3，AD＝BC＝4，AD∥BC，∠A＝90°，∵点E为AD的中点，∴AE=12AD＝∵将△ABE沿BE翻折，使A落在点A'处，∴A'E＝AE＝2，A'B＝AB＝3，∠BA'E＝∠A＝90°，∠A'EB＝∠AEB，∵EA′的延长线交边BC于点F，∴∠BA'F＝180°﹣∠BA'E＝90°，∠FEB＝∠AEB，设A'F＝a，则EF＝A'E+A'F＝2+a，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠FBE，∴∠FEB＝∠FBE，∴BF＝EF＝2+a，在△A'BF中，∠BA'F＝90°，由勾股定理得：A'B2+A'F2＝BF2，∴32+a2＝（2+a）2，解得：a=5∴BF＝2+a=2+5故选：A．【点评】此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，理解图形的翻折变换及其性质，熟练掌握矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，灵活利用勾股定理构造方程是解决问题的关键．5．如图，正方形ABCD，边长为9，点E在边AD上，DE＝2，连接CE，点F在边BC上，连接EF，将△CEF沿EF翻折得△GEF，点G在AB边上，点H在线段EF上，∠FGH＝45°，求△FGH的面积为（）A．3528 B．354 C．758【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理；正方形的性质．【专题】展开与折叠；推理能力．【答案】C【分析】根据正方形性质和折叠性质，利用勾股定理求出AG，BG，CF，GF的长，过点E作EM⊥BC于M，进而求出△GEF的面积和边EF的长；连接GC交EF于点K，连接AC，交EF于点S，证明△HFG≌△SFC（ASA），推出S，F重合，再证明△AEH∽△CFH，结合相似三角形性质得到FH的长，最后利用面积公式求解即可．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，边长为9，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA＝9，∵DE＝2，∴AE＝7，在Rt△CDE中，CE=C由折叠性质可知：△GEF≌△CEF，∴GE=CE=85在Rt△AGE中，AG=G∴BG＝AB﹣AG＝9﹣6＝3，设CF＝x，则BF＝9﹣x，GF＝x，∵BG2+BF2＝GF2，即32+（9﹣x）2＝x2，解得x＝5，∴CF＝GF＝5，BF＝4，过点E作EM⊥BC于M，则EM＝9，BM＝AE＝7，∴MF＝BM﹣BF＝7﹣4＝3，∴EF=E∵S△GEF连接GC交EF于点K，连接AC，交EF于点S，由折叠性质可知，GC⊥EF于点K，∴12EF⋅GK=S△GEF∴GK=15∵CF＝GF，∠HFG＝∠SFC，∠SCF＝∠HGF＝45°，∴△HFG≌△SFC（ASA），∴HF＝SF，即S，F重合，∵AE∥CF，∴△AEH∽△CFH，∴FHEH∴FH=5∴S△FGH故选：C．【点评】本题考查翻折变换，掌握折叠的性质是解题的关键．6．如图（1）在正方形ABCD纸片中，各边分别取点E、F、G、H，使得BE＝CF＝CG＝HD，沿着EF，HG裁剪，得到的六边形AEFCGH，再沿对角线AC剪开分成如图（2）两个四边形，将四边形A′C′GH沿A′C′的垂直平分线对称得到图（3）四边形，再将AC与C′A′重合（A与C′重合，C与A′重合）得如图（4）六边形AEFCHG，连接GF，则AG，AE，FG之间的关系是（）A．AG+AE＝FG B．AG2+AE2＝2FG2 C．AG2+AE【考点】剪纸问题；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；正方形的性质．【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；几何直观；推理能力．【答案】C【分析】由剪拼可以得出图4中△AEG是直角三角形，△EFG是等腰直角三角形，由勾股定理即可得出结论，从而作出判断．【解答】解：图1中，∵四边形ABCD是正方形，∴∠EAC＝∠GCA＝45°，∵图4中∠EAG是由∠EAC和∠GCA拼成的，∴图4中∠EAG＝45°+45°＝90°，在图4的Rt△AEG中，由勾股定理，得AG2+AE2＝EG2，图1中，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA，∵BE＝CF＝CG＝HD，∴AE＝BF＝DG＝AH，∴由SAS可得图4中的△AEG与图1中的△BFE全等，∴EG＝EF，∠AEG＝∠BFE，∴图4中的∠GEF＝∠AEF﹣∠AEG＝图1中的∠AEF﹣∠BEF＝∠B＝90°，在图4的Rt△EFG中，由勾股定理，得EG2+FG2＝FG2，∴2EG2＝FG2，即EG2=12FG∴AG2+AE2=12FG故选：C．【点评】本题考查剪纸中的几何问题，解答中涉及正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形外角的性质，弄清剪拼过程中的不变关系和新的关系是解题的关键．7．如图，在△ABC中，D是边BC的中点，将△ABD沿AD翻折，点B落在点E处，AE交CD于点F，△ADF的面积恰好是△ABC面积的14．小丽在研究这个图形时得到以下两个结论：①∠B＝∠CAE；②AC＝CD．那么下列说法中，正确的是（A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①、②皆正确 D．①、②皆错误【考点】翻折变换（折叠问题）．【专题】平移、旋转与对称；推理能力．【答案】C【分析】根据折叠的性质、三角形的面积公式、中线的性质求解．【解答】解：∵D是边CB的中点，∴BD＝CD，∴S△ABD＝S△ACD＝S△ADE=12S△∵S△ADF=14S△∴S△ACF＝S△EDF=14S△∴DF＝CF，AF＝EF，∴四边形ACED为平行四边形，∴AC∥DE，AC＝DE，∴∠E＝∠EAC，∵∠E＝∠B，∴∠EAC＝∠B，故①是正确的；由折叠的性质得：BD＝DE，∴AC＝CD，故②谁正确的，故选：C．【点评】本题考查了翻折变换，掌握折叠的性质、三角形的面积公式、中线的性质是解题的关键．8．将图1中的5个边长为1的小正方形，剪拼成图2中的大正方形ABCD．在数轴上，以原点O为圆心，AB为半径作弧，交数轴于点E，则点E表示的数为（）A．5 B．5或-5 C．5 D．5或﹣【考点】图形的剪拼；实数与数轴；勾股定理．【专题】多边形与平行四边形；运算能力．【答案】B【分析】判断出AB=5【解答】解：由题意AB=5∴以原点O为圆心，AB为半径作弧，交数轴于点E，则点E表示的数为±5．故选：B．【点评】本题考查图形的拼剪，实数与数轴，勾股定理，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题．9．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，沿DE折叠，使点A与点B重合，则DE的长为（）A．113 B．4 C．245 D【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；展开与折叠；几何直观；推理能力．【答案】D【分析】根据勾股定理可知AB＝10，根据折叠的性质得到AD＝BD，AE＝EB＝5，∠DAE＝∠DEB＝90°，设AD＝x，根据勾股定理求出x=25【解答】解：在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，由勾股定理得：AB=A∵沿DE折叠，使点A与点B重合，∴AD＝BD，AE＝EB＝5，∠DAE＝∠DEB＝90°，设AD＝x，则BD＝x，CD＝8﹣x，在直角三角形BCD中，∠ACB＝90°，BC＝6，由勾股定理得：（8﹣x）2+62＝x2，解得x=25∴AD=25∴DE=(故选：D．【点评】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，熟练掌握勾股勾股定理是解答本题的关键．10．如图，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝10，点E为DC边上一个动点，将△ADE沿直线AE折叠，点D的对应点为F．下列说法正确的是（）①当点F落在AB边上时，EF＝5；②当∠DAE＝30°时，点F恰好落在矩形ABCD的对角线AC上；③点F落在AD的垂直平分线上时，∠FAB＝30°；④点F与A，B组成△ABF的面积为15时，此时DE的长为2.4或10．A．①③④ B．①④ C．①③ D．②④【考点】翻折变换（折叠问题）；三角形的面积；线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形；矩形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；几何直观；运算能力；推理能力．【答案】C【分析】①证明四边形ADEF是正方形得EF＝AD＝5，则结论①正确；②当∠DAE＝30°时，连接AC，设AC的中点为O，连接OB，先求AC=55，进而得OB＝OA＝OC=552，则△OBC不是等边三角形，由此得∠ACB≠60°，则∠BAC≠30°，再求出∠FAB＝30°得∠FAB≠∠BAC，据此得点F不在对角线③点F落在AD的垂直平分线上时，设AF的中点为P，连接PM，证明PM＝PA＝AM＝2.5得△APM是等边三角形，则∠MAP＝60°，进而得∠FAB＝30°，则结论③正确；④当△ABF的面积为15时，过点F作FQ⊥AB于点Q，QF的延长线交CD于点K，先求出FQ＝3，AQ＝4，证明四边形ADKQ是矩形得DK＝AQ＝4，KQ＝AD＝5，则FK＝2，设DE＝a，则FE＝DE＝a，在Rt△EFK中，DE＝a＝2.5；当DE＝10时，点E与点C重合，过点F作FT⊥AB于点T，设CF交AB于点R，设AR＝x，则BR＝10﹣x，证明CR＝AR＝x，在Rt△BCR中，由勾股定理得CR＝AR＝x=254，则FR=154，再由三角形的面积公式求出FT＝3，则可得△ABF的面积为15，据此得当△ABF的面积为15时，DE的长为2.5或【解答】解：①∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝∠D＝90°，∵将△ADE沿直线AE折叠，点D的对应点为F，点F落在AB边上，如图1所示：∴AF＝AD，∠AFE＝∠D＝90°，∴∠DAB＝∠D＝∠AFE＝90°，∴四边形ADEF是矩形，又∵AF＝AD，∴矩形ADEF是正方形，∴EF＝AD，∵AD＝5，∴EF＝5，故结论①正确；②当∠DAE＝30°时，连接AC，设AC的中点为O，连接OB，如图2所示：∵四边形ABCD是矩形，AD＝5，AB＝10，∴BC＝AD＝5，CD＝AB＝10，∠DAB＝∠D＝∠ABC＝90°，在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC=A∵∠ABC＝90°，点O是AC的中点，∴OB是Rt△ABC的斜边AC上的中线，∴OB＝OA＝OC=12AC又∵BC＝5，∴△OBC不是等边三角形，∴∠ACB≠60°，∴∠BAC≠30°，由折叠性质得：∠FAE＝∠DAE＝30°，∴∠FAD＝∠FAE+∠DAE＝60°，∴∠FAB＝∠DAB﹣∠FAD＝90°﹣60°＝30°，∴∠FAB≠∠BAC，∴点F不在对角线AC上，故结论②不正确；③点F落在AD的垂直平分线上时，设AF的中点为P，连接PM，如图3所示：∵FM是AD的垂直平分线，∴AM=12AD＝2.5，FM⊥∴∠FMA＝90°，由折叠性质得：AF＝AD＝5，∵∠FMA＝90°，点P是AF的中点，∴PM是Rt△FMA的斜边AF上的中线，∴PM＝PA＝PF=12AF＝∴PM＝PA＝AM＝2.5，∴△APM是等边三角形，∴∠MAP＝60°，∴∠FAB＝∠DAB﹣∠MAP＝30°，故结论③正确；④当△ABF的面积为15时，过点F作FQ⊥AB于点Q，QF的延长线交CD于点K，如图4①所示：∴∠FQA＝90°，∴S△FAB=12AB•FQ=12×10∴FQ＝3，由由折叠性质得：AF＝AD＝5，在Rt△AFQ中，∠FQA＝90°，由勾股定理得：AQ=AF∵∠DAB＝∠D＝∠FQA＝90°，∴四边形ADKQ是矩形，∴DK＝AQ＝4，KQ＝AD＝5，∠FKE＝90°，∴FK＝KQ﹣FQ＝5﹣3＝2，设DE＝a，则EK＝DK﹣DE＝4﹣a，由折叠性质得：FE＝DE＝a，在Rt△EFK中，∠FKE＝90°，由勾股定理得：FE2＝EK2+FK2，∴a2＝（4﹣a）2+22，解得：a＝2.5，∴DE＝a＝2.5，当DE＝10时，点E与点C重合，过点F作FT⊥AB于点T，设CF交AB于点R，如图4②所示：设AR＝x，则BR＝AB﹣AR＝10﹣x，由折叠性质得：∠FCA＝∠DCA，AF＝AD＝5，CF＝CD＝10，∠AFC＝∠D＝90°，在矩形ABCD中，CD∥AB，∴∠RAC＝∠DCA，∴∠RAC＝∠FCA，∴CR＝AR＝x，在Rt△BCR中，∠ABC＝90°，由勾股定理得：CR2＝BR2+BC2，∴x2＝（10﹣x）2+52，解得：x=25∴CR＝AR＝x=25∴FR＝CF﹣CR=10-25∵∠AFC＝90°，FT⊥AB于点T，∴由三角形的面积公式得：S△AFR=12AR•FT=12∴12∴FT＝3，∴S△ABF=12AB•FT=12×10综上所述：当△ABF的面积为15时，此时DE的长为2.5或10，不是2.4或10，故结论④不正确，综上：正确的结论是①③．故选：C．【点评】此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，含有30°角的直角三角形的性质，勾股定理，理解图形的翻折变换及其性质，熟练掌握矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，灵活利用含有30°角的直角三角形的性质及勾股定理进行计算是解决问题的关键．二．填空题（共5小题）11．如图，∠AOB＝45°，点M、N分别在射线OA、OB上，MN＝9，△OMN的面积为12，点P是直线MN上的动点，点P关于OA对称的点为点P1，点P关于OB对称的点为点P2，当点P在直线NM上运动时，△OP1P2的面积最小值为329【考点】轴对称的性质；三角形的面积．【专题】平移、旋转与对称；运算能力．【答案】329【分析】连接OP，过点O作OH⊥MN交直线MN于点H，利用三角形的面积公式求出OH的长，再根据轴对称的性质可得OP1＝OP＝OP2，∠P1OP2＝2∠AOB＝90°，从而得出△OP1P2的面积为12OP2，根据垂线段最短可知当【解答】解：如图，连接OP，过点O作OH⊥MN交直线MN于点H，∵S△OMN=12MN⋅OH=12∴OH=8由题意可得：OP1＝OP＝OP2，∠AOP1＝∠AOP，∠BOP2＝∠BOP，∵∠AOB＝45°，∴∠P1OP2＝∠AOP1+∠AOP+∠BOP+∠BOP2＝2（∠AOP+∠BOP）＝2∠AOB＝90°，∴△OP1P2为等腰直角三角形，∴S△O由垂线段最短可知，当点P与点H重合时，OP取得最小值，最小值为OH=8∴△OP1P2的面积的最小值为12故答案为：329【点评】本题考查等边三角形，正确进行计算是解题关键．12．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，点D，E为BC上两点，∠DAE＝45°，F为△ABC外一点，且AF＝AE，∠EAF＝90°．以下结论：①CE＝BF；②S△ACB③若BE：CE＝3：1，则DE=5④△FBE周长的最小值为1+22正确的有①②③．（请填写序号）【考点】轴对称﹣最短路线问题；全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形．【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；几何直观；运算能力；推理能力．【答案】①②③．【分析】本题围绕等腰直角三角形的全等变换、线段转化、最值计算展开，解题关键点是通过SAS全等判定实现边和角的等量转化，逐个验证四个结论的正误．【解答】解：结论①CE＝BF，已知∠BAC＝∠EAF＝90°，两边同时减去∠BAE，可得：∠CAE＝∠BAF，结合AC＝AB，AE＝AF，根据SAS全等判定，可得△CAE≌△BAF，由全等三角形对应边相等，直接得到CE＝BF，因此结论①正确；结论②S△ACB由AF＝AE，∠EAF＝90°，可知△EAF是等腰直角三角形，∠AEF＝45°，又因为∠DAE＝45°，可得∠DAE+∠AEF＝90°，因此AD⊥EF，即四边形AEDF的两条对角线AD、EF互相垂直．对角线互相垂直的四边形面积公式为S=12×对角线1因此S四边形AEDF=题目明确F是△ABC外一点，边界重合情况不成立，因此四边形AEDF面积严格小于S△ACB，而S△ACB可得S△ACB＞1结论②正确；结论③若BE：CE＝3：1，则DE=5在Rt△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，由勾股定理得：BC=2由BE：CE＝3：1，可得BE=3CE=1由△CAE≌△BAF，得BF=CE=2且∠ABF＝∠C＝45°，因此∠FBE＝∠ABF+∠ABC＝45°+45°＝90°，即△FBE是直角三角形．又因为∠FAD＝∠EAF﹣∠DAE＝90°﹣45°＝45°，所以∠FAD＝∠DAE，结合AF＝AE、AD为公共边，由SAS得△FAD≌△EAD，因此FD＝DE．设DE＝x，则FD＝x，BD=BE-DE=3在Rt△FBD中由勾股定理：BF2+BD2＝FD2，代入数值：(2展开化简得：12+92-325＝32x，解得x=5因此结论③正确；结论④△FBE周长的最小值为1+22△FBE的周长＝BF+BE+EF，由BF＝CE，得BF+BE=CE+BE=BC=22因此周长可改写为：C△FBE在等腰Rt△EAF中，EF=2要让周长最小，只需让AE取最小值．点A到线段BC的最短距离是BC边上的高，长度为2，此时AE最小为2，对应EF最小为2×因此△FBE周长的最小值为22+2，并非结论④错误．故正确的结论为：①②③，故答案为：①②③．【点评】这道题目考查了轴对称——最短路线问题、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形相关知识点，解题的关键在于对以上知识的灵活运用．13．如图，在矩形ABCD中，AB=3+3，AD=23，P，Q分别是AB，AD上的动点，且AP＝DQ，则PQ+22PB的最小值是【考点】胡不归问题；全等三角形的判定与性质；矩形的性质．【专题】三角形；矩形菱形正方形．【答案】32【分析】设AP＝DQ＝x，用x分别表示出PB、AQ的长度，再根据勾股定理写出PQ的表达式，将目标式转化为关于x的函数．待求式为：S=x2+(23-x)2+22(3+3-x).对根号内展开化简：x2+(2【解答】解：设AP＝DQ＝x，∵矩形中∠A＝90°，AD=23∴AQ=AD-DQ=23由勾股定理得：PQ=A又∵AB=3+3∴PB=AB-AP=3+3∴待求式为：S=x对根号内展开化简：x2令u=x-3代入整理后可得：S=2设k=2则k+2两边平方整理为关于u的一元二次方程，(k+2k23u∵Δ=(-22∴k的最小值为32∴Smin且此时x=3+1在验证：代入x=3得PQ=22，2故答案为：32【点评】本题主要考查了胡不归问题，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，掌握其相关知识点是解题的关键．14．在长方形ABCD中，AD＝5，AB＝4，延长CB至点E，使得BE＝AB，连接AE，点M是DC的中点，点P是边AD上一动点，点Q在边AE上，则MP+BP+BQ的最小值＝61+22【考点】轴对称﹣最短路线问题；矩形的性质．【专题】矩形菱形正方形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．【答案】61+2【分析】设M关于AD对称点为M′，则MP＝M′P，MP+BP＝M′P+BP≥BM′，利用勾股定理求出BM′，可得B，P，M′三点共线时，MP+BP取得最小值，可证△ABE为等腰直角三角形，可得Q在AE中点时，BQ⊥AE，此时BQ取得最小值，据此作答即可．【解答】解：∵在长方形ABCD中，AD＝5，AB＝4，∴BC＝AD＝5，DC＝AB＝4，∠ABC＝∠C＝90°，∴∠ABE＝90°，∵点M是DC的中点，∴CM＝DM＝2，设M关于AD对称点为M′，则MP＝M′P，CM′＝CD+M′D＝6，M'D=MD=1BM'=B∴MP+BP=M'P+BP≥BM'=61∴当且仅当B，P，M′三点共线时，MP+BP取得最小值，最小值为BM'=61∵∠ABE＝90°，又BE＝AB，∴△ABE为等腰直角三角形，∵点Q在边AE上，∴当BQ⊥AE时，BQ取得最小值，∴Q在AE中点时，BQ⊥AE，此时BQ取得最小值，最小值为12∴MP+BP+BQ≥61+22故答案为：61+2【点评】本题考查轴对称—最短路线，矩形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．15．在△ABC中，AB＝AC＝5，∠ABC＝40°，CD平分∠ACB，点E，F分别是线段BC，CD上的动点，且BE＝CF，连接AE，AF，则AE+AF的最小值为5．【考点】轴对称﹣最短路线问题；等腰三角形的性质．【专题】平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．【答案】5．【分析】作∠GCF＝40°，使GC＝AB＝AC＝5，证明△ABE≌△GCF（SAS）得AE＝GF，从而当A，F，G三点共线时，AE+AF＝GF+AF＝AG，此时AE+AF最小，再证明△ACG为等边三角形，即可求解．【解答】解：作∠GCF＝40°，使GC＝AB＝AC＝5，∴∠ABC＝∠GCF＝40°，∵BE＝CF，∴△ABE≌△GCF（SAS），∴AE＝GF，∴AE+AF＝GF+AF≥AG，当A，F，G三点共线时，AE+AF＝GF+AF＝AG，此时AE+AF最小．∵∠ABC＝40°，AB＝AC＝5，∴∠ACB＝∠ABC＝40°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=1∴∠ACG＝20°+40°＝60°，∵GC＝AC＝5，∴△ACG为等边三角形，∴AG＝AC＝5，点E，F分别是线段BC，CD上的动点，且BE＝CF，连接AE，AF，则AE+AF的最小值为5．故答案为：5．【点评】本题考查轴对称—最短路线，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．三．解答题（共5小题）16．如图，在△ABC中，∠B＝20°，∠ADC＝100°，点D为边BC上一点，将△ADC沿直线AD折叠后，点C落到点E处，AE与BC相交于点F．（1）求证：AB∥DE；（2）若AE恰好平分∠BAD，求∠E的度数；（3）若△ACF的周长为12，△DEF的周长为4，求AF的长．【考点】翻折变换（折叠问题）；平行线的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．【答案】（1）∠ADC＝100°，点D为边BC上一点，∴∠ADB＝180°﹣∠ADC＝80°，∵将△ADC沿直线AD折叠后，点C落到点E处，∴∠ADE＝∠ADC＝100°，∴∠BDE＝∠ADE﹣∠ADB＝20°，∵∠B＝20°，∴∠BDE＝∠B＝20°，∴AB∥DE；（2）∠E的度数为40°（3）AF的长为4．【分析】（1）由∠ADC＝100°得∠ADB＝80°，再由折叠性质得∠ADE＝∠ADC＝100°，则∠BDE＝20°，进而得∠BDE＝∠B＝20°，则AB∥DE；（2）由（1）得∠ADB＝80°，∠ADE＝100°，在△ABD中，由三角形内角和定理得∠BAD＝80°，再由AE恰好平分∠BAD得∠EAD=12∠BAD＝40°，然后在△ADE中，由三角形内角和定理得∠E＝（3）由叠后性质得AC＝AE＝AF+EF，CD＝DE，根据△ACF的周长为12得AC+CF+AF＝12，即AF+EF+DE+DF+AF＝12，整理得2AF+EF+DE+DF＝12，然后根据△DEF的周长为4得EF+DE+DF＝4，由此得2AF+4＝12，据此可得AF＝4．【解答】（1）证明：∠ADC＝100°，点D为边BC上一点，∴∠ADB＝180°﹣∠ADC＝80°，∵将△ADC沿直线AD折叠后，点C落到点E处，∴∠ADE＝∠ADC＝100°，∴∠BDE＝∠ADE﹣∠ADB＝20°，∵∠B＝20°，∴∠BDE＝∠B＝20°，∴AB∥DE；（2）解：由（1）可知：∠ADB＝80°，∠ADE＝100°，在△ABD中，∠BAD＝180°﹣（∠ADB+∠B）＝80°，∵AE恰好平分∠BAD，∴∠EAD=12∠BAD＝在△ADE中，∠E＝180°﹣（∠EAD+∠ADE）＝40°；（3）解：∵将△ADC沿直线AD折叠后，点C落到点E处，∴AC＝AE，CD＝DE，∵AE与BC相交于点F，∴AC＝AE＝AF+EF，CF＝CD+DF＝DE+DF，∵△ACF的周长为12，∴AC+CF+AF＝12，∴AF+EF+DE+DF+AF＝12，∴2AF+EF+DE+DF＝12，∵△DEF的周长为4，∴EF+DE+DF＝4，∴2AF+4＝12，∴AF＝4．【点评】此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，平行线的判定，三角形内角和定理，理解图形的翻折变换及其性质，熟练掌握平行线的判定，三角形内角和定理是解决问题的关键．17．如图，在8×8的正方形网格图中，点A，B，C均在格点上，现要另外添加一个格点D，使A、B、C、D这4个点两两连接所形成的图形是轴对称图形．请在图中画出所有满足条件的点D，并简要描述你是如何找到的．【考点】作图﹣轴对称变换．【专题】作图题；平移、旋转与对称；几何直观；推理能力．【答案】满足条件的点D如图即为所求（图中的D1，D2，D3，D4）；对于D1，D2，连接AC，取AC中点O，作直线OB，交格点为D1，D2，连接AD1，AD2，CD1，CD2，则ABCD1，ABCD2都是轴对称图形，符合题意；对于D3，D4，延长AB交网格于格点D3，延长CB交网格于格点D4，则△ACD3，△ACD4即为所求作．【分析】对于D1，D2，连接AC，取AC中点O，作直线OB，交格点为D1，D2，连接AD1，AD2，CD1，CD2，根据SAS可证△AEO≌△OFB，得到∠EAO＝∠BOF，进而可得∠AOB＝90°，可得直线OB垂直平分AC，则ABCD1，ABCD2都是轴对称图形；对于D3，D4，延长AB交网格于格点D3，延长CB交网格于格点D4，同理可得AB垂直平分CD4，CB垂直平分AD3，则△ACD3，△ACD4都是等腰三角形，符合题意．【解答】解：满足条件的点D如图即为所求（图中的D1，D2，D3，D4）；对于D1，D2，连接AC，取AC中点O，作直线OB，交格点为D1，D2，连接AD1，AD2，CD1，CD2，则ABCD1，ABCD2都是轴对称图形，符合题意；对于D3，D4，延长AB交网格于格点D3，延长CB交网格于格点D4，则△ACD3，△ACD4即为所求作．【点评】本题主要考查了作图﹣轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．18．如图①，在△ABC中，∠BAC＝52°，点M是△ABC内的一点，分别过M作关于AB，AC的对称点M1，M2，连接AM，AM1，AM2．（1）∠ABC+∠ACB＝128°；（2）求∠M1AM2的度数；（3）如图②，再作M关于BC的对称点M3，分别连接BM1，BM3，CM2，CM3，求∠M1BM3与∠M2CM3的度数之和．【考点】轴对称的性质．【专题】平移、旋转与对称；运算能力．【答案】（1）128；（2）104°；（3）256°．【分析】（1）根据三角形的内角和定理即可解决问题；（2）根据轴对称的性质进行计算即可；（3）根据轴对称的性质进行计算即可．【解答】