人教A版高一数学秋季培优班 第19讲 三角恒等变换（总部定稿版）（学生版）

第19讲三角恒等变换目录题型01两角和差公式题型02两角和差正切公式题型03二倍角公式应用题型04给角求值题型05给值求值与给值求角题型06半角公式与辅助角公式题型07三角恒等式证明与综合应用强化训练（共12题）知识小测（共5题）知识解读三角恒等变换知识点01两角和的余弦公式两角和的余弦公式：知识点02两角和与差的正弦公式两角和的正弦公式：sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ在公式S_(α+β)中用-β代替β，就得到：两角差的正弦公式sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ。知识点03两角和与差的正切公式知识点04二倍角的正弦、余弦、正切公式1、二倍角的正弦、余弦、正切公式2、和角公式、倍角公式之间的内在联系在两角和的三角函数公式，，中，当时，就可得到二倍角的三角函数公式，它们的内在联系如下：知识点05升（降）幂缩（扩）角公式升幂公式：，降幂公式：，知识点06辅助角公式1、形如的三角函数式的变形：令，，则（其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定，或由和共同确定．）2、辅助角公式在解题中的应用通过应用公式（或），将形如（不同时为零）收缩为一个三角函数（或）．这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和变形为一个三角函数，这样做有利于函数式的化简、求值等．知识点07半角公式，，以上三个公式分别称作半角正弦、余弦、正切公式，它们是用无理式表示的．以上两个公式称作半角正切的有理式表示．知识点08积化和差公式知识点09和差化积公式题型精讲题型1两角和差公式【典例1】化简计算的值为（

）A． B． C． D．题型点播已知，的某种三角函数值，求的正弦，先要根据平方关系求出、的另一种三角函数值．求解过程中要注意先根据角的范围判断所求三角函数值的符号，然后再将求得的函数值和已知函数值代入和角或差角的三角函数公式中求值．【变式1】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，若，，均为正整数，则的值为（

）A． B． C． D．题型2两角和差正切公式【典例1】若，是方程的两个根，则的值为（

）A． B． C． D．题型点播公式的变形应予以灵活运用．【变式1】已知(1)若，求的值．(2)若，求的值．题型3二倍角公式应用【典例1】给白炽灯加上一个不透光材料做的灯罩，可以降低或消除白炽灯对眼睛造成的眩光，某一灯罩的防止眩光范围，可用遮光角来衡量.遮光角是指灯罩边沿和发光体边沿的连线与水平线所成的夹角，图中灯罩的遮光角满足.若图中，且，则（

）A．21 B．33 C．42 D．55题型点播应用二倍角公式化简（求值）的策略：化简求值关注四个方向：分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异．【变式1】已知是第二象限角，(1)求和的值；(2)求和和的值.题型4给角求值【典例1】年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割和余割，在某直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比，叫做该锐角的正割，用（角）表示；锐角的斜边与其对边的比，叫做该锐角的余割，用（角）表示，则（

）A． B． C． D．题型点播在利用公式解含有非特殊角的三角函数式的求值问题时，要先把非特殊角转化为特殊角的差（或同一个非特殊角与特殊角的差），利用公式直接化简求值，在转化过程中，充分利用诱导公式，构造出两角差的余弦公式的结构形式，正确地顺用公式或逆用公式求值．【变式1】某数学学习小组研究得到了以下的三倍角公式：①；②．根据以上研究结论，研究以下问题．(1)在①和②中任选一个进行证明；(2)当时，尝试用表示；(3)求值：．题型5给值求值与给值求角【典例1】已知，则（

）A． B． C． D．题型点播（1）已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，适当地拆角与凑角．（2）由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有：①；②；③；④．【典例2】若，，且，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【变式1】已知，，且，.(1)的值；(2)的值.题型6半角公式与辅助角公式【典例1】已知，若，则（

）A． B． C． D．题型点播1、化简问题中的“三变”（1）变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．（2）变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切．（3）变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等．2、利用半角公式求值的思路（1）看角：看已知角与待求角的2倍关系．（2）明范围：求出相应半角的范围为定符号作准备．（3）选公式：涉及半角公式的正、余弦值时，常利用计算．提醒：已知的值可求的正弦、余弦、正切值，要注意确定其符号.【典例2】若的图象关于对称，则（

）A． B．0 C．1 D．【变式1】已知函数．(1)求的最小正周期及单调递增区间；(2)当时，的取值范围为，求m的最大值．题型7三角恒等式证明与综合应用【典例1】锐角△中，角A、B、C所对边分别为a、b、c，若，则范围为（

）A． B．C． D．题型点播（1）执因索果法：证明的形式一般化繁为简；（2）左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子；（3）拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同；（4）比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”；（5）分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立．【典例2】．(1)求的最小正周期和单调递增区间；(2)求在区间上的最大值和最小值．【变式1】已知(1)求的最小正周期；(2)若函数y=|f(x)|-m在区间[-5π/24,3π/8]上恰有两个零点x₁,x₂，①求m的取值范围；②求x₁+x₂的值.强化训练（共12题）1．已知，则（

）A． B． C． D．2．若为锐角，，则的值为（

）A． B． C． D．3．设，，，则有（

）A． B． C． D．4．已知满足，则的值为（

）A． B． C． D．5．已知，，定义新运算，记，，满足，则（

）A． B． C． D．6．（多选）下列等式正确的是（

）A． B．C． D．7．（多选）已知，，若，是关于的方程的两个根（含重根），则可能是（

）A．直角三角形 B．锐角三角形C．钝角三角形 D．等腰三角形8．四个直角三角形可以多种拼接方式．如图就是一种拼接方式：其中直角三角形①和直角三角形③全等，直角三角形②和直角三角形④全等，其中直角三角形的斜边长为1个单位长度，根据图所提供的信息，请写出一个关于角和角组合在一起的一个数学公式．

9．某工厂制作如图所示的一种标识，在半径为的圆内做一个关于圆心对称的“”型图形，“”型图形由两竖一横三个等宽的矩形组成，两个竖起来的矩形全等且它们的长边是横向矩形长边的倍，设为圆心，，记矩形的面积为，则的最大值为.10．若是锐角，且.(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值；11．已知向量，其中，且．(1)求和的值；(2)若，且，求角的值．12．已知函数.(1)求的图象的对称轴、单调递增区间；(2)当时，求的最值，以及取得最值时的取值；(3)当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围.知识小测（共5题）1