中考数学难题突破之图形认识初步

2027年中考数学复习难题速递之图形认识初步（2026年7月）一．选择题（共6小题）1．中国古人所使用的“五声音阶”，都由“宫徽商羽角”五个音组成．关于这五个音阶的律学理论叫做“三分损益法”．“三分损益”包含“三分损一”和“三分益一”．由宫音的管长起算：宫三分损一得徽，即取宫管长度的23得到徽管；徽三分益一得商，即取徽管长度的43为商管，以此类推：商三分损一得羽，羽三分益一得角．依据上述管长的换算关系及《音乐与数学》综合与实践主题学习经验，下列说法正确的是A．五音管中最长的音管是商管 B．五音管中最短的音管是角管 C．假设徽管长度为54cm，则角管的长度为48cm D．五音的高低与音管的长度有关，音管越短，音高越高2．将如图所示的平面图形绕直线l旋转一周，得到的立体图形是（）A． B． C． D．3．如图，有A，B，C三个地点，测得∠ABC＝90°，A地在B地北偏东47°的方向上，那么C地在B地的（）A．南偏西43°的方向上 B．南偏东47°的方向上 C．北偏西43°的方向上 D．北偏西47°的方向上4．下列说法：①由两条射线组成的图形叫做角；②连接两点的线段叫两点之间的距离；③射线AB与射线BA是两条不同的射线；④用两颗钉子可以把木条固定在墙上可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释；⑤两点之间直线最短．其中正确的有（）个A．1 B．2 C．3 D．45．如图，线段AB＝10cm，点C为线段AB上一点，BC＝3cm，点D，E分别为AC和AB的中点，则线段DE的长为（）A．12cm B．1cm C．32cm D．6．如图是一个几何体的展开图，则这个几何体是（）A． B． C． D．二．填空题（共4小题）7．把一个底面周长18.84cm，高5cm的圆柱沿底面半径分成许多相等的扇形，然后把圆柱切开，再拼起来，就能得到一个近似的规则的长方体（其他因素均忽略不计）．下列结论中正确的有．（填序号，本题π取3.14）①长方体的宽等于圆柱底面圆半径．②长方体的长是9.42cm．③长方体的表面积比圆柱表面积增加了30cm2．④长方体的体积是141.3cm3．8．把一根绳子对折成一条线段AB，在线段AB上取一点P，使AP：PB＝1：3，将绳子从点P处剪断，若剪断后的三段绳子中最长的一段为12cm，则三段绳子中最短的一段的长为cm．9．如图，小明站在堤岸的A点处，正对他的S点处停有一艘游艇．他沿堤岸走到电线杆B旁，接着再往前走相同的距离，到达C点，然后他向左直行，当看到电线杆与游艇在一条直线上时停下来，此时他位于D点．测得C，D两点的距离是50m，那么A，S两点之间的距离为m．10．七巧板由可以错综分合的案几（即“燕几”）演化而来，它是一种拼板玩具，体现了我国古代劳动人民的智慧．图2是由图1拼成的风车形状，则tan∠ADE＝．三．解答题（共5小题）11．物体平移的速度常用单位时间内移动的距离来表示，如汽车每小时行60千米，物体旋转的速度常用单位时间内转动的圈数或角度来表示，如钟面上的时针每天转2圈，或每小时转30°，分针每小时转1圈或每分钟转6°，还有电风扇每秒转2圈或720°（每秒转2圈，1圈是360°）．我们在科学课中研究过一些简单的机械，下面是一个传送系统，由主动轮、从动轮和传送带组成，可以将货物从B传送到A，主动轮每秒转1圈．（1）观察该系统，如果主动轮顺时针转180°，求从动轮就会逆时针转多少度？（2）这个系统把货物从B传送到A，大约要多少秒？（计算时，圆周率π取3）12．如图，已知点C、D是线段AB上的点，AB＝18，AC：BC＝5：4，BD＝3CD．（1）求CD的长；（2）若点E是AD的中点，求CE的长．13．如图1，已知OM平分∠AOC，OB是∠COM内的一条射线，ON平分∠BOC．【初步应用】（1）如果∠AOB＝80°，∠BOC＝30°，求∠MON的度数；【类比探究】（2）如果∠AOB＝α，∠BOC＝β，求∠MON的度数；【迁移探究】（3）如图2，已知点M是线段AC的中点，点B是线段CM上的一点，点N是线段BC的中点，试判断线段MN与线段AB的数量关系，并说明理由．14．将直角三角板OMN的直角顶点O放在直线AB上，∠BON＝60°，射线OC平分∠AON．（1）求∠AOM的度数；（2）试说明OM平分∠AOC．15．在数学实践活动课上，励志小组开展了一项关于角度关系的探究活动．他们利用一副直角三角尺（其中∠COD＝90°）进行实验，将直角顶点固定在一条直线AB的点O处，且OE平分∠BOC．通过改变三角尺的放置方式（如图1、图2、图3），他们观察并记录了∠DOE与∠AOC之间的数量关系，并试图发现其中的规律．（1）如图1，若∠DOE＝20°，则∠AOC的度数为；（2）将直角三角尺如图2放置，其他条件不变，若∠DOE＝70°，求∠AOC的度数；（3）将直角三角尺如图3放置，其他条件不变，试探究∠AOC和∠DOE的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由．

2027年中考数学复习难题速递之图形认识初步（2026年7月）参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）题号123456答案DDCBCC一．选择题（共6小题）1．中国古人所使用的“五声音阶”，都由“宫徽商羽角”五个音组成．关于这五个音阶的律学理论叫做“三分损益法”．“三分损益”包含“三分损一”和“三分益一”．由宫音的管长起算：宫三分损一得徽，即取宫管长度的23得到徽管；徽三分益一得商，即取徽管长度的43为商管，以此类推：商三分损一得羽，羽三分益一得角．依据上述管长的换算关系及《音乐与数学》综合与实践主题学习经验，下列说法正确的是A．五音管中最长的音管是商管 B．五音管中最短的音管是角管 C．假设徽管长度为54cm，则角管的长度为48cm D．五音的高低与音管的长度有关，音管越短，音高越高【考点】角的概念；分数的除法；分数混合运算的应用．【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．【答案】D【分析】先设宫管长度为L，根据题目给出的“三分损一”“三分益一”的换算规则，依次计算出五个音的管长，再逐一判断选项即可．【解答】解：宫管长度的23得到徽管；徽三分益一得商，即取徽管长度的4设宫管的长度为L，∵取宫管长度的23得到徵∴徵管长度为23∵取徵管长度的43∴商管长度为23∵商三分损一得羽，∴羽管长度为89∵羽三分益一得角，∴角管长度为1627对各长度排序得：L＞89A：最长的是宫管，不是商管，A错误；B：最短的是羽管，不是角管，B错误；C：若徵管长54cm，即23L=54，得L＝81，则角管长为6481×81=64cm，不是48D：音的高低由振动频率决定，音管越短，振动频率越高，音高越高，D正确．故选：D．【点评】本题考查角的概念，正确进行计算是解题关键．2．将如图所示的平面图形绕直线l旋转一周，得到的立体图形是（）A． B． C． D．【考点】点、线、面、体．【专题】几何图形；几何直观．【答案】D【分析】利用“面动成体”的原理，将平面图形的各部分拆分分析，判断每部分旋转后形成的立体图形，再组合起来即可．【解答】解：该平面图形绕直线l旋转一周后，顶部和底部各形成一个圆锥，中间形成一个圆柱，故D符合题意，其他选项不符合题意，故选：D．【点评】本题考查点、线、面、体，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．3．如图，有A，B，C三个地点，测得∠ABC＝90°，A地在B地北偏东47°的方向上，那么C地在B地的（）A．南偏西43°的方向上 B．南偏东47°的方向上 C．北偏西43°的方向上 D．北偏西47°的方向上【考点】方向角．【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力；推理能力．【答案】C【分析】利用角的和差求解即可．【解答】解：∵∠ABM＝47°，∠ABC＝90°，∴∠MBC＝∠ABC﹣∠ABM＝90°﹣∠ABM＝43°，∴C地在B地的北偏西43°的方向上．故选：C．【点评】本题考查方向角，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．4．下列说法：①由两条射线组成的图形叫做角；②连接两点的线段叫两点之间的距离；③射线AB与射线BA是两条不同的射线；④用两颗钉子可以把木条固定在墙上可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释；⑤两点之间直线最短．其中正确的有（）个A．1 B．2 C．3 D．4【考点】角的概念；直线、射线、线段；直线的性质：两点确定一条直线；线段的性质：两点之间线段最短；两点间的距离．【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．【答案】B【分析】根据角的定义，两点间的距离，射线、线段的性质，直线的性质逐项进行判断即可．【解答】解：①由两条具有公共端点的射线组成的图形叫做角，因此①不正确；②连接两点线段的长度叫两点之间的距离，因此②不正确；③射线AB与射线BA是两条不同的射线，因此③正确；④用两颗钉子可以把木条固定在墙上可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释，因此④正确；⑤两点之间线段最短，因此⑤不正确．综上所述，正确的有③④，共2个，故选：B．【点评】本题考查角的定义，两点间的距离，射线的定义、线段的性质，直线的性质，掌握角的定义，两点间的距离，射线、线段的性质，直线的性质是正确解答的关键．5．如图，线段AB＝10cm，点C为线段AB上一点，BC＝3cm，点D，E分别为AC和AB的中点，则线段DE的长为（）A．12cm B．1cm C．32cm D．【考点】两点间的距离．【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．【答案】C【分析】根据线段的和差，可得AC的长，根据线段中点的性质，可得AD、AE的长，根据线段的和差，可得DE的长．【解答】解：由线段的和差，得AC＝AB﹣BC＝10﹣3＝7cm，由点D是AC的中点，所以AD=12AC=12由点E是AB的中点，得AE=12AB=12×由线段的和差，得DE＝AE﹣AD＝5-72故选：C．【点评】本题考查了两点间的距离，解题的关键是利用线段的和差，线段中点的性质．6．如图是一个几何体的展开图，则这个几何体是（）A． B． C． D．【考点】几何体的展开图．【专题】几何图形；应用意识．【答案】C【分析】根据侧面为3个长方形，底边为三角形，原几何体为三棱柱，依此即可求解．【解答】解：根据侧面为3个长方形，底边为三角形，原几何体为三棱柱可得：侧面为3个长方形，底边为三角形，故原几何体为三棱柱．故选：C．【点评】本题考查了几何体的展开图，n棱柱的展开图侧面为n个长方形，底边为n边形．二．填空题（共4小题）7．把一个底面周长18.84cm，高5cm的圆柱沿底面半径分成许多相等的扇形，然后把圆柱切开，再拼起来，就能得到一个近似的规则的长方体（其他因素均忽略不计）．下列结论中正确的有①②③④．（填序号，本题π取3.14）①长方体的宽等于圆柱底面圆半径．②长方体的长是9.42cm．③长方体的表面积比圆柱表面积增加了30cm2．④长方体的体积是141.3cm3．【考点】几何体的表面积；认识立体图形．【专题】与圆有关的计算；运算能力．【答案】①②③④．【分析】根据圆柱体体积的计算方法，圆周长、圆面积的计算方法进行计算即可．【解答】解：如图，底面周长为18.84cm的底面半径为18.84÷2÷3.14＝3（cm），高为5cm，①按照如图所示的方法切拼成长方体，这个长方体的宽等于圆柱底面圆半径，因此①正确；②由拼图可知，长方体的长相当于圆柱的底面周长的一半，即长方体的长是18.84÷2＝9.42cm，因此②正确；③长方体的表面比圆柱的表面增加了2个长为5cm，宽为3cm的长方形，即长方体的表面积比圆柱表面积增加了5×3×2＝30cm2，因此③正确；④长方体的体积，即圆柱体的体积，V圆柱＝SH＝3.14×32×5＝141.3cm3，因此④正确；综上所述，正确的结论有①②③④，故答案为：①②③④．【点评】本题考查认识立体图形，几何体的表面积，掌握圆周长、圆面积以及圆柱体积、长方体体积的计算方法是正确解答的关键．8．把一根绳子对折成一条线段AB，在线段AB上取一点P，使AP：PB＝1：3，将绳子从点P处剪断，若剪断后的三段绳子中最长的一段为12cm，则三段绳子中最短的一段的长为2或8cm．【考点】两点间的距离；线段的和差．【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力；推理能力．【答案】2或8．【分析】根据题意，一根绳子对折成一条线段AB，则绳子原长为2AB．由题意AP：PB＝1：3，设AP＝xcm，PB＝3xcm，则AB＝4xcm，原绳总长为8xcm．从点P剪断，分成三段，最长的一段为12cm，可分两种对折情况分析：①A为对折重合点；②B为对折重合点，进行解答即可．【解答】解：由题意AP：PB＝1：3，设AP＝xcm，PB＝3xcm，则AB＝4xcm，原绳总长为8xcm．从点P剪断，分成三段，最长的一段为12cm，可分两种对折情况分析：①A为对折重合点，剪断后的三段长度分别为：2AP，PB，PB，即2xcm，3xcm，3xcm，最长段为3xcm，∴3x＝12，解得：x＝4，∴2x＝2×4＝8，∴三段绳子中最短的一段的长为8cm．②B为对折重合点，剪断后的三段长度分别为：AP，AP，2PB，即xcm，xcm，6xcm，最长短为6xcm，∴6x＝12，解得：x＝2，∴三段绳子中最短的一段的长为2cm，综上所述，三段绳子中最短的一段的长为2cm或8cm．故答案为：2或8．【点评】本题考查了两点间的距离，线段的和差，掌握两点间的距离，线段的和差计算是解题的关键．9．如图，小明站在堤岸的A点处，正对他的S点处停有一艘游艇．他沿堤岸走到电线杆B旁，接着再往前走相同的距离，到达C点，然后他向左直行，当看到电线杆与游艇在一条直线上时停下来，此时他位于D点．测得C，D两点的距离是50m，那么A，S两点之间的距离为50m．【考点】两点间的距离．【专题】运算能力．【答案】50．【分析】先根据全等三角形的判定定理证得△ABS≌△CBD，再根据全等三角形的性质定理即可求得结论．【解答】解：在△ABS与△CBD中，∴△ABS≌△CBD（ASA），∴AS＝CD，∵CD＝50m，∴AS＝CD＝50m，故答案为：50．【点评】本题考查的是全等三角形在实际生活中的运用，由全等三角形的判定定理证得△ABS≌△CBD是解决问题的关键．10．七巧板由可以错综分合的案几（即“燕几”）演化而来，它是一种拼板玩具，体现了我国古代劳动人民的智慧．图2是由图1拼成的风车形状，则tan∠ADE＝23【考点】七巧板．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【答案】23【分析】根据七巧板的几何特征及图2所示的风车形状，设图1中正方形的边长为4a，从而求得图2中的相关线段的表达式，进而求得正切值．【解答】解：如图，设题图1中正方形的边长为4a，根据七巧板的性质可得AE=DF=22a，∴DE=DF+EF=32∴tan∠ADE=AE故答案为：23【点评】本题考查七巧板，掌握解直角三角形是解题的关键．三．解答题（共5小题）11．物体平移的速度常用单位时间内移动的距离来表示，如汽车每小时行60千米，物体旋转的速度常用单位时间内转动的圈数或角度来表示，如钟面上的时针每天转2圈，或每小时转30°，分针每小时转1圈或每分钟转6°，还有电风扇每秒转2圈或720°（每秒转2圈，1圈是360°）．我们在科学课中研究过一些简单的机械，下面是一个传送系统，由主动轮、从动轮和传送带组成，可以将货物从B传送到A，主动轮每秒转1圈．（1）观察该系统，如果主动轮顺时针转180°，求从动轮就会逆时针转多少度？（2）这个系统把货物从B传送到A，大约要多少秒？（计算时，圆周率π取3）【考点】钟面角．【专题】与圆有关的计算；几何直观；运算能力．【答案】（1）从动轮就会逆时针转90度；（2）这个系统把货物从B传送到A，大约要20秒．【分析】（1）由图可知，主动轮有12个齿，从动轮有24个齿，根据主动轮与从动轮的齿数比，从而求出转动圈数比，根据比值求出从动轮转动的度数；（2）根据货物从点B运动到点A，经过的长度为18米，从动轮的周长为1.8米，计算出从动轮需要转动10，则主动轮需要转动20圈，又因为主动轮每秒转动1圈，可以求出需要的时间．【解答】解：（1）从图中可以看出主动轮有12个齿轮，从动轮有24个齿轮，∵12：24＝1：2，∴当主动轮转动180°时，从动轮转动的度数应是180°×12故从动轮就会逆时针转90度；（2）从动轮的周长为：π×0.6≈3×0.6＝1.8（米），∴要把货物从B传送到A，从动轮需要转18÷1.8＝10（圈），10÷12∵主动轮每秒转1圈，∴需要20÷1＝20（秒）．故这个系统把货物从B传送到A，大约要20秒．【点评】本题主要考查了圆的周长公式，对于两个互相咬合的从动轮、主动轮，从动轮的齿数×从动轮转的圈数＝主动轮的齿数×主动轮转的圈数．12．如图，已知点C、D是线段AB上的点，AB＝18，AC：BC＝5：4，BD＝3CD．（1）求CD的长；（2）若点E是AD的中点，求CE的长．【考点】两点间的距离．【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；运算能力；推理能力．【答案】（1）2；（2）4．【分析】（1）根据线段的和差倍比关系进行计算即可；（2）根据线段中点的定义以及线段的和差关系进行计算即可．【解答】解：（1）∵AB＝18，AC：BC＝5：4，∴AC＝18×55+4=10，BC＝18∵BD＝3CD．∴CD＝8×11+3（2）∵AD＝AC+CD＝10+2＝12，点E是AD的中点，∴AE＝DE=12AD＝∴CE＝DE﹣CD＝6﹣2＝4．【点评】本题考查两点之间的距离，掌握线段中点的定义以及线段的和差倍比关系是正确解答的关键．13．如图1，已知OM平分∠AOC，OB是∠COM内的一条射线，ON平分∠BOC．【初步应用】（1）如果∠AOB＝80°，∠BOC＝30°，求∠MON的度数；【类比探究】（2）如果∠AOB＝α，∠BOC＝β，求∠MON的度数；【迁移探究】（3）如图2，已知点M是线段AC的中点，点B是线段CM上的一点，点N是线段BC的中点，试判断线段MN与线段AB的数量关系，并说明理由．【考点】角平分线的定义；两点间的距离．【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．【答案】（1）∠MON的度数为40°；（2）∠MON的度数为12α（3）MN=12【分析】（1）根据双角平分线的模型进行计算，即可解答；（2）根据双角平分线的模型进行计算，即可解答；（3）根据双中点模型进行计算，即可解答．【解答】解：（1）因为∠AOB＝80°，∠BOC＝30°，所以∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝80°+30°＝110°，因为OM平分∠AOC，所以∠AOM=∠COM=1因为ON平分∠BOC，所以∠BON=∠CON=1所以∠MON＝∠COM﹣∠CON＝55°﹣15°＝40°，即∠MON的度数为40°；（2）因为∠AOB＝α，∠BOC＝β，所以∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝α+β，因为OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，所以∠MOC=12∠AOC=因为∠MON＝∠MOC﹣∠CON，所以∠MON=1即∠MON的度数为12α（3）MN=1理由如下：因为点M是AC的中点，点N是BC的中点．所以MC=12AC所以MN=MC-NC=1即MN=12【点评】本题考查了角平分线的定义，两点间的距离，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．14．将直角三角板OMN的直角顶点O放在直线AB上，∠BON＝60°，射线OC平分∠AON．（1）求∠AOM的度数；（2）试说明OM平分∠AOC．【考点】余角和补角；角的概念；角平分线的定义．【专题】计算题；运算能力．【答案】（1）∠AOM的度数为30°；（2）证明见解答过程．【分析】（1）∠AOM＝180°﹣∠MON﹣∠BON；（2）先算出∠AON，再算出∠AOC，可得∠AOM与∠AOC的关系，可得OM平分∠AOC．【解答】（1）解：∠AOM＝180°﹣∠MON﹣∠BON＝30°，∴∠AOM的度数为30°；（2）证明：∠AON＝∠AOM+∠MON＝120°，∵射线OC平分∠AON，∴∠AOC=12∠AON＝∵∠AOM＝30°=12∠∴OM平分∠AOC．【点评】本题考查了角的计算，关键是掌握角平分线的性质．15．在数学实践活动课上，励志小组开展了一项关于角度关系的探究活动．他们利用一副直角三角尺（其中∠COD＝90°）进行实验，将直角顶点固定在一条直线AB的点O处，且OE平分∠BOC．通过改变三角尺的放置方式（如图1、图2、图3），他们观察并记录了∠DO