中考数学难题突破之一元二次方程

2027年中考数学复习难题速递之一元二次方程（2026年7月）一．选择题（共10小题）1．南宋数学家秦九韶在其传世名著《数书九章》的“市易”卷中，曾探讨过商贾资本与货物周转的增值问题．书中记载，某丝绸商号在淳熙三年冬至时，用于采买生丝的本金为2000贯；至淳熙五年冬至，因经营有方、丝价上涨，该商号的总资本增至约3200贯．若设这两年间商号本金平均每年的增长率为x，则可列方程（）A．2000（1+x）＝3200 B．2000（1+2x）＝3200 C．2000（1+x）2＝3200 D．2000（1+x2）＝32002．四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝10cm，BC＝16cm．动点M从点B出发，以2cm/s的速度沿边BA，边AD向终点D运动；动点N从点C同时出发，以1cm/s的速度沿边CB向终点B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为ts．当t＝2s时，点M，N的位置如图所示．有下列结论：①当t＝2s时，△BMN的面积是28cm2；②当t＝6s时，四边形MDCN是平行四边形；③当4≤t≤9时，△BMN面积随t值的增大而减小．其中，正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．33．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0满足a﹣b+c＝0，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）A．a﹣2c＝0 B．2a﹣b＝0 C．b+2c＝0 D．a+2c＝04．关于x的一元二次方程x2+kx﹣1＝0的根的情况描述正确的是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．两实数根互为倒数 D．没有实数根5．已知实数a，b满足a2＝2a+5，b2＝2b+5，且a≠b，则下列结论正确的是（）A．a+b＝﹣2 B．ab＝5 C．a2+b2＝14 D．16．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若a﹣b+c＝0，则方程一定有解；②若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；③若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）两根为x1，x2，且满足x1≠x2≠0，则方程cx2+bx+a＝0（c≠0），必有实数根1x1，④若a+c＝0，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实数根；⑤若ab﹣bc＝0，且ac＜-2，则方程ax2+bx+c其中，正确的有几个（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个7．化学是一门以实验为基础的学科．小星在化学老师的帮助下，学会了用高锰酸钾制取氧气的实验，回到班上后，小星教会了x名学习小组长，每名学习小组长又教会了x名组员，这样全班43名学生恰好都学会了这个实验．则根据题意，可列方程为（）A．x2+x＝43 B．x2+x+1＝43 C．（x+1）2＝43 D．x2+1＝438．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2x﹣m＝0的两个实数根，其中x1＝1，则x2的值为（）A．﹣3 B．0 C．1 D．39．一元二次方程x2+5x﹣4＝0的两个实数根为m和n，则代数式m2+n2的值为（）A．17 B．6 C．33 D．2610．方程x2﹣4x+1＝0配方后的形式是（）A．（x﹣2）2＝1 B．（x+2）2＝1 C．（x﹣2）2＝3 D．（x+2）2＝3二．填空题（共5小题）11．某工厂今年一月份的产值为50万元，技术改革后产值逐月增加，三月份的产值达到72万元．设这两个月产值的月平均增长率为x，则x的值为．12．新定义：关于x的一元二次方程a1（x﹣h）2+k＝0与a2（x﹣h）2+k＝0称为“同族二次方程”．如2（x﹣3）2+2＝0与3（x﹣3）2+2＝0是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程2（x﹣1）2+1＝0与（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝0是“同族二次方程”，那么代数式a﹣b的值是．13．若a、b满足a2+b2＝2+ab，则代数式6﹣5ab的范围为．14．若4x2+mx+1＝（2x+n）2，则m+n的值为．15．已知，a、b，c是△ABC的三条边长，且t=(ac)（1）若三角形为等边三角形，则t＝．（2）下列结论正确的是．（写出所有正确结论的序号）①若k＝2，t＝1，则△ABC为直角三角形；②若k＝1，a=12b+2，c＝1，则5＜t③若k＝1，t＜1911，a，b，c为三个连续正整数，且a＜b＜c，则满足条件的△ABC三．解答题（共5小题）16．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根x1，x2，若满足|x1﹣x2|＝1，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题：（1）下列是“差根方程”的是；（填写序号）①x2﹣x＝0；②x2﹣4x﹣5＝0．（2）已知关于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，求a的值；（3）已知△ABC是直角三角形，斜边BC的长为7，若△ABC的两边AB、AC的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”．17．如图1，在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，点P从点A出发，沿折线AC﹣CB﹣BA以每秒4个单位的速度向终点A运动，同时点Q从点C出发，沿CB以每秒1个单位的速度向终点B运动．设点Q的运动时间为t秒．（1）若∠ACB＝90°，（a﹣6）2+|3a﹣2b﹣2|＝0．①a＝，b＝；②当2＜t＜3时，若S△APQ＝2，求t的值．（2）如图2，当点P运动到线段AB上，AQ与CP交于点D，若AQ为BC边上的中线，AP＝4BP，S△APQ＝18，请直接写出△PQD的面积．18．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克按50元销售，一个月能售出500千克，如果销售单价每千克涨1元，则月销售量就减少10千克，针对这种水产品销售情况，请解答以下问题：（1）设销售单价为每千克x元（x＞50），月销售利润为y元，用含x的式子表示y＝（直接写出）；（2）为了尽快减少库存，并且使得月销售利润正好达到8000元，销售单价应为多少元？19．对于任意正实数a，b，因为(a-b)2≥0，所以（1）当a＝b时，比较大小：a+b2ab（2）当x＞0时，x+3x有最小值，此时x＝（3）请用你探究的结论，求x220．某连锁超市销售一种进价为40元/千克的水果，销售时该水果销售单价不低于进价且不高于70元，经过市场调研发现，日销售量y（千克）与售价x（元）满足如图所示的一次函数关系．（1）根据上述信息，求出y与x之间的函数关系式（不需要写出x的范围）；（2）超市要想每天获得2100元的销售利润，售价应定为多少元？（3）当每日购进这种水果的总进价不超过3840元时，通过计算说明每天能否获得2500元的销售利润？

2027年中考数学复习难题速递之一元二次方程（2026年7月）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案CDBACCBACC一．选择题（共10小题）1．南宋数学家秦九韶在其传世名著《数书九章》的“市易”卷中，曾探讨过商贾资本与货物周转的增值问题．书中记载，某丝绸商号在淳熙三年冬至时，用于采买生丝的本金为2000贯；至淳熙五年冬至，因经营有方、丝价上涨，该商号的总资本增至约3200贯．若设这两年间商号本金平均每年的增长率为x，则可列方程（）A．2000（1+x）＝3200 B．2000（1+2x）＝3200 C．2000（1+x）2＝3200 D．2000（1+x2）＝3200【考点】由实际问题抽象出一元二次方程；数学常识．【专题】一元二次方程及应用；运算能力．【答案】C【分析】根据淳熙三年冬至时的总资本×（1+平均年增长率）2＝淳熙五年冬至的总资本，列出方程即可．【解答】解：依题意得：2000（1+x）2＝3200．故选：C．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．2．四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝10cm，BC＝16cm．动点M从点B出发，以2cm/s的速度沿边BA，边AD向终点D运动；动点N从点C同时出发，以1cm/s的速度沿边CB向终点B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为ts．当t＝2s时，点M，N的位置如图所示．有下列结论：①当t＝2s时，△BMN的面积是28cm2；②当t＝6s时，四边形MDCN是平行四边形；③当4≤t≤9时，△BMN面积随t值的增大而减小．其中，正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】一元二次方程的应用；平行线之间的距离；平行四边形的判定与性质．【专题】一元二次方程及应用；线段、角、相交线与平行线；多边形与平行四边形；推理能力．【答案】D【分析】①当t＝2s时，点M在AB上，求出BM，BN，可判断①；②当t＝6s时，点M在AD上，求出DM，CN，可判断②；③当4≤t≤9时，点M在AD上，求出△BMN的面积关于t的关系式，可判断③．【解答】解：根据题意得：点M在AB上的运动时间为82=4s，点M在AD上的运动时间为102=5s，点N在CB①当t＝2s时，点M在AB上，此时BM＝2×2＝4cm，CN＝2×1＝2cm，∴BN＝16﹣2＝14cm，∴S△BMN=1②当t＝6s时，点M在AD上，此时AM＝2×6﹣8＝4cm，CN＝6cm，∴DM＝AD﹣AM＝6cm，∴CN＝DM，∵AD∥BC，∴四边形MDCN是平行四边形，所以结论②正确；③当4≤t≤9时，点M在AD上，∵CN＝tcm，∴BN＝（16﹣t）cm，∵AD∥BC，∠B＝90°，∴∠A＝180°﹣∠B＝180°﹣90°＝90°，即AB⊥AD，∴S△BMN∵﹣4＜0，∴△BMN面积随t值的增大而减小，所以结论③正确．综上可知，正确结论有：①②③，共3个，所以只有选项D正确，符合题意，故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，平行四边形的判定与性质，平行线之间的距离，关键是根据题意找到关系式．3．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0满足a﹣b+c＝0，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）A．a﹣2c＝0 B．2a﹣b＝0 C．b+2c＝0 D．a+2c＝0【考点】根的判别式；一元二次方程的解．【专题】一元二次方程及应用；运算能力．【答案】B【分析】先得出a≠0、方程根的判别式Δ＝b2﹣4ac＝0，再得出a＝c，据此逐项判断即可．【解答】解：由条件可知a≠0，其根的判别式Δ＝b2﹣4ac＝0，∵a﹣b+c＝0，∴b＝a+c，∴（a+c）2﹣4ac＝0，整理得：（a﹣c）2＝0，∴a＝c，∴b＝a+a＝2a，即2a﹣b＝0，则选项B正确；假设a﹣2c＝0成立，则a﹣2a＝0，解得a＝0，与a≠0矛盾，则假设不成立，选项A错误；假设b+2c＝0成立，则2a+2a＝0，解得a＝0，与a≠0矛盾，则假设不成立，选项C错误；假设a+2c＝0成立，则a+2a＝0，解得a＝0，与a≠0矛盾，则假设不成立，选项D错误．故选：B．【点评】本题考查了根的判别式，熟练掌握该知识点是关键．4．关于x的一元二次方程x2+kx﹣1＝0的根的情况描述正确的是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．两实数根互为倒数 D．没有实数根【考点】根与系数的关系；根的判别式．【专题】一元二次方程及应用；运算能力．【答案】A【分析】根据根的判别式及根与系数的关系逐项分析判断即可．【解答】解：∵a＝1，b＝k，c＝﹣1，∴Δ＝b2﹣4ac＝k2﹣4×1×（﹣1）＝k2+4，∵对任意实数k，都有k2≥0，∴Δ＝k2+4＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故A正确，B，D错误；∵方程两根的乘积为ca=-1，可知两实数根互为负倒数，不是互为倒数，故故选：A．【点评】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键．5．已知实数a，b满足a2＝2a+5，b2＝2b+5，且a≠b，则下列结论正确的是（）A．a+b＝﹣2 B．ab＝5 C．a2+b2＝14 D．1【考点】根与系数的关系．【专题】一元二次方程及应用；运算能力．【答案】C【分析】根据题意可知，实数a，b满足x2﹣2x﹣5＝0，根据根与系数的关系得到a+b＝2、ab＝﹣5，据此逐项判断即可．【解答】解：设实数a，b满足x2﹣2x﹣5＝0，由根与系数关系得：a+b=--21=2、ab＝故A、B选项错误；a2+b2＝2a+5+2b+5＝2（a+b）+10＝2×2+10＝14，故C选项正确；1a故D选项错误．故选：C．【点评】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键．6．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若a﹣b+c＝0，则方程一定有解；②若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；③若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）两根为x1，x2，且满足x1≠x2≠0，则方程cx2+bx+a＝0（c≠0），必有实数根1x1，④若a+c＝0，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实数根；⑤若ab﹣bc＝0，且ac＜-2，则方程ax2+bx+c其中，正确的有几个（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解；根的判别式．【专题】一元二次方程及应用；运算能力．【答案】C【分析】利用一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，对所给说法依次进行判断即可．【解答】解：由题知，因为a﹣b+c＝0，所以x＝﹣1是方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解，则此方程一定有解，故①正确；因为c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则ac2+bc+c＝0，所以c（ac+b+1）＝0，所以c＝0或ac+b+1＝0，故②错误；因为若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）两根为x1，x2，且满足x1≠x2≠0，则方程两边都除以x2得，c(1所以方程cx2+bx+a＝0（c≠0）必有实数根1x1，故③正确；因为a+c＝0，则c＝﹣a，所以由方程ax2+bx+c＝0得，Δ＝b2﹣4ac＝b2+4a2＞0，所以方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实数根，故④正确；因为ab﹣bc＝0，则b（a﹣c）＝0，所以b＝0或a﹣c＝0．又因为ac所以a﹣c≠0，则b＝0．由方程ax2+bx+c＝0得，Δ＝b2﹣4ac＞0，所以此方程有两个不相等的实数根．令该方程的两个实数根为m和n，则m+n=-b所以方程ax2+bx+c＝0的两实数一定互为相反数，故⑤正确．故选：C．【点评】本题主要考查了根与系数的关系、根的判别式及一元二次方程的解，熟知一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．7．化学是一门以实验为基础的学科．小星在化学老师的帮助下，学会了用高锰酸钾制取氧气的实验，回到班上后，小星教会了x名学习小组长，每名学习小组长又教会了x名组员，这样全班43名学生恰好都学会了这个实验．则根据题意，可列方程为（）A．x2+x＝43 B．x2+x+1＝43 C．（x+1）2＝43 D．x2+1＝43【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】一元二次方程及应用；运算能力．【答案】B【分析】根据题意，总学会人数包括小星本人、x名小组长和x2名组员，总和为43，由此列出方程．【解答】解：小星教会了x名学习小组长，每名学习小组长又教会了x名组员，根据题意可知做实验的学生人数为（1+x+x2）名，而全班有43名学生，则x2+x+1＝43，故选：B．【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确进行计算是解题关键．8．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2x﹣m＝0的两个实数根，其中x1＝1，则x2的值为（）A．﹣3 B．0 C．1 D．3【考点】根与系数的关系．【专题】一元二次方程及应用；运算能力．【答案】A【分析】可利用一元二次方程根的定义，先将已知根代入方程求出参数m，再因式分解求解方程得到另一根，所用方法均为初中数学解一元二次方程的基础方法．【解答】解：将x＝1代入方程得12+2×1﹣m＝0，解得m＝3，∴原方程为x2+2x﹣3＝0，对方程左边因式分解得（x﹣1）（x+3）＝0，解得x1＝1，x2＝﹣3．∴x2的值为﹣3．故选：A．【点评】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键．9．一元二次方程x2+5x﹣4＝0的两个实数根为m和n，则代数式m2+n2的值为（）A．17 B．6 C．33 D．26【考点】根与系数的关系；代数式求值．【专题】一元二次方程及应用；运算能力．【答案】C【分析】利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再通过完全平方公式的变形计算代数式的值．【解答】解：由根与系数的关系得m+n=-51=-5又∵（m+n）2﹣2mn，∴m2+n2＝（﹣5）2﹣2×（﹣4）＝25+8＝33．故选：C．【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用完全平方公式的变形求值，解题的关键是掌握以上知识点．10．方程x2﹣4x+1＝0配方后的形式是（）A．（x﹣2）2＝1 B．（x+2）2＝1 C．（x﹣2）2＝3 D．（x+2）2＝3【考点】解一元二次方程﹣配方法．【专题】一元二次方程及应用；运算能力．【答案】C【分析】把常数项移项后，在左右两边同时加上一次项系数一半的平方即可．【解答】解：x2﹣4x+1＝0，x2﹣4x＝﹣1，x2﹣4x+4＝﹣1+4（x﹣2）2＝3．故选：C．【点评】本题考查了用配方法解一元二次方程，熟知配方法的一般步骤是解题的关键．二．填空题（共5小题）11．某工厂今年一月份的产值为50万元，技术改革后产值逐月增加，三月份的产值达到72万元．设这两个月产值的月平均增长率为x，则x的值为20%．【考点】一元二次方程的应用．【专题】一元二次方程及应用；运算能力．【答案】20%．【分析】设这两个月产值的月平均增长率为x，根据题意得到二月份的产值为50（1+x）万元，三月份的产值为50（1+x）2，进而列出方程求解即可．【解答】解：设这两个月产值的月平均增长率为x，根据题意列一元二次方程得，50（1+x）2＝72，整理得，50x2+100x﹣22＝0，解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去），答：x值为20%，故答案为：20%．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到关系式．12．新定义：关于x的一元二次方程a1（x﹣h）2+k＝0与a2（x﹣h）2+k＝0称为“同族二次方程”．如2（x﹣3）2+2＝0与3（x﹣3）2+2＝0是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程2（x﹣1）2+1＝0与（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝0是“同族二次方程”，那么代数式a﹣b的值是15．【考点】一元二次方程的定义；单项式乘多项式．【专题】新定义；创新意识．【答案】15．【分析】根据“同族二次方程”的定义得到（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝（a+2）（x﹣1）2+1，进而可得方程组-2(a+2)=b-4a+2+1=8【解答】解：∵2（x﹣1）2+1＝0与（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝0是“同族二次方程”，∴（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝（a+2）（x﹣1）2+1，∴（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝（a+2）x2﹣2（a+2）x+a+2+1，∴-2(a+2)=b-4a+2+1=8解得a=5b=-10∴a﹣b＝5﹣（﹣10）＝5+10＝15．故答案为：15．【点评】本题主要考查了一元二次方程的知识、二元一次方程组的知识、代数式求值的知识，难度不大．解题关键是列出二元一次方程组．13．若a、b满足a2+b2＝2+ab，则代数式6﹣5ab的范围为-4≤6-5ab≤283【考点】配方法的应用．【专题】配方法；运算能力．【答案】-4≤6-5ab≤28【分析】利用完全平方的非负性，结合已知等式推导ab的取值范围，再根据不等式的性质求出代数式6﹣5ab的范围．【解答】解：∵任意实数a，b满足（a﹣b）2≥0，展开得a2﹣2ab+b2≥0，整理得a2+b2≥2ab，将已知a2+b2＝2+ab代入不等式得2+ab≥2ab，解得ab≤2；又∵（a+b）2≥0，展开得a2+2ab+b2≥0，整理得a2+b2≥﹣2ab，将a2+b2＝2+ab代入不等式得2+ab≥﹣2ab，移项合并得3ab≥﹣2，解得ab≥-2综上可得-2-10≤-5ab≤106-10≤6-5ab≤6+10即-4≤6-5ab≤28故答案为：-4≤6-5ab≤28【点评】本题考查配方法的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．14．若4x2+mx+1＝（2x+n）2，则m+n的值为±5．【考点】配方法的应用；因式分解﹣运用公式法．【专题】配方法；运算能力．【答案】±5．【分析】先把完全平方公式展开，列方程求解．【解答】解：∵4x2+mx+1＝（2x+n）2＝4x2+4nx+n2，∴m＝4n，n2＝1，∴n＝1，m＝4或n＝﹣1，m＝﹣4，∴m+n＝5或﹣5，故答案为：±5．【点评】本题考查了配方法份应用，掌握完全平方公式是解题的关键．15．已知，a、b，c是△ABC的三条边长，且t=(ac)（1）若三角形为等边三角形，则t＝2．（2）下列结论正确的是①②③．（写出所有正确结论的序号）①若k＝2，t＝1，则△ABC为直角三角形；②若k＝1，a=12b+2，c＝1，则5＜t③若k＝1，t＜1911，a，b，c为三个连续正整数，且a＜b＜c，则满足条件的△ABC【考点】一元二次方程的应用；三角形三边关系；等边三角形的性质；勾股定理．【专题】一元二次方程及应用；运算能力．【答案】（1）2；（2）①②③．【分析】（1）根据等边三角形的性质可得a＝b＝c，据此求解即可；（2）当k＝2，t＝1时，可证明a2+b2＝c2，由勾股定理的逆定理可判断①；当k＝1，a=12b+2，c＝1时，根据三角形三边关系可得a+c＞bb+c＞a，进而得到12b+2+1＞bb+1＞12b+2，求出2＜b＜6；求出t=32b+2，据此求出t的取值范围即可判断②；当k＝1时，则t=a+b【解答】解：（1）已知，a、b，c是△ABC的三条边长，且t=(ac)由题意可得：a＝b＝c，∴t=＝1k+1k＝1+1＝2；（2）①当k＝2，t＝1时，∵t=(∴(a∴a2∴a2+b2＝c2，∴△ABC为直角三角形，故①正确；②当k＝1，a=12b+2，c∵a+c＞∴12∴2＜b＜6；∵t=(∴t=1∴t随b的增大而增大，当b＝2时，t＝5，当b＝6时，t＝11，∴5＜t＜11，故②正确；③当k＝1时，则t=(∵t＜∴a+bc∴a+b＜∵a、b、c是三个相邻的正整数，a＜b＜c，∴不妨设c＝n+2，则剩下两个数分别为n，n+1（n为正整数），∵c＜∴n+2＜解得1＜n＜9，∴符合题意的n的值有2、3、4、5、6、7、8共7个，∴符合题意的a、b、c的取值一共有7组，∴满足条件的△ABC的个数为7，故③正确；故答案为：①②③．【点评】本题考查一元二次方程，正确进行计算是解题关键．三．解答题（共5小题）16．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根x1，x2，若满足|x1﹣x2|＝1，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题：（1）下列是“差根方程”的是①；（填写序号）①x2﹣x＝0；②x2﹣4x﹣5＝0．（2）已知关于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，求a的值；（3）已知△ABC是直角三角形，斜边BC的长为7，若△ABC的两边AB、AC的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”．【考点】根与系数的关系；勾股定理；一元二次方程的一般形式；根的判别式．【专题】一元二次方程及应用；运算能力．【答案】（1）①；（2）a=±1（3）x2【分析】（1）根据所给“差根方程”的定义进行判断即可；（2）根据所给“差根方程”的定义进行计算即可；（3）根据所给“差根方程”的定义及一元二次方程根与系数的关系进行计算即可．【解答】解：（1）解方程①得，x1＝0，x2＝1．因为|1﹣0|＝1，所以方程①符合题意；解方程②得，x1＝﹣1，x2＝5．因为|﹣1﹣5|＝6≠1，所以方程②不符合题意，故答案为：①；（2）由x2+2ax＝0得，x1＝0，x2＝﹣2a．因为此方程为“差根方程”，所以|﹣2a﹣0|＝1，解得a=±1（3）令AB＝m，AC＝n，则m2+n2＝BC2＝7．又因为|m﹣n|＝1，则（m﹣n）2＝1，所以m2+n2﹣2mn＝1，则mn＝3．因为（m+n）2＝m2+n2+2mn＝7+6＝13，所以m+n=13所以这个“差根方程”为x2【点评】本题主要考查了根与系数的关系、一元二次方程的一般形式、根的判别式及勾股定理，理解所给定义及熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．17．如图1，在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，点P从点A出发，沿折线AC﹣CB﹣BA以每秒4个单位的速度向终点A运动，同时点Q从点C出发，沿CB以每秒1个单位的速度向终点B运动．设点Q的运动时间为t秒．（1）若∠ACB＝90°，（a﹣6）2+|3a﹣2b﹣2|＝0．①a＝6，b＝8；②当2＜t＜3时，若S△APQ＝2，求t的值．（2）如图2，当点P运动到线段AB上，AQ与CP交于点D，若AQ为BC边上的中线，AP＝4BP，S△APQ＝18，请直接写出△PQD的面积．【考点】一元二次方程的应用；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．【专题】一元二次方程及应用；运算能力．【答案】（1）①6，8；②t=52或（2）2．【分析】（1）①根据非负性进行求解即可；②确定P，Q的位置，根据三角形的面积公式，列出方程进行求解即可；（2）根据同高三角形的面积比等于底边比，三角形的中线平分面积进行求解即可．【解答】解：（1）①∵（a﹣6）2+|3a﹣2b﹣2|＝0，∴根据非负数的性质得，a﹣6＝0，3a﹣2b﹣2＝0，解得a＝6，b＝8，故答案为：6，8；②∵a＝6，b＝8，点P从点A出发，沿折线AC﹣CB﹣BA以每秒4个单位的速度向终点A运动，∴点P运动到点C所需时间为8÷4＝2（秒），运动到点B所需时间为（6+8）÷4＝14÷4＝3.5（秒），∴当2＜t＜3，此时点P在边BC上，∴CP＝4t﹣8，∵点Q从点C出发，沿CB以每秒1个单位的速度向终点B运动，∴CQ＝t，∴PQ＝|4t﹣8﹣t|＝|3t﹣8|，∵∠ACB＝90°，S△APQ＝2，∴根据三角形的面积公式得，12解得t=52或所以t的值为t=52或（2）∵AP＝4BP，S△APQ＝18，∴S△BPQ∴S△ABQ＝18+4.5＝22.5，∵AQ为BC边上的中线，∴S△ACQ＝S△ABQ＝22.5，S△ABC＝2S△ABQ＝45，S△BCP＝2S△BPQ＝9，∴S△ACP＝S△ABC﹣S△BCP＝45﹣9＝36，设△PQD的面积为x，则S△APD＝S△APQ﹣S△PDQ＝18﹣x，∴S△ACD＝S△APC﹣S△PDA＝36﹣18+x＝18+x，∵S△ACD∴18+x22.5解得x＝2，∴△PQD的面积为2．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，非负数的性质，关键是根据题意找到关系式．18．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克按50元销售，一个月能售出500千克，如果销售单价每千克涨1元，则月销售量就减少10千克，针对这种水产品销售情况，请解答以下问题：（1）设销售单价为每千克x元（x＞50），月销售利润为y元，用含x的式子表示y＝﹣10x2+1400x﹣40000（直接写出）；（2）为了尽快减少库存，并且使得月销售利润正好达到8000元，销售单价应为多少元？【考点】一元二次方程的应用；列代数式．【专题】整式；一元二次方程及应用；应用意识．【答案】（1）﹣10x2+1400x﹣40000；（2）销售单价应为每千克60元．【分析】（1）设销售单价为每千克x元（x＞50），月销售利润为y元，则每千克的销售利润为（x﹣40）元，月销售量为（1000﹣10x）千克，利用月销售利润＝每千克的销售利润×月销售量，即可用含x的代数式表示出y的值；（2）根据月销售利润为8000元，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，结合要尽快减少库存，即可确定结论．【解答】解：（1）设销售单价为每千克x元（x＞50），月销售利润为y元，则每千克的销售利润为（x﹣40）元，月销售量为500﹣10（x﹣50）＝（1000﹣10x）千克，根据题意得：y＝（x﹣40）（1000﹣10x）＝﹣10x2+1400x﹣40000．故答案为：﹣10x2+1400x﹣40000；（2）根据题意得：﹣10x2+1400x﹣40000＝8000，整理得：x2﹣140x+4800＝0，解得：x1＝60，x2＝80，又∵要尽快减少库存，∴x＝60．答：销售单价应为每千克60元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出y的值；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．19．对于任意正实数a，b，因为(a-b)2≥0，所以（1）当a＝b时，比较大小：a+b＝2ab（2）当x＞0时，x+3x有最小值23，此时x＝3（3）请用你探究的结论，求x2【考点】配方法的应用；非负数的性质：偶次方．【专题】配方法；运算能力．【答案】（1）＝；（2）23（3）23-1【分析】（1