中考数学难题突破之一元一次方程

2027年中考数学复习难题速递之一元一次方程（2026年7月）一．选择题（共8小题）1．“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．”（出自《九章算术》）意思是：同样时间段内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步．“不善行者先行一百步，善行者追之，不善行者再行六百步，问孰至于前，两者几何步隔之？”即：走路慢的人先走100步，走路快的人开始追赶，当走路慢的人再走600步时，假定两者步长相等，则两人相隔的步数为（）A．250 B．300 C．350 D．4002．有甲、乙两家汽车销售公司，甲公司“五一黄金周”销售了24辆A型汽车，______，问乙公司“五一黄金周”销售了A型汽车多少辆？如果设乙公司销售了A型汽车x辆，解决这个问题列出的方程为“x+20%x＝24”，则横线上的信息是（）A．甲公司销售A型汽车的数量比乙公司减少20% B．甲公司销售A型汽车的数量比乙公司增加20% C．乙公司销售A型汽车的数量比甲公司减少20% D．乙公司销售A型汽车的数量比甲公司增加20%3．某游泳馆在每年的夏季推出两种游泳付费方式．方式一：先购买会员证，每张会员证200元，只限本人当年使用，凭证游泳每次再付费10元；方式二：不购买会员证，每次游泳付费20元，有下列结论：①若小明计划今年夏季游泳的总费用为300元，则他选择方式一游泳的次数比较多；②若小明计划今年夏季游泳的次数为25次，则他选择方式二游泳的总费用比较少；③若小明今年夏季在该游泳馆游泳，两种付费方式的总费用相同，则他计划游泳的次数为20．其中，正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．34．《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问甲、乙持钱各几何？”大意是：甲、乙两人不知有多少钱．若甲得到乙钱数的一半，则甲有50钱；若乙得到甲钱数的23，则乙也有50钱．问甲、乙各有多少钱？设甲有x钱，则根据题意列方程（A．2(50-x)+23x=50 BC．(50-x)+23x=50 5．在一副三角尺中∠BPA＝45°，∠CPD＝60°，∠B＝∠C＝90°，将它们按如图所示摆放在量角器上，边PD与量角器的0°刻度线重合，边AP与量角器的180°刻度线重合．将三角尺PCD绕点P以每秒3°的速度逆时针旋转，同时三角尺ABP绕点P以每秒2°的速度顺时针旋转，当三角尺PCD的PC边与180°刻度线重合时两块三角尺都停止运动．当三角尺PCD的边与PB平行时，运动时间为（）秒．A．39 B．36 C．34 D．336．杨老师带七（1）班的同学外出参加社会实践活动，在分配房间时发现如果4人住1间，结果有2人没有房间住；如果5人住一间，最后一间未住满，还差3人．问：杨老师总共带了多少名学生参加这次活动？设共有x个房间，依题意列方程得（）A．5（x﹣3）＝4（x+2） B．5x+3＝4x﹣2 C．5（x+3）＝4（x+2） D．5x﹣3＝4x+27．如图，矩形ABCD内有3个边长为5的小正方形，小正方形的顶点均落在矩形ABCD的边上，其中顶点E落在AB的中点处，则矩形ABCD的面积为（）A．150 B．172 C．125 D．1368．下列是一元一次方程的是（）A．x≠0 B．2（x﹣3）＝3x C．3x+2y＝7 D．x-1=二．填空题（共6小题）9．一种水稻磨米机的进料漏斗由圆柱和圆锥两部分组成，圆柱和圆锥的底面直径都是4dm，圆柱高2dm，圆锥高4.2dm．每立方分米稻谷大约重0.64kg，稻谷的出米率是70%，下列四个结论：①若将圆锥的高增加1.8dm，圆柱的高减少1dm，漏斗的总体积不变；②该漏斗装满稻谷时，稻谷的总质量约为27kg，按70%的出米率计算，大约能磨出18.9kg大米；③若用一个与该漏斗等底，高为6.2dm的圆柱形容器装稻谷，它的体积是漏斗总体积的1.5倍；④若将漏斗的底面直径扩大到原来的2倍，高不变，那么能装的稻谷质量会扩大到原来的4倍．其中正确结论的序号是．10．如图，AB，CD是长为8厘米的两根小木棍，它们互相重合（点A与点C重合，点B与点D重合），现将AB沿直线l向左平移k厘米，将CD沿直线l向右平移2k厘米，当B，C是线段AD的三等分点时，k的值为．11．一列火车正在匀速行驶，它先用26秒的时间通过了长256米的隧道甲（即从火车头进入入口到车尾离开出口），又用16秒的时间通过了长96米的隧道乙．则下列结论：①这列火车长160米．②这列火车的行驶速度为每秒16米．③若保持原速度不变，则这列火车通过长160米的隧道丙需用时10秒．④若速度变为原速度的两倍，则这列火车通过隧道甲的时间将变为原来的一半．其中正确的结论是．（填写所有正确结论的序号）12．对于x，符号[x]表示不大于x的最大整数，如：[5.28]＝5，[﹣3.14]＝﹣4，则满足[2x-53]=4的x的整数解是13．甲、乙两个图书馆各有一批数学类藏书．若从甲馆调数学类藏书90本到乙馆，此时乙馆数学类藏书是甲馆的2倍；若从乙馆调数学类藏书若干本到甲馆，此时甲馆数学类藏书是乙馆的3倍．则甲图书馆原有数学类藏书最少本．14．如图，将一副三角板按如图方式摆放，使点A、O、D三点共线，点O、B、C三点共线．若△OAB以7°/s的速度绕点O顺时针旋转半周，同时△OCD以2°/s的速度绕点O逆时针旋转，且当△OAB停止运动时，△OCD也随之停止运动，设运动时间为ts，则当t＝时，直线AB与直线CD互相垂直．三．解答题（共6小题）15．在一次机器人跑步比赛中，自主导航机器人（以下称A类机器人）与遥控机器人（以下称B类机器人）在同一赛道比赛，统一排名．为鼓励自主导航技术研发，主办方制定了以下计算完赛成绩的规则：•A类机器人的完赛成绩为从起点跑到终点的时间（包含途中维护时间）；•B类机器人的完赛成绩为从起点跑到终点的时间（包含途中维护时间）的1.2倍．已知比赛中，一台A类机器人全程保持匀速，途中没有维护，完赛成绩为60min；一台B类机器人起跑后，前25min保持匀速，速度是这台A类机器人的1.1倍，之后原地维护10min，维护后匀速跑至终点，速度比维护前增加了70m/min，完赛成绩为72min．求这台A类机器人的速度和此次比赛从起点到终点的路程．16．我市计划将某区域打造为特色文旅商业街区，目前一期工程已基本竣工，即将启动道路硬化施工．该工程由甲队单独完成需要24天，由乙队单独完成需要32天．现甲、乙两队合作施工一段时间后，甲队另有任务离开，剩下的工程由乙队单独完成，乙队单独完成剩余工程的时间比两队合作施工的时间少8天．（1）求甲、乙两队合作施工的时间；（2）施工完成后，两队共获得工程款45万元，若按每队完成的工程总量进行分配，甲、乙两队各应获得工程款多少万元？17．先阅读下列解题过程，然后解答问题：解方程：|2x+3|＝5．解：当2x+3≥0时，原方程可化为2x+3＝5，解得x＝1；把x＝1代入2x+3得：2×1+3＞0，成立；当2x+3＜0时，原方程可化为2x+3＝﹣5，解得x＝﹣4．把x＝﹣4代入2x+3得：2×（﹣4）+3＜0，成立；∴原方程的解为x＝1或x＝﹣4．灵活运用上面的解题方法解下列方程：（1）解方程|3x﹣1|＝8；（2）解方程|2x﹣1|＝3x﹣5．18．近几年，黑龙江冰雪旅游热度持续升高．据有关部门统计，2026年春节“黄金周”哈尔滨市接待游客总数约为13663000人次，旅游人数的增加促进了当地的餐饮、住宿、交通等经济的提升，同时也促进了旅游文创产品工艺的发展．为了生产文创产品，某工厂需要购进A、B两种生产原料，若该工厂第一批购进A种原料84吨，并且购进A种原料吨数比购进B种原料吨数的56多4（1）求该工厂第一批购进B种原料多少吨？（2）已知每吨A种原料进货价格与每吨B种原料进货价格的比为4：3，若干天后，该厂再次采购A种原料和B种原料共花费72000元，若第二批采购的A种原料吨数是第一批A种原料吨数的50%，B种原料吨数比第一批B种原料吨数少了13，求每吨A（3）在（2）中两种原料的进货单价都不变的情况下，第三次采购计划如下：①A种原料和B种原料共采购240吨；②A种原料吨数比B种原料吨数的70%多2吨．并且第三次采购时供应商给出甲、乙、丙三种优惠方案：甲方案：总费用每满8000元减1200元，不满8000元不减；乙方案：每购进7吨B种原料则赠送2吨A种原料，不满7吨不送；丙方案：总货款前50000元打9折，50000至100000的部分打8折，100000到150000的部分打7折，150000以上的部分打6折．问第三批采购选择哪种方案总花费最少？请通过计算说明．19．如图1，点A，B在数轴上（B在A左侧），点A表示的数为8．甲从点A出发，以2个单位长度/秒的速度向目的地B匀速运动，同时，乙从点B出发，向目的地A匀速运动．当甲、乙第一次相距5个单位长度时，甲立即静止，乙保持原速度继续运动；当甲、乙相遇时，乙立即静止，甲则保持原速度继续运动；从相遇时刻起1秒后，甲、乙均保持原速度继续运动，当甲、乙均到达目的地后，则停止计时．已知甲、乙间的距离y与运动时间t（s）之间的关系如图2．请解答以下问题：（1）点B在数轴上表示的数为，乙的速度为个单位长度/秒；（2）图2中a的值为，b的值为；（3）当甲、乙相距8个单位长度时，求t的值；（4）分别求出甲、乙到达目的地需要的时间．20．如图是一种空心混凝土管道，它的内径d＝3.2dm，外径D＝3.8dm，长度为L．（1）计算浇制一节L＝20dm的管道需要多少立方分米的混凝土（结果保留π）；（2）现浇制了10节与上述内径、外径相同，长度分别为20dm、40dm的两种管道，所用混凝土总体积为336πdm3，求浇制两种长度的管道各多少节？

2027年中考数学复习难题速递之一元一次方程（2026年7月）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案BBBADDAB一．选择题（共8小题）1．“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．”（出自《九章算术》）意思是：同样时间段内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步．“不善行者先行一百步，善行者追之，不善行者再行六百步，问孰至于前，两者几何步隔之？”即：走路慢的人先走100步，走路快的人开始追赶，当走路慢的人再走600步时，假定两者步长相等，则两人相隔的步数为（）A．250 B．300 C．350 D．400【考点】一元一次方程的应用；数学常识．【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．【答案】B【分析】设当走路慢的人再走600步时，走路快的人的走x步，根据同样时间段内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步，列方程求解即可．【解答】解：设当走路慢的人再走600步时，走路快的人的走x步，由题意得：x：600＝100：60，∴x＝1000，∴1000﹣600﹣100＝300，答：当走路慢的人再走600步时，走路快的人在前面，两人相隔300步；故选：B．【点评】本题考查了应用一元一次方程求解古代行程数学问题，列式计算，关键是根据题意抓住等量关系列出方程．2．有甲、乙两家汽车销售公司，甲公司“五一黄金周”销售了24辆A型汽车，______，问乙公司“五一黄金周”销售了A型汽车多少辆？如果设乙公司销售了A型汽车x辆，解决这个问题列出的方程为“x+20%x＝24”，则横线上的信息是（）A．甲公司销售A型汽车的数量比乙公司减少20% B．甲公司销售A型汽车的数量比乙公司增加20% C．乙公司销售A型汽车的数量比甲公司减少20% D．乙公司销售A型汽车的数量比甲公司增加20%【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．【答案】B【分析】根据甲公司“五一黄金周”销售了24辆A型汽车，结合列出的方程，可以得到横线上的信息．【解答】解：根据题意，横线上的信息是甲公司销售A型汽车的数量比乙公司增加20%．故选：B．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确理解题意是解题的关键．3．某游泳馆在每年的夏季推出两种游泳付费方式．方式一：先购买会员证，每张会员证200元，只限本人当年使用，凭证游泳每次再付费10元；方式二：不购买会员证，每次游泳付费20元，有下列结论：①若小明计划今年夏季游泳的总费用为300元，则他选择方式一游泳的次数比较多；②若小明计划今年夏季游泳的次数为25次，则他选择方式二游泳的总费用比较少；③若小明今年夏季在该游泳馆游泳，两种付费方式的总费用相同，则他计划游泳的次数为20．其中，正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】一元一次方程的应用．【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．【答案】B【分析】通过建立方程比较两种付费方式在不同条件下的总费用或次数，逐一验证各结论的正确性即可．【解答】解：①设方式一的游泳次数为x次，则总费用为：200+10x＝300，解得x＝10；方式二的次数为：300÷20＝15（次），∵10＜15，故结论①错误；②游泳25次时，方式一总费用为：200+10×25＝450（元）；方式二为：20×25＝500（元），∵450＜500，故结论②错误；③设游泳次数为y次，依题意得：200+10y＝20y，解得y＝20，∵此时两种方式费用相等，∴结论③正确，综上所述，正确结论为③，共1个，故选：B．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键找准等量关系，列出一元一次方程．4．《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问甲、乙持钱各几何？”大意是：甲、乙两人不知有多少钱．若甲得到乙钱数的一半，则甲有50钱；若乙得到甲钱数的23，则乙也有50钱．问甲、乙各有多少钱？设甲有x钱，则根据题意列方程（A．2(50-x)+23x=50 BC．(50-x)+23x=50 【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．【答案】A【分析】设甲有x钱，根据甲得到乙钱数的一半，则甲有50钱可知乙有2（50﹣x）钱，再根据乙得到甲钱数的23，则乙也有50【解答】解：根据题意可得：2(50-x)+2故选：A．【点评】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，理解题意是关键．5．在一副三角尺中∠BPA＝45°，∠CPD＝60°，∠B＝∠C＝90°，将它们按如图所示摆放在量角器上，边PD与量角器的0°刻度线重合，边AP与量角器的180°刻度线重合．将三角尺PCD绕点P以每秒3°的速度逆时针旋转，同时三角尺ABP绕点P以每秒2°的速度顺时针旋转，当三角尺PCD的PC边与180°刻度线重合时两块三角尺都停止运动．当三角尺PCD的边与PB平行时，运动时间为（）秒．A．39 B．36 C．34 D．33【考点】一元一次方程的应用；平行线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；平移、旋转与对称；应用意识．【答案】D【分析】设运动时间为t秒，根据题意只有CD能与PB平行，由题意知，∠CPN＝60°+3t°，∠MPB＝45°+2t°，列得60+3t+45+2t﹣90＝180，解得t＝39．【解答】解：∵PC，PD与PB有公共点P，∴只有CD能与PB平行，设运动时间为t秒，如图，由题意知，∠CPN＝60°+3t°，∠MPB＝45°+2t°，∵CD∥PB，∴∠C+∠CPB＝180°，∴∠CPB＝90°，∴60+3t+45+2t﹣90＝180，解得t＝33，∵三角尺PCD的PC边与180°刻度线重合时，t=1203∴t＝33符合题意；故选：D．【点评】此题考查了一元一次方程的应用，平行线的性质，动图形问题，正确进行计算是解题关键．6．杨老师带七（1）班的同学外出参加社会实践活动，在分配房间时发现如果4人住1间，结果有2人没有房间住；如果5人住一间，最后一间未住满，还差3人．问：杨老师总共带了多少名学生参加这次活动？设共有x个房间，依题意列方程得（）A．5（x﹣3）＝4（x+2） B．5x+3＝4x﹣2 C．5（x+3）＝4（x+2） D．5x﹣3＝4x+2【考点】一元一次方程的应用．【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．【答案】D【分析】分别用房间数x表示两种住宿方式下的总人数，再根据总人数不变列方程即可．【解答】解：设共有x个房间，∵如果4人住1间，结果有2人没有房间住，∴总人数＝4x+2；∵如果5人住一间，最后一间未住满，还差3人，∴总人数＝5x﹣3；即得一元一次方程，5x﹣3＝4x+2．综上所述，只有选项D正确，符合题意，故选：D．【点评】本题考查了列一元一次方程的应用，关键是根据题意找到关系式．7．如图，矩形ABCD内有3个边长为5的小正方形，小正方形的顶点均落在矩形ABCD的边上，其中顶点E落在AB的中点处，则矩形ABCD的面积为（）A．150 B．172 C．125 D．136【考点】一元一次方程的应用；一元二次方程的应用；相似三角形的判定与性质．【专题】一次方程（组）及应用；一元二次方程及应用；图形的相似；运算能力．【答案】A【分析】如图，设AF＝x，AE＝y，证明△AEF∽△DFG，△DFG∽△CGH，求出DG＝3x，DF＝3y，CG＝y，则CD＝3x+y，AD＝x+3y，在Rt△AEF中，由勾股定理得：x2+y2＝52＝25，根据E是AB中点，得AB＝2AE＝2y，则2y＝y+3x，即y＝3x，即可得出AD＝x+3y＝10x，把y＝3x代入x2+y2＝25，得：x2+（3x）2＝25，得出x2＝2.5，再根据矩形ABCD的面积S＝AB×AD求解即可．【解答】解：如图，设AF＝x，AE＝y，根据题意可得∠A＝∠D＝∠C＝∠EFG＝∠FGH＝90°，EF＝5，FG＝3×5＝15，AB＝CD，∴∠1+∠2＝∠2+∠3＝∠3+∠4＝90°，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，∴△AEF∽△DFG，△DFG∽△CGH，∴AFDG=AE∴DG＝3x，DF＝3y，CG＝y，∴CD＝3x+y，AD＝x+3y，∵x2+y2＝52＝25，∵E是AB中点，∴BE＝AE＝y，∴AB＝2AE＝2y，∴2y＝y+3x，即y＝3x，∴AD＝x+3y＝10x，把y＝3x代入x2+y2＝25，得一元二次方程：x2+（3x）2＝25，∴x2＝2.5，∴S＝AB×AD＝2y×10x＝2×3x×10x＝60x2＝60×2.5＝150，即矩形ABCD的面积为150，故选：A．【点评】本题考查了8．下列是一元一次方程的是（）A．x≠0 B．2（x﹣3）＝3x C．3x+2y＝7 D．x-1=【考点】一元一次方程的定义．【专题】方程与不等式；运算能力．【答案】B【分析】根据一元一次方程的定义逐一判断各选项即可．【解答】解：A：x≠0是不等式，不符合；B．2（x﹣3）＝3x，化简得﹣6＝x，是整式方程且仅含未知数x，次数为1，符合条件；C．3x+2y＝7含两个未知数，不符合；D．x-1=1故选B．【点评】本题考查了一元一次方程的定义，正确计算是解题关键．二．填空题（共6小题）9．一种水稻磨米机的进料漏斗由圆柱和圆锥两部分组成，圆柱和圆锥的底面直径都是4dm，圆柱高2dm，圆锥高4.2dm．每立方分米稻谷大约重0.64kg，稻谷的出米率是70%，下列四个结论：①若将圆锥的高增加1.8dm，圆柱的高减少1dm，漏斗的总体积不变；②该漏斗装满稻谷时，稻谷的总质量约为27kg，按70%的出米率计算，大约能磨出18.9kg大米；③若用一个与该漏斗等底，高为6.2dm的圆柱形容器装稻谷，它的体积是漏斗总体积的1.5倍；④若将漏斗的底面直径扩大到原来的2倍，高不变，那么能装的稻谷质量会扩大到原来的4倍．其中正确结论的序号是②④．【考点】一元一次方程的应用；圆柱的体积；圆锥的体积．【专题】与圆有关的计算；运算能力．【答案】②④．【分析】求出该漏斗装体积为3.14×（42）2×2+13×3.14×（42）2×4.2≈【解答】解：该漏斗装体积为3.14×（42）2×2+13×3.14×（42）2×4.2≈若将圆锥的高增加1.8dm，圆柱的高减少1dm，漏斗的总体积为3.14×（42）2×（2﹣1）+13×3.14×（42）2×（4.2+1.8）＝37.68（∵27×70%＝18.9（kg），∴大约能磨出18.9kg大米，故②正确；∵3.14×（42）2×6.2≈77.872（dm3），77.872÷42.704≈1.8∴若用一个与该漏斗等底，高为6.2dm的圆柱形容器装稻谷，它的体积是漏斗总体积的1.8倍，故③错误；∵3.14×42×2+13×3.14×42×4.2≈42.704（dm3）≈170.816，170.816÷42.704∴将漏斗的底面直径扩大到原来的2倍，高不变，那么能装的稻谷质量会扩大到原来的4倍，故④正确；故答案为：②④．【点评】本题考查圆柱的体积，圆锥的体积，解题的关键是读懂题意，掌握圆柱的体积公式和圆锥的体积公式．10．如图，AB，CD是长为8厘米的两根小木棍，它们互相重合（点A与点C重合，点B与点D重合），现将AB沿直线l向左平移k厘米，将CD沿直线l向右平移2k厘米，当B，C是线段AD的三等分点时，k的值为43或163【考点】一元一次方程的应用．【专题】几何图形问题；分类讨论；一次方程（组）及应用；几何直观；应用意识．【答案】43或16【分析】根据B，C是线段AD的三等分点，可得AC＝CB＝BD＝4厘米或AB＝BC＝CD＝8厘米，依此即可求解．【解答】解：依题意有：k+2k＝8÷2，解得k=4或依题意有：k+2k＝8+8，解得k=16故k的值为43或16故答案为：43或16【点评】本题考查了一元一次方程的应用，关键是根据题意正确列出方程．11．一列火车正在匀速行驶，它先用26秒的时间通过了长256米的隧道甲（即从火车头进入入口到车尾离开出口），又用16秒的时间通过了长96米的隧道乙．则下列结论：①这列火车长160米．②这列火车的行驶速度为每秒16米．③若保持原速度不变，则这列火车通过长160米的隧道丙需用时10秒．④若速度变为原速度的两倍，则这列火车通过隧道甲的时间将变为原来的一半．其中正确的结论是①②④．（填写所有正确结论的序号）【考点】一元一次方程的应用．【专题】一次方程（组）及应用；运算能力；应用意识．【答案】①②④．【分析】设这列火车的长度为x米，根据速度＝路程÷时间结合火车的速度不变，列出一元一次方程，求出这列火车长度，即可解决问题．【解答】解：①设这列火车的长度为x米，依题意得：x+25626解得：x＝160，即这列火车长度为160米，故①正确；②这列火车的行驶速度为：（160+96）÷16＝16（米/秒），故②正确；③这列火车通过长160米的隧道丙需用时：（160+160）÷16＝20（秒），故③错误；④（160+256）÷16＝26（秒），（160+256）÷（16×2）＝13（秒），即若速度变为原速度的两倍，则这列火车通过隧道甲的时间将变为原来的一半，故④正确；故答案为：①②④．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．12．对于x，符号[x]表示不大于x的最大整数，如：[5.28]＝5，[﹣3.14]＝﹣4，则满足[2x-53]=4的x的整数解是9【考点】解一元一次方程；有理数大小比较．【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．【答案】9．【分析】根据题意列出不等式组，求出整数解即可．【解答】解：符号[x]表示不大于x的最大整数，则：∵[2x-5∴4≤2x-512≤2x﹣5＜15，17≤2x＜20，8.5≤x＜10，∴x的整数解是9．故答案为：9．【点评】本题考查解一元一次方程，正确进行计算是解题关键．13．甲、乙两个图书馆各有一批数学类藏书．若从甲馆调数学类藏书90本到乙馆，此时乙馆数学类藏书是甲馆的2倍；若从乙馆调数学类藏书若干本到甲馆，此时甲馆数学类藏书是乙馆的3倍．则甲图书馆原有数学类藏书最少166本．【考点】一元一次方程的应用．【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．【答案】166．【分析】设甲、乙原有藏书分别为x本和y本，设从乙调n本到甲，根据题意列方程，结合x，y，n均为正整数的条件，求解x的最小值即可．【解答】解：设甲图书馆原有藏书x本，乙图书馆原有藏书y本，从乙馆调n本到甲馆，其中x，y，n均为正整数．根据题意可得y=2x-270①x+4n=3y②将①代入②得：x+4n＝3（2x﹣270）移项整理得：5x＝4n+810变形得：n=5x-810∴n＞0，且5x﹣810能被4整除．由n＞0得5x-8104＞0，解得x当x＝163时，5×163﹣810＝5，不能被4整除，不符合题意；当x＝164时，5×164﹣810＝10，不能被4整除，不符合题意；当x＝165时，5×165﹣810＝15，不能被4整除，不符合题意；当x＝166时，5×166﹣810＝20，能被4整除，符合题意；∴x的最小值为166．故答案为：166．【点评】本题考查了一元一次方程的应用、二元一次方程的应用，理解题意是关键．14．如图，将一副三角板按如图方式摆放，使点A、O、D三点共线，点O、B、C三点共线．若△OAB以7°/s的速度绕点O顺时针旋转半周，同时△OCD以2°/s的速度绕点O逆时针旋转，且当△OAB停止运动时，△OCD也随之停止运动，设运动时间为ts，则当t＝53或653时，直线AB与直线【考点】一元一次方程的应用；角的计算．【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．【答案】53或65【分析】根据Rt△AOB中，∠AOB＝90°，∠ABO＝∠BAO＝45°，Rt△COD中，∠COD＝90°，∠DCO＝30°，∠CDO＝60°，在t秒时，△OAB转过7t°，△OCD转过2t°，两个三角形共转过7t°+2t°＝9t°，分两种情况作答即可．【解答】解：在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，∠ABO＝∠BAO＝45°，在Rt△COD中，∠COD＝90°，∠DCO＝30°，∠CDO＝60°，由题意可得：在t秒时，△OAB转过7t°，△OCD转过2t°，∴两个三角形共转过7t°+2t°＝9t°，当直线AB与直线CD互相垂直时，设垂足为点M，AB交OC于点E，则∠CME＝90°，∴∠BEC＝90°﹣∠C＝60°，∴∠BOC＝∠BEC﹣∠B＝15°，∴9t＝15，解得t=5当直线AB再次与直线CD互相垂直时，设垂足为点G，在射线GO上取点P，则∠POB＝∠B+∠BGO，∠POC＝∠C+∠CGO，∴∠BOC＝∠POB+∠POC＝∠B+∠BGO+∠CGO+∠C＝∠B+∠BGC+∠C＝165°，∴转过360°﹣165°＝195°，∴9t＝195，解得t=65综上，t的值为53或65故答案为：53或65【点评】本题考查一元一次方程的应用，正确进行计算是解题关键．三．解答题（共6小题）15．在一次机器人跑步比赛中，自主导航机器人（以下称A类机器人）与遥控机器人（以下称B类机器人）在同一赛道比赛，统一排名．为鼓励自主导航技术研发，主办方制定了以下计算完赛成绩的规则：•A类机器人的完赛成绩为从起点跑到终点的时间（包含途中维护时间）；•B类机器人的完赛成绩为从起点跑到终点的时间（包含途中维护时间）的1.2倍．已知比赛中，一台A类机器人全程保持匀速，途中没有维护，完赛成绩为60min；一台B类机器人起跑后，前25min保持匀速，速度是这台A类机器人的1.1倍，之后原地维护10min，维护后匀速跑至终点，速度比维护前增加了70m/min，完赛成绩为72min．求这台A类机器人的速度和此次比赛从起点到终点的路程．【考点】一元一次方程的应用．【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．【答案】这台A类机器人的速度为350m/min，此次比赛从起点到终点的路程为21000m．【分析】设这台A类机器人的速度为xm/min，则此次比赛从起点到终点的路程为60xm，利用路程＝速度×时间，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即这台A类机器人的速度），再将其代入60x中，即可求出此次比赛从起点到终点的路程．【解答】解：设这台A类机器人的速度为xm/min，则此次比赛从起点到终点的路程为60xm，根据题意得：25×1.1x+（721.2-25﹣10）（1.1x+70）＝60解得：x＝350，∴60x＝60×350＝21000（m）．答：这台A类机器人的速度为350m/min，此次比赛从起点到终点的路程为21000m．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．16．我市计划将某区域打造为特色文旅商业街区，目前一期工程已基本竣工，即将启动道路硬化施工．该工程由甲队单独完成需要24天，由乙队单独完成需要32天．现甲、乙两队合作施工一段时间后，甲队另有任务离开，剩下的工程由乙队单独完成，乙队单独完成剩余工程的时间比两队合作施工的时间少8天．（1）求甲、乙两队合作施工的时间；（2）施工完成后，两队共获得工程款45万元，若按每队完成的工程总量进行分配，甲、乙两队各应获得工程款多少万元？【考点】一元一次方程的应用．【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．【答案】（1）12天；（2）甲、乙两队应获得的工程款都为22.5万元．【分析】（1）设甲、乙两队合作施工的时间为x天，根据甲、乙工作效率及实际工作情况列方程求解即可；（2）求出甲、乙两队各自的施工总量，按比例分配工程款即可．【解答】解：（1）设甲、乙两队合作施工的时间为x天，该工程由甲队单独完成需要24天，由乙队单独完成需要32天．则：(1解得，x＝12，因此，甲、乙两队合作施工的时间为12天；（2）甲队施工总量为124×12=1即甲队施工总量＝乙队施工总量，45÷2＝22.5．因此，甲、乙两队应获得的工程款都为22.5万元．【点评】本题考查一元一次方程的应用，正确进行计算是解题关键．17．先阅读下列解题过程，然后解答问题：解方程：|2x+3|＝5．解：当2x+3≥0时，原方程可化为2x+3＝5，解得x＝1；把x＝1代入2x+3得：2×1+3＞0，成立；当2x+3＜0时，原方程可化为2x+3＝﹣5，解得x＝﹣4．把x＝﹣4代入2x+3得：2×（﹣4）+3＜0，成立；∴原方程的解为x＝1或x＝﹣4．灵活运用上面的解题方法解下列方程：（1）解方程|3x﹣1|＝8；（2）解方程|2x﹣1|＝3x﹣5．【考点】含绝对值符号的一元一次方程．【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．【答案】（1）x＝3或x=-7（2）x＝4．【分析】（1）分为两种情况：①当3x﹣1≥0时，②当3x﹣1＜0时，去掉绝对值符号后求出即可；（2）分为两种情况：①当2x﹣1≥0时，②当2x﹣1＜0时，去掉绝对值符号后求出即可．【解答】解：（1）解方程|3x﹣1|＝8，①当3x﹣1≥0时，原方程可化为3x﹣1＝8，解得x＝3；把x＝3代入3x﹣1得：3×3﹣1＞0，成立；②当3x﹣1＜0时，原方程可化为3x﹣1＝﹣8，解得x=-7把x=-73代入3x﹣1得：∴原方程的解为x＝3或x=-7（2）解方程|2x﹣1|＝3x﹣5，①当2x﹣1≥0时，原方程可化为2x﹣1＝3x﹣5，解得x＝4；把x＝4代入2x﹣1得：2×4﹣1＞0，成立；把x＝4代入3x﹣5得：3×4﹣5＞0，成立；②当2x﹣1＜0时，原方程可化为﹣2x+1＝3x﹣5，解得x=6把x=65代入2x﹣1得：∴原方程的解为x＝4．【点评】本题考查含绝对值的一元一次方程，正确进行计算是解题关键．18．近几年，黑龙江冰雪旅游热度持续升高．据有关部门统计，2026年春节“黄金周”哈尔滨市接待游客总数约为13663000人次，旅游人数的增加促进了当地的餐饮、住宿、交通等经济的提升，同时也促进了旅游文创产品工艺的发展．为了生产文创产品，某工厂需要购进A、B两种生产原料，若该工厂第一批购进A种原料84吨，并且购进A种原料吨数比购进B种原料吨数的56多4（1）求该工厂第一批购进B种原料多少吨？（2）已知每吨A种原料进货价格与每吨B种原料进货价格的比为4：3，若干天后，该厂再次采购A种原料和B种原料共花费72000元，若第二批采购的A种原料吨数是第一批A种原料吨数的50%，B种原料吨数比第一批B种原料吨数少了13，求每吨A（3）在（2）中两种原料的进货单价都不变的情况下，第三次采购计划如下：①A种原料和B种原料共采购240吨；②A种原料吨数比B种原料吨数的70%多2吨．并且第三次采购时供应商给出甲、乙、丙三种优惠方案：甲方案：总费用每满8000元减1200元，不满8000元不减；乙方案：每购进7吨B种原料则赠送2吨A种原料，不满7吨不送；丙方案：总货款前50000元打9折，50000至100000的部分打8折，100000到150000的部分打7折，150000以上的部分打6折．问第三批采购选择哪种方案总花费最少？请通过计算说明．【考点】一元一次方程的应用；有理数的混合运算．【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．【答案】（1）该工厂第一批购进B种原料96吨；（2）每吨A种原料的进价为800元；（3）第三批采购选择丙方案总花费最少．【分析】（1）设该工厂第一批购进B种原料x吨，根据购进A种原料吨数比购进B种原料吨数的56多4吨，可列出关于x（2）设每吨A种原料的进价为4y元，则每吨B种原料的进价为3y元，利用进货总价＝进货单价×购进数量，可列出关于y的一元一次方程，解之可得出y的值，再将其代入4y中，即可求出结论；（3）设第三次采购m吨A种原料，则采购（240﹣m）吨B种原料，根据A种原料吨数比B种原料吨数的70%多2吨，可列出关于m的一元一次方程，解之可得出m的值（即第三次采购A种原料的吨数），将其代入（240﹣m）中，即可求出第三次采购B种原料的吨数，再结合给出的三种优惠方案，可求出选择各方案的总花费，比较后，即可得出结论．【解答】解：（1）设该工厂第一批购进B种原料x吨，根据题意得：84-56x＝解得：x＝96．答：该工厂第一批购进B种原料96吨；（2）设每吨A种原料的进价为4y元，则每吨B种原料的进价为3y元，根据题意得：84×50%×4y+96×（1-13）×3y＝解得：y＝200，∴4y＝4×200＝800（元），3y＝3×200＝600（元）．答：每吨A种原料的进价为800元；（3）设第三次采购m吨A种原料，则采购（240﹣m）吨B种原料，根据题意得：m﹣70%（240﹣m）＝2，解得：m＝100，∴240﹣m＝240﹣100＝140（吨）．∵800×100+600×140＝164000（元），164000÷8000＝20……4000（元），∴选择甲方案的总花费为164000﹣1200×20＝140000（元）；∵140÷7＝20，∴选择乙方案的总花费为800×（100﹣2×20）+600×140＝132000（元）；∵800×100+600×140＝164000（元），∴选择丙方案的总花费为50000×90%+（100000﹣50000）×80%+（150000﹣100000）×70%+（164000﹣150000）×60%＝128400（元）．∵128400＜132000＜140000，∴第三批采购选择丙方案总花费最少．答：第三批采购选择丙方案总花