人教A版高一数学秋季培优班 第13讲 对数函数的图象与性质（总部定稿版）（学生版）

第13讲对数函数的图象与性质目录题型01对数函数定义与参数题型02对数函数解析式与定点题型03对数函数图象问题题型04对数函数定义域、值域与最值题型05对数函数单调性与不等式题型06对数比较大小题型07对数函数性质综合应用强化训练（共12题）知识小测（共5题）知识解读对数函数知识点01对数函数的概念1、函数叫做对数函数．其中是自变量，函数的定义域是，值域为．2、判断一个函数是否为对数函数，关键看它是否具有的形式，并满足以下条件：（1）系数为1；（2）底数为大于0且不等于1的常数；（3）对数的真数仅有自变量．知识点02对数函数的图象与性质图象性质定义域：值域：过定点，即时，在上增函数在上是减函数当时，，当时，当时，，当时，知识点03底数对对数函数图象的影响1、底数制约着图象的升降．如图2、底数变化与图象变化的规律在同一坐标系内，当时，随a的增大，对数函数的图像愈靠近x轴；当时，对数函数的图象随a的增大而远离x轴．（见下图）知识点04反函数1、反函数的定义设分别为函数的定义域和值域，如果由函数所解得的也是一个函数（即对任意的一个，都有唯一的与之对应），那么就称函数是函数的反函数，记作，在中，是自变量，是的函数，习惯上改写成（）的形式．函数（）与函数（）为同一函数，因为自变量的取值范围即定义域都是B，对应法则都为．由定义可以看出，函数的定义域A正好是它的反函数的值域；函数的值域B正好是它的反函数的定义域．2、反函数的性质（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线对称．（2）若函数图象上有一点，则必在其反函数图象上，反之，若在反函数图象上，则必在原函数图象上．题型精讲题型1对数函数定义与参数【典例1】已知函数的定义域为D，，，，则可以是（

）A． B． C． D．题型点播判断一个函数是否为对数函数，关键看它是否具有的形式，并满足以下条件：（1）系数为1；（2）底数为大于0且不等于1的常数；（3）对数的真数仅有自变量．【典例2】已知函数为偶函数，则（）A． B． C． D．【变式1】已知函数的图象恒过定点，且点又在函数的图像上，则（

）A．3 B．5 C．8 D．11题型2对数函数解析式与定点【典例1】已知定义在上的奇函数满足：，且当时，（为常数），则的值为（

）A． B．3 C．2 D．4题型点播待定系数法【典例2】函数且的图象恒过定点，若且，，则的最小值为（

）A．8 B．9 C． D．【变式1】已知函数，，其中且.(1)若和的图象过相同定点，求实数的值；(2)若当时，对任意，都有恒成立，求实数的取值范围.题型3对数函数图象问题【典例1】函数的部分图象大致为（

）A．

B．

C．

D．

题型点播“数”是数学的特征，它精确、量化，最有说服力；而“形”则形象、直观，能简化思维过程，降低题目的难度，简化解题过程，把它们的优点集中在一起就是最佳组合．利用图形的形象直观快速地得到答案，简化了解题过程．正因为如此，数形结合成为中学数学的四个最基本的数学思想方法之一，因此我们必须熟练地掌握这一思想方法，并能灵活地运用它来分析和解决问题．在涉及方程与不等式的问题时，往往构造两个函数与，则=的实数解等价于两个函数与的图象的交点的横坐标；而的解，等价于函数的图象位于函数图象下方部分所对应的横坐标取值范围．利用图象的形象性、直观性，可使问题得到顺利地解决，而且分散了问题解决的难度、简化了思维过程．因此，我们要善于用数形结合的方法来解决方程与不等式的问题．【变式1】函数的图象如图所示，则的解析式可能为（

）A． B．C． D．题型4对数函数定义域、值域与最值【典例1】下列与函数定义域相同的函数是（

）A． B．C． D．题型点播与对数函数有关的复合函数的定义域：求定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1．若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义．一般地，判断类似于的定义域时，应首先保证．【典例2】若函数的值域为，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式1】已知函数．(1)证明：的图象关于直线对称；(2)求的最大值．题型5对数函数单调性与不等式【典例1】已知正实数满足：，则的值是（

）A． B． C． D．题型点播研究型复合函数的单调性，一般用复合法来判定即可．复合函数的单调性就是内函数与外函数的单调性“同增异减”．研究对数型复合函数的单调性，一定要注意先研究函数的定义域，也就是要坚持“定义域优先”的原则．【典例2】已知，若，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式1】已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减.若实数a满足，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．题型6对数比较大小【典例1】已知，则（

）A． B． C． D．题型点播比较两个对数值的大小的基本方法是：（1）比较同底的两个对数值的大小，常利用对数函数的单调性．（2）比较同真数的两个对数值的大小，常有两种方法：①先利用对数换底公式化为同底的对数，再利用对数函数的单调性和倒数关系比较大小；②利用对数函数图象的互相位置关系比较大小．（3）若底数与真数都不同，则通过一个恰当的中间量来比较大小．题型7对数函数性质综合应用【典例1】已知函数与的零点分别为a，b，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．题型点播如果函数的定义域为，那么函数在的任意子集上都有意义；如果函数在集合上有意义，则必有．考查对数函数性质和指数函数性质的关系，提问方式灵活．灵活掌握转化的思想，基础知识扎实是解决此类问题的关键．【变式1】已知函数：，.(1)若过定点，求的单调递增区间；(2)若值域为，求的取值范围.强化训练（共12题）1．已知函数在上单调递减，则的取值范围是（

）A． B． C． D．2．下列说法中正确的是（

）A．函数与是同一个函数B．函数的单调递增区间是C．若函数的最大值为3，最小值为1，则的值域是D．若是偶函数，则函数的图象关于直线对称3．若实数a，b，c满足，则a，b，c的大小关系不可能是（

）A． B． C． D．4．已知且，函数是减函数，则a的取值范围为（

）．A． B． C． D．5．若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．6．（多选）已知函数，若包含于的值域，则满足条件的实数m可以是（

）A． B． C． D．7．已知函数，则不等式的解集为．8．已知函数，若，则的最小值为.9．已知函数．(1)当时，求函数的值域；(2)若的定义域为，求实数的取值范围；(3)若在上单调递增，求实数的取值范围.10．已知函数，其中且．(1)求的定义域，判断的奇偶性，并说明理由；(2)求不等式的解集．11．已知函数，记不等式的解集为.(1)求（用区间的形式表示）；(2)若对任意的，有，求的最大值.12．已知函数．(1)求函数的定义域M；(2)判断函数的奇偶性，若，求的值．知识小测（共5题）1．函数