人教A版高一数学秋季培优班 第17讲 正弦、余弦函数的图象与性质（总部定稿版）（教师版）

第17讲正弦、余弦函数的图象与性质目录题型01正弦、余弦函数作图与识图题型02含绝对值图象与三角不等式题型03三角函数零点问题题型04正余弦函数周期、奇偶与对称题型05正余弦函数单调性与参数题型06正余弦函数最值、值域与综合强化训练（共12题）知识小测（共5题）知识解读正弦函数、余弦函数的图象知识点01正弦函数图象的画法1、描点法：按照列表、描点、连线三步法作出正弦函数图象的方法．2、几何法：利用三角函数线作出正弦函数在内的图象，再通过平移得到的图象．3、五点法：先描出正弦曲线的波峰、波谷和三个平衡位置这五个点，再利用光滑曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线在一个周期内的图象．在确定正弦函数在上的图象形状时，起关键作用的五个点是知识点02正弦曲线1．定义：正弦函数的图象叫做正弦曲线．2．图象知识点03用三角函数图象解三角不等式的方法1、作出相应正弦函数或余弦函数在上的图象；2、写出适合不等式在区间上的解集；3、根据公式一写出不等式的解集．正弦函数、余弦函数的性质知识点04正弦函数性质函数正弦函数定义域值域奇偶性奇函数周期性最小正周期单调区间增区间减区间最值点最大值点；最小值点对称中心对称轴知识点05正弦型函数的性质函数与函数可看作是由正弦函数，余弦函数复合而成的复合函数，因此它们的性质可由正弦函数，余弦函数类似地得到：（1）定义域：（2）值域：（3）单调区间：求形如的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把视为一个“整体”，分别与正弦函数的单调递增（减）区间对应解出，即为所求的单调递增（减）区间．比如：由解出的范围所得区间即为增区间，由解出的范围，所得区间即为减区间．（4）奇偶性：正弦型函数不一定具备奇偶性．对于函数，当时为奇函数，当时为偶函数．知识点06余弦函数的性质函数余弦函数定义域值域奇偶性偶函数周期性最小正周期单调区间增区间减区间[2kπ,2kπ+π]最值点最大值点(2kπ,1)最小值点对称中心对称轴知识点07余弦型函数的性质函数可看作是由余弦函数复合而成的复合函数，因此它们的性质可由余弦函数类似地得到：（1）定义域：（2）值域：（3）单调区间：求形如的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把视为一个“整体”，余弦函数的单调递增（减）区间对应解出，即为所求的单调递增（减）区间．（4）奇偶性：余弦型函数不一定具备奇偶性，对于函数，当时为偶函数，当时为奇函数．（5）周期：函数的周期与解析式中自变量的系数有关，其周期为．（6）对称轴和对称中心：与正弦函数比较可知，当时，函数取得最大值（或最小值），因此函数的对称轴由解出，其对称中心的横坐标，即对称中心为．同理，的对称轴由解出，对称中心的横坐标由解出．题型精讲题型1正弦、余弦函数作图与识图【典例1】已知函数，(1)用五点法画函数的图象；(2)讨论函数图象与直线（为常数）的交点个数.【答案】(1)图象见解析；(2)答案见解析.【详解】（1）由题意，列表：010-101211根据五点，作图：（2）其图象如图：观察图象得：当或时，有0个交点；当或时，有1个交点；当或时，有2个交点；当时，有3个交点.题型点播1、五点作图法：作正弦曲线、余弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图．“五点”即或的图象在内的最高点、最低点和与x轴的交点．2、图象变换：平移变换、对称变换、翻折变换．【典例2】函数的部分图象可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】函数的定义域为R，由，可得函数是R上的奇函数，图象关于原点对称，AC错误；当时，，且当或时取等号，则B不满足，D满足.故选：D.【变式1】函数的大致图象为（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】由且定义域为，所以函数是奇函数，故排除A、D，当趋向于且大于0时，趋向于，排除C.故选：B.题型2含绝对值图象与三角不等式【典例1】已知是上的偶函数，，当时，，则函数的零点个数是（

）A．12 B．10 C．6 D．5【答案】B【详解】解：由得函数周期是，又偶函数，且在时，，因此可得，是偶函数，作出函数与时，的图象，由图象可知，当时，两函数图象有5个交点.又函数与均为偶函数，所以函数的零点个数是10.，即函数的零点个数是10．故选：B．

题型点播分类讨论解决绝对值问题【典例2】若，则（

）A． B．1 C． D．2【答案】A【详解】因，代入可得，因，则，解得，即，则.故选：A.题型3三角函数零点问题【典例1】若函数在上有且仅有1个零点和1个最高点，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【详解】对于，因，则，作出函数在上的图象，

要使原函数在上有且仅有1个零点和1个最高点，需使，解得.故选：B.题型点播方程的根（或函数零点）问题：三角函数的图象是研究函数的重要工具，通过图象可较简便的解决问题，这正是数形结合思想方法的应用．【变式1】方程的根的个数是（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】A【详解】画出和的函数图象，因为，，结合图象可得函数与函数图象的交点个数是5个.故选：A题型4正余弦函数周期、奇偶与对称【典例1】已知函数，若方程在上恰有两个不同的实根，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由，解得或，化简可得或，当时，；当时，；当时，；当时，，由题意可得，解得.故选：A.题型点播（1）定义法，即利用周期函数的定义求解．（2）公式法，对形如或（，，是常数，，）的函数，其最小正周期为T=2π/|ω|（A≠0，ω≠0）．（3）观察法，即通过观察函数图象求其周期．三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当的方法求解．【典例2】已知函数，“为奇函数”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】若为奇函数，则，充分性不成立，若，则为奇函数，必要性成立，所以“为奇函数”是“”的必要不充分条件.故选：B【典例3】已知函数．(1)求函数的最小正周期和对称轴；(2)已知函数，求函数的单调递增区间．【答案】(1)最小正周期为，对称轴；(2)的单调递增区间为【详解】（1）由已知，的最小正周期，令，得，所以的对称轴为．（2）由题意，，令，解得，所以的单调递增区间为．【变式1】已知函数.(1)求函数的对称中心坐标；(2)求函数的单调递减区间；(3)若，求函数的值域.【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）令，解得：，此时，的对称中心为；（2）令，解得：，的单调递减区间为（3）当时，，则，，即的值域为题型5正余弦函数单调性与参数【典例1】已知函数，则（

）A．为偶函数，且在上单调递增B．为偶函数，且在上单调递减C．为奇函数，且在上单调递增D．为奇函数，且在上单调递减【答案】A【详解】因为的定义域为，并且，又，所以为偶函数；设、，并且，则，，所以，，，于是，即，所以在上单调递增，所以A正确，BCD错误.故选：A.题型点播（1）用“基本函数法”求函数（，）或（，）的单调区间的步骤：第一步：写出基本函数（或）的相应单调区间；第二步：将“”视为整体替换基本函数的单调区间（用不等式表示）中的“”；第三步：解关于的不等式．（2）对于形如的三角函数的单调区间问题，当时，可先用诱导公式转化为，则的单调递增区间即为原函数的单调递减区间，单调递减区间即为原函数的单调递增区间．余弦函数的单调性讨论同上．另外，值得注意的是这一条件不能省略．【典例2】已知函数，函数满足，，且在区间上单调，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为在区间上单调，所以，得到，所以，解得，又，，则由的图象与性质知，所以，得到，所以，当，解得，又，所以.故选：C.【变式1】已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，，所以，又因为函数在区间上单调递减，所以，,即，故当时，.故选：A题型6正余弦函数最值、值域与综合【典例1】已知曲线与垂直于y轴的条直线：，，且为常数，在区间内共有2025个交点，则（

）．A． B．1013 C． D．1012【答案】A【详解】由题意知，曲线与直线在区间内共有2025个交点，由曲线在区间内的图象，可得当时，方程分别有两个不同的实根，且各根均不同，要使得在区间内共有2025个交点，则满足，解得．故选：A．题型点播一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等．三角函数是函数的特殊形式，一般方法也适用，但要结合三角函数本身的性质．常见的三角函数求值域或最值的类型有以下几种：（1）形如的三角函数，令，根据题中的取值范围，求出的取值范围，再利用三角函数的单调性、有界性求出的最值（值域）．（2）形如的三角函数，可先设，将函数化为关于的二次函数，根据二次函数的单调性求值域（最值）．（3）对于形如（或）的函数的最值还要注意对的讨论．【典例2】已知函数（）的最小正周期为．(1)求函数在区间上的最大值和最小值；(2)若函数在区间上恰有2个零点，求的值．【答案】(1)最大值和最小值分别为；(2).【详解】（1）由函数的最小正周期为，得，解得，当时，，则当，即时，，当，即时，，所以函数在区间上的最大值和最小值分别为.（2）由，得，即，由函数在区间上恰有2个零点，得在上恰有2个根，而当时，，显然余弦函数在上递增，在上递减，且在上的图象关于直线对称，因此函数在上单调递增，在上单调递减，在上的图象关于直线对称，因此，.【变式1】已知函数图象的两条相邻对称轴之间的距离是，且，将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．(1)求的解析式；(2)求不等式的解集；(3)设函数，若对任意的，，都有，求的取值范围．【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）解：由函数图象的两条相邻对称轴之间的距离是，可得，解得，所以，即，又由，可得，因为，所以，所以，将的向右平移个单位长度，可得函数，所以函数的解析式为.（2）解：由（1）知：，不等式，即为，可得，解得，所以不等式的解集为.（3）解：由（1）知：，当，可得，当时，，因为对任意的，，都有，即当时，恒成立，即恒成立，即当时，恒成立，设，可得恒成立，令，当时，即时，即时，，所以，即，即实数的取值范围为.强化训练（共12题）1．若函数的图象如图，则的解析式可能为（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】由图形判断函数的定义域为，且为偶函数，对A，，故错误；对C，，故错误；对B，，当且始终是正数，故正确；对D，，当，但可以为负数，所以不符合要求，故错误.故选：B2．设是函数与函数的图象连续相邻的三个交点，若是锐角三角形，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意得，，作出两个函数的图象，如图：为连续三个交点（不妨设在轴下方），为的中点，由对称性，得是以为顶角的等腰三角形，，由，整理得，解得，则，即，所以，因为为锐角三角形，则，所以，解得.故选：A.3．若函数在区间上有且仅有两个零点，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由可得，因为，当时，，因为函数在区间上有且仅有两个零点，所以，，解得，即的最小值为.故选：C.4．（多选）下列各组函数的图象，能够通过左右平移实现重合的是（

）A．与 B．与C．与 D．与【答案】AD【详解】因，则将函数图象向左平移个单位可得，故A正确；因，则其最低点坐标为，而最低点坐标为，故无法只通过左右平移实现，故B错误；因图象上存在点，图象上存在，若函数图象可左右平移得到，则将函数图象向右平移个单位即可得到，而函数图象上的点向右平移个单位后得到的点不在图象上，故C错误；，则将函数图象上的点向左平移个单位即可得到，故D正确.故选：AD5．定义在区间的函数与的图象交点个数为．【答案】4【详解】在平面直角坐标系中，函数与的图象如图所示，根据图象，可得函数与的图象交点个数为4.故答案为：4.6．已知函数的部分图象如图所示．(1)求，，．(2)已知函数．①求的分段解析式；②若在上的图象与直线恰有3个公共点，求的取值范围．【答案】(1)，，(2)①；②【详解】（1）由题图可知，由，得，得．由题图可知，的图象过点，则，得，因为，所以．（2）①当时，，此时，得．当时，，此时，得．故．②由，得．由，得，即或，因为在上的图象与直线恰有3个公共点，所以，得，即的取值范围为.7．（多选）已知函数的部分图像如图所示，则（

）A．B．的图象关于点对称C．在上单调递减D．把的图像向左平移个单位，所得图像对应的函数为偶函数【答案】AC【详解】由图象可得，设函数的最小正周期为，由图象可得，所以，由，故A选项正确；因为，所以，即又，所以当，所以函数，令，即令，故函数的图象不关于点对称，故B选项不正确；因为，所以，由在单调递减，所以C选项正确；的图像向左平移个单位后得到：，由的定义域为关于原点对称，且，所以的图像向左平移个单位后得到的函数为奇函数，故D选项不正确；故选：AC.8．已知函数，其中，若，在区间上的最大值与最小值的和为0，则（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】若，在区间上的最大值与最小值的和为0，说明，所以，解得，又因为，所以.故选：D.9．将曲线向右平移个单位长度后，得到的曲线关于原点中心对称，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】将曲线向右平移个单位长度后得到的曲线为：.因为该曲线关于原点对称，所以，解得.因为，当时，取最小值为.故选：B.10．已知函数，若的最小正周期为，则；若存在，使得，则的最小值为.【答案】4【详解】因为的最小正周期为，所以，又因为，所以.若存在，使得，因为正弦函数的值域为，所以和必然一个为1，另一个为.因为，所以，要使在上能取到1和，也就是至少包含半个周期长度，并且能取到最值点，所以，解得，所以的最小值为.故答案为：4；11．已知函数.(1)求的最小正周期和单调递增区间；(2)若，求的值域.【答案】(1)，(2)【详解】（1）的最小正周期为：，由，得，所以的单调递增区间为：.（2）由，得，由，得，则函数在上单调递减，在上单调递增，，，故的值域为：12．已知函数.(1)求函数的单调递减区间；(2)若方程在区间上有解，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2).【详解】（1）令，则，的单调递减区间为；（2），，在上单调递增，，方程在区间上有解，的取值范围为.知识小测（共5题）1．当时，曲线与的交点个数为（

）A．1 B．2 C．4 D．6【答案】D【详解】因为函数的最小正周期为，函数的