人教A版高一数学秋季培优班 第18讲 正切函数的图象与性质（总部定稿版）（教师版）

第18讲正切函数的图象与性质目录题型01正切函数定义域与周期题型02正切函数对称性与奇偶性题型03正切函数单调性与参数题型04正切函数值域与最值题型05正切函数图象与不等式题型06正切函数比较大小与综合问题强化训练（共11题）知识小测（共5题）知识解读正切函数的性质与图像知识点01正切函数的图象正切函数，且，图象：知识点02正切函数的性质1、定义域：2、值域：由正切函数的图象可知，当x→(π/2+kπ)^-时，tanx→+∞；当x→(-π/2+kπ)^+时，tanx→-∞，k∈Z。因此tanx可以取任何实数值，但没有最大值和最小值。称直线x=kπ+π/2，k∈Z为正切函数的渐近线。3、周期性：周期函数，最小正周期是4、奇偶性：奇函数，即．5、单调性：在开区间，内，函数单调递增知识点03正切函数型的性质1、定义域：将“”视为一个“整体”．令解得．2、值域：3、单调区间：（1）把“”视为一个“整体”；（2）时，函数单调性与的相同（反）；（3）解不等式，得出范围．4、周期：题型精讲题型1正切函数定义域与周期【典例1】已知函数，则下列结论不正确的是（

）A． B．的定义域是C．是的一个周期 D．的图象关于点对称【答案】D【详解】对于A选项，，，，故A正确；对于B选项，要使有意义，则有，的定义域是，故B正确；对于C选项，，是的一个周期，故C正确；对于D选项，如图的图象不关于点对称，故D错误.故选：D.题型点播求三角函数定义域时，常常归纳为解三角不等式组，这时可利用基本三角函数的图象求得解集．【典例2】若函数的图象与直线的两个相邻交点之间的距离为，且为奇函数，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为函数的图象与直线的两个相邻交点之间的距离为，所以的最小正周期，又，所以，所以，则，又为奇函数且，所以，所以，所以的最小值为．故选：B．【变式1】若函数的最小正周期为，且函数在区间上单调递增，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：由题意知，解得，所以，令，，解得，，当时，可得在上单调递增，又函数在区间上单调递增，所以，即m的取值范围是．故选：B题型2正切函数对称性与奇偶性【典例1】已知函数，则下列说法正确的是（

）A．若的最小正周期是，则B．当时，的对称中心为C．当时，D．若在区间上单调递增，则【答案】D【详解】A选项：的最小正周期是，所以，故A错误；B选项：当时，令，则，所以的对称中心为，故B错误；C选项；时，，，，在上单调递增，所以，即，故C错误；D选项：若在区间上单调递增，则，解得：，又因为，所以，D正确；故选：D题型点播正切曲线与轴的交点及其渐近线与轴的交点都是正切曲线的对称中心，正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．【典例2】下列函数中，既是周期函数又是偶函数的是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】选项A：是奇函数，不满足题意；选项B：令，定义域为，关于原点对称，因为，，所以既是周期函数又是偶函数，满足题意；选项C：画出的图象如图所示，则不是周期函数，不满足题意；选项D：令，则，所以不是偶函数，不满足题意；故选：B【变式1】设函数，则可断定函数（

）A．最小正周期为π，奇函数，在区间上单调递增B．最小正周期为π，偶函数，在区间上单调递减C．最小正周期为，奇函数，在区间上单调递增D．最小正周期为，偶函数，在区间上单调递减【答案】B【详解】函数的定义域为，显然，即函数是偶函数，排除AC；又，即函数的周期是，而，当时，无意义，则不是的周期，因此的最小周期是，排除D；函数在上单调递增，且，则在上单调递增，所以函数在上单调递减，B正确.故选：B题型3正切函数单调性与参数【典例1】下列函数中，最小正周期为，且在上单调递增的是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】选项A中，选项B中，选项C中，选项D中，排除AB，时，，递减，则递增，时，，递增，则递减，故选：C．题型点播求函数（，，都是常数）的单调区间的方法先由-π/2+kπ<ωx+φ<π/2+kπ确定各连续区间；在每个连续区间内，当Aω>0时函数单调递增，当Aω<0时函数单调递减。若，可利用诱导公式先把的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得的范围即可．【典例2】已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】当时，由于，则，因为在区间上单调递增，则，所以，，解得，因此，的取值范围为.故选：A.【变式1】函数在上的最大值为，最小值为，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，所以，所以，因为函数在上的最大值为，最小值为，所以，即，所以令，，因为在上单调递增，在定义域内单调递增，由“复合函数”的单调性知，函数在上单调递增，所以，解得：，，解得：，因为，则，所以，解得：.故.故选：D.题型4正切函数值域与最值【典例1】下列函数的最小值为2的是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】对于A，当时，，当且仅当即时等号成立，当时，，当且仅当即时等号成立.故A不符合；对于B，因为，所以，所以，当且仅当即时等号成立，但，所以，故B不符合；对于C，因为，函数在上单调递增，所以，故C不符合；对于D，因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，故D符合.故选：D.题型点播一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等，而三角函数是函数的特殊形式，其一般方法也适用，只不过要结合三角函数本身的性质．【变式1】下列关于函数说法正确的是（

）A．函数的定义域为R B．函数为奇函数C．函数的最小值为0 D．函数的最小正周期为【答案】D【详解】对于选项A，函数的定义域为，故选项A错误;对于选项B，函数的定义域为关于原点对称，又，则函数为偶函数，故选项B错误;对于选项C，根据函数的奇偶性结合正切函数的相关性质，根据图象变换作出函数草图如下：由图可知，函数没有最小值，最大值为0，故选项C错误;对于选项D，同样由图可知函数的最小正周期为，故选项D正确.故选：D.题型5正切函数图象与不等式【典例1】函数在区间内的大致图象是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【详解】当时，即，所以在区间上的图象与的图象相同，当时，即，所以在区间和上的图象是的图象关于轴的对称图形.故选：B.题型点播作正切型函数图象应注意的问题：正切型函数在相邻两条渐近线之间的每个连续区间内单调。作图时可先画出一个连续分支，再利用周期性平移得到完整图象。【典例2】如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】设，令，且，解得，，令，则，则在上单调递增，，则，则当时，，，则满足，即，当时，，且单调递减，，且单调递增，则时，，即；时，，即；综上所述：的解集为，故选；C.【变式1】设函数.(1)求函数的定义域；(2)求函数的单调递增区间；(3)求不等式的解集.【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）函数中，令，，解得，，所以函数的定义域为；（2）由，所以函数的单调递增区间为，（3）不等式可化为，解得，，即，；所以不等式f(x)≤√3的解集为{x|kπ/2-π/12<x≤kπ/2+π/3，k∈Z}，题型6正切函数比较大小与综合问题【典例1】已知，记，，，则x，y，z的大小关系正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】依题意，，则有，且，因此，所以.故选：D题型点播比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较。【典例2】设函数f(x)＝tan(ωx＋φ)，已知函数y＝f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为，且图象关于点M对称．（1）求f(x)的解析式；（2）求f(x)的单调区间；（3）求不等式－1≤f(x)≤的解集．【答案】（1）f(x)＝tan；（2）单调递增区间为，k∈Z，无单调递减区间；（3）.【详解】（1）由题意知，函数f(x)的最小正周期为T＝，即，因为ω>0，所以ω＝2，从而f(x)＝tan(2x＋φ)．因为函数y＝f(x)的图象关于点M对称，所以2×＋φ＝，k∈Z，即φ＝＋，k∈Z.因为0<φ<，所以φ＝，故f(x)＝tan.（2）令－＋kπ<2x＋<＋kπ，k∈Z，得，即所以函数的单调递增区间为，k∈Z，无单调递减区间．（3）由（1）知，f(x)＝tan.由－1≤tan≤，得即所以不等式－1≤f(x)≤的解集为.强化训练（共11题）1．已知为函数图象上的一点，其中为不超过的最大整数，则函数（，且，）零点的个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【详解】因为点在函数图象上，所以，所以，，函数零点的个数转化为方程即的解的个数，也可转化为函数的图象与函数图象交点的个数，因为的取值会改变的表达式，所以需要分类讨论，（1）当且时，，，，当时，，当时，，由图可知，与图象有个交点；（2）当且时，，，，当时，，当时，，由图可知，与图象有个交点；综上，零点个数为个.故选：C.2．已知，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】，；，；又，所以，，故选:A．3．如图，函数有三个相邻的零点，，，且，，则（

）A．1 B． C． D．【答案】B【详解】令，则，，，，，，又，，，，，．故选：B.4．如图，某地一天从6至14时的温度变化曲线近似满足函数：，则这天12时的气温约是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由，故最小正周期，则，又因为，可得，所以当时，.故选：C.5．函数的定义域为（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】的定义域满足，解得.故函数定义域为故选：B.6．（多选）若函数的图象与直线的相邻交点的距离为，则以下说法正确的是（

）A．函数的最小正周期为B．点是函数图象的一个对称中心C．D．的解集为【答案】ABC【详解】由题意有的最小正周期为，故A正确；所以，所以，由，所以是函数图象的一个对称中心，故B正确；，，又，在上单调递增，所以，即，故C正确；由，所以，即，故D错误.故选：ABC.7．已知定义在上的函数，则不等式的解集是．【答案】【详解】设，，定义域为关于原点对称，所以为奇函数．因为，在区间上单调递增，所以在区间上单调递增．因为不等式，即得，所以，所以，因为函数的定义域为，所以且，所以，又函数在区间上单调递增，由得，，解得故答案为：.8．如图，正方形ABCD的边长为2，O为AD的中点，射线OP从OA出发，绕着点O按逆时针方向旋转至在旋转的过程中，记为x，OP所经过的正方形ABCD内部的区域（阴影部分）的面积为对于函数给出以下4个结论：；函数在为减函数；；的图象关于直线对称．其中正确结论的序号为.【答案】①③【详解】当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，对于①，显然，则，故①正确；对于②，由，函数为增函数，当时，，则函数在该范围上单调递增，当时，，则函数在该范围上单调递增，并且2+2tan(∠AOC-π/2)=4-1/2tan(π-∠AOC)=3，综上可得：函数在上单调递增，故②错误；对于③，当时，则，可得，同理可得当取其他值时，等式都成立，故③正确；对于④，由，则函数的图象关于成中心对称.故答案为：①③.9．已知函数.(1)若，求的最小正周期；(2)若在区间上有定义.（i）求的最大值；（ⅱ）若曲线至少有两个对称中心在区间上，求的取值范围.【答案】(1)(2)（i）（ⅱ）【详解】（1）当时，，易得的最小正周期；（2）（i）当时，，，若函数在区间上有定义，则，解得，故的最大值为；（ii）函数的对称中心满足，，解得，，其图象至少有两个对称中心在区间上，则在区间上至少有两解，故至少存在两个值使，故至少有，两个取值，所以，综上，的取值范围为.10．已知函数在区间上单调．(1)求的最大值；(2)若曲线在区间上至少有两个对称中心，求的取值范围．【答案】(1)最大值为1(2)【详解】（1）当时，可得，因为函数在区间上单调，则满足，解得，故的最大值为1．（2）由函数，可得图象的对称中心满足，整理得，其图象在区间上至少有两个对称中心，则，因为在区间上至少有两个不同的解，所以至少存在两个值使，所以至少有两个取值，所以，综上可得，的取值范围为．11．函数中，，最小正周期为，．(1)求；(2)求函数在上的值域；(3)求不等式组的解集．【答案】(1)，(2)(3)【详解】（1）∵最小正周期为，∴，又∵，∴，又∵，∴．（2）∵，∴当时，，∴函数在上的值域为.（3）∵，∴，∴，其中，∴，即不等式的解集为．知识小测（共5题）1．下列函数中，最小正周期为的偶函数是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】对于A，的最小正周期为，不合题意，故A错误；对于B，是奇函数，不合题意，故B错误；对于C，作出函数的图象如下图所示：

由图可知，函数是最小正周期为的偶函数，故C正确；对于D，设，因为，，所以，所以的周期不是，故D错误.故选：C.2．函数（，）的部分图象如图所示，则（

）A．， B．， C．， D．，【答案】A【详解】由图可知当时，，又，解得，又由图可知，所以为的对称轴，则，，结合图象，即，则解得，故A正确.故选：A.3．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】对A：的图象是由的图象将轴下方的图象关于轴对称上去，轴