人教A版高二数学秋季培优班 第11讲 双曲线（总部定稿版）（教师版）

第11讲双曲线目录题型01双曲线的定义与标准方程题型02双曲线焦点三角形问题题型03双曲线中的距离与最值题型04双曲线几何性质与渐近线题型05双曲线离心率问题题型06直线与双曲线的位置关系强化训练（共8题）知识小测（共5题）知识解读知识点01双曲线的定义在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线．这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距．知识点02求双曲线的标准方程①待定系数法：由题目条件确定焦点的位置，从而确定方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数、、的值．其主要步骤是“先定型，再定量”；②定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程．知识点03双曲线的简单几何性质对称性;对于双曲线标准方程（，），把换成，或把换成，或把、同时换成、，方程都不变，所以双曲线（a>0，b>0）是以轴、轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心．顶点:①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点．②双曲线（，）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为，，顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点．③两个顶点间的线段叫作双曲线的实轴；设，为y轴上的两个点，则线段叫做双曲线的虚轴．实轴和虚轴的长度分别为，．叫做双曲线的实半轴长，叫做双曲线的虚半轴长．离心率:①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e表示，记作．②因为，所以双曲线的离心率．由，可得，所以决定双曲线的开口大小，越大，e也越大，双曲线开口就越开阔．所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度．③等轴双曲线，所以离心率．渐近线:经过点、作y轴的平行线，经过点、作x轴的平行线，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是．我们把直线叫做双曲线的渐近线；双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交．知识点04双曲线两个标准方程几何性质的比较标准方程图形性质焦点，，焦距范围，，对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点轴实轴长=，虚轴长=离心率渐近线方程知识点05双曲线的渐近线（1）已知双曲线方程求渐近线方程：若双曲线方程为，则其渐近线方程为已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程．（2）已知渐近线方程求双曲线方程：若双曲线渐近线方程为，则可设双曲线方程为，根据已知条件，求出即可．（3）与双曲线有公共渐近线的双曲线:与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在y轴上）（4）等轴双曲线的渐近线:等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，为，因此等轴双曲线可设为．知识点06双曲线中，，的几何意义及有关线段的几何特征双曲线标准方程中，、、三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身的形状大小所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：，，且．双曲线，如图：（1）实轴长，虚轴长，焦距，（2）离心率：；（3）顶点到焦点的距离：，；（4）中结合定义与余弦定理，将有关线段、、和角结合起来．（5）与焦点三角形ΔPF1F2有关的计算问题时，常考虑到用双曲线的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式SΔPF1F2=1知识点07直线与双曲线的位置关系判断将双曲线方程与直线方程联立消去,得到关于的一元二次方程，1、当，即时，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点；2、当，即时，设该一元二次方程的判别式为，若，直线与双曲线相交，有两个公共点；若，直线与双曲线相切，有一个公共点；若，直线与双曲线相离，没有公共点；注意：直线与双曲线有一个公共点时，可能相交或相切．知识点08弦长公式若直线与双曲线（，）交于，两点，则或（）．题型精讲题型1双曲线的定义与标准方程【典例1】过双曲线的右支上一点，分别向圆和圆作切线，切点分别为、，则的最小值为（

）A．10 B．11 C．12 D．15【答案】B【详解】如图所示，双曲线方程的两焦点坐标为，，连接，，，，则，因为，，所以，当且仅当为双曲线右顶点时等号成立，故选：B.题型点播1、双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；2、若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；3、若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）；4、若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；5、若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线．1．求双曲线标准方程的步骤;(1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式．(2)定量：是指确定a2，b2．双曲线标准方程的两种求法:(1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a,b,c，再写出双曲线的标准方程．(2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程x2【典例2】已知圆，圆，动圆与圆都外切，则动圆圆心的轨迹方程为.【答案】【详解】对圆，圆心为；对圆，圆心为.设动圆的半径为，则，所以点的运动轨迹为以为焦点的双曲线的左支.易知，解得；又，解得；，所以动圆圆心的轨迹方程为.故答案为：【变式1】在平面直角坐标系中，为双曲线上两不重合的动点，点，且当四点共线时，.(1)求的标准方程；(2)若直线与的渐近线垂直，且经过点，求直线与两坐标轴交点的坐标；(3)若均在的右支上，且线段是的角平分线，求直线的方程.【答案】(1).(2)72,0和0,(3)【详解】（1）∵四点共线时，，根据双曲线对称性，∴关于原点对称，不妨设在在右侧，即在圆，又，∴，与圆联立得，，代入，，∴双曲线的标准方程为.（2）∵，∴渐近线为或，∵直线与的渐近线垂直，且经过点，当渐近线为时，直线，与x轴交点为72,0当渐近线为时，直线，与x轴交点为12,0综上，直线l与两坐标轴交点的坐标为72,0和0,7（3）如图，根据题意直线斜率存在，设，，联立，∴，，解得或，，，设直线的倾斜角分别为，∵是的角平分线，∴，，，又点在PQ上，所以，故，整理得，解得或，又或，所以，故直线的方程为.题型2双曲线焦点三角形问题【典例1】已知双曲线的左､右焦点分别为，点在上，若的角平分线交轴于点，且，则的周长为（

）A．24 B．22 C．20 D．18【答案】D【详解】由题意，则，不妨设，，，设到轴的距离为，因为为的角平分线，则，所以，所以，所以，又，所以，所以的周长为.故选：D题型点播在解决双曲线中与焦点有关的问题时，要注意定义中的条件||PF1|－|PF2||＝2a的应用；与三角形有关的问题要考虑正、余弦定理、勾股定理等．另外在运算中要注意一些变形技巧和整体代换思想的应用．【变式1】已知双曲线的左、右焦点分别是，.(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；(2)如图，若P是双曲线左支上的点，且，求的面积.【答案】(1)10或22(2)【详解】（1）双曲线的标准方程为，故，，，由双曲线的定义得，又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，假设点M到另一个焦点的距离等于x，则，解得或.故点M到另一个焦点的距离为10或22.（2）由双曲线的定义和余弦定理得，，所以，所以，所以.题型3双曲线中的距离与最值【典例1】已知为曲线上任意一点，，，则的最小值为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】由，得，所以为双曲线的右支，为该双曲线的左焦点．设右焦点为，则，所以．所以，当且仅当点在线段上时，等号成立，所以的最小值为．故选：D.题型点播根据两点距离公式，利用双曲线方程，借助代入消元法，消去其中一个变量，得到双曲线上点到坐标轴上点的距离关于变量的函数表达式，将点点之间距离的最值问题转化成常见函数——二次函数的最值问题进行求解，注意变量的取值范围.双曲线中线段之和差的最值.根据双曲线的第一定义，利用三角形中两边之和大于第三边，三角形中两边之差小于第三边，处理线段之和的最值问题时，画出图形，利用几何图形的性质三点共线线段之和取得最值.【典例2】已知双曲线的左焦点为，点在的右支上，且，则的最小值为（

）A．4 B．6 C．10 D．14【答案】C【详解】对于双曲线，根据双曲线的标准方程（），可得，．则．设双曲线的右焦点为，由双曲线的定义可知，点在双曲线的右支上，则，即；同理，点在双曲线的右支上，则，即．所以．根据三角形三边关系，，当且仅当，，三点共线时，等号成立．又，则，即．所以的最小值为10．故选：C．【变式1】是双曲线的右支上一点，、分别是圆和上的点，则的最大值为（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【详解】双曲线中，如图所示：

，，，设左、右焦点为，，，，，，三点共线且在之间时取等号，，则，共线且在之间时取等号，所以.故选：D题型4双曲线几何性质与渐近线【典例1】过双曲线右支上的点作的切线l，，分别为的左、右焦点，为切线上的一点，且（O为坐标原点）.若，则（

）A． B．2 C．3 D．4【答案】B【详解】设，则双曲线在点处的切线方程为，在中，令，得，故，故，又，故，其中，又，故，因为，所以，即，整理得，显然，所以，解得.故选：B.题型点播由双曲线方程研究几何性质时，先将方程化为标准形式，判断焦点所在坐标轴，再确定a,b，利用c2若渐近线为y=±nmx，则具有这两条渐近线的双曲线可设为x2m2−y2【典例2】已知双曲线的左、右焦点分别为分别为双曲线的两条渐近线，直线过点，且，直线与交于点，直线与双曲线的右半支交于点，且，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．2【答案】A【详解】由题意，得渐近线的方程为．不妨设直线的方程为，．由解得．又，且解得，代入双曲线，得，解得双曲线的离心率．故选：A．【变式1】已知双曲线的左、右焦点分别为，点为双曲线右支上一点，以坐标原点O为圆心，以为半径的圆与双曲线的渐近线在第一象限内交于点P，同时点P在线段中垂线上，则该双曲线的标准方程为（）A． B． C． D．【答案】C【详解】如图，根据圆的性质可知．又点在线段中垂线上，则，则是等边三角形，故双曲线浙近线的倾斜角为．所以，即，则双曲线方程为．将点代入双曲线方程，得，解得，则双曲线方程为，故选：C．题型5双曲线离心率问题【典例1】设，，点，是坐标原点，，是双曲线：的左焦点，若直线：经过点，且能与双曲线的右支在第一象限内交于点，则双曲线的离心率的一个可能的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由，知，因为直线，所以点到直线的距离为，所以，由题意知，，所以，，即直线的斜率为，又直线经过点，所以直线的方程为，联立，由题意知，直线与双曲线的左右两支各有一个交点，所以，即，所以，所以双曲线的离心率，对比选项可知，只有选项D符合题意．故选：D．题型点播求双曲线离心率的两种方法(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝eq\f(c,a)求解，若已知a，b，可利用e＝1+ba2(2)方程法：若无法求出a,b,c的具体值，但根据条件可确定a,b,c之间的关系，可通过b2=c2−a2，将关系式转化为关于a、c的齐次方程，借助于e=c【变式1】已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且与渐近线平行的直线与相交于点（在第一象限），若，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．3【答案】B【详解】由题意可作图如下：易知，，则，在中，，，整理可得，解得，所以.故选：B.题型6直线与双曲线的位置关系【典例1】已知双曲线经过，，三个点中的两个，若为原点，点在上，点在直线上，且.(1)求的渐近线方程：(2)求面积S的最小值：(3)证明：直线与定圆相切，并求出该定圆的方程.【答案】(1)(2)16(3)证明见解析，【详解】（1）由题意，双曲线的焦点在轴上，不可能经过点，将，代入得：，解得，，的渐近线方程为；（2）设，，则，由于，则，显然，可得，且，，，当且仅当，时，等号成立，的最小值为16；（3）显然，直线，即，其中，，即，，故点到直线的距离为，存在定圆与直线相切.题型点播1．判断直线与双曲线的位置关系时，通常是将直线方程与双曲线方程联立方程组，方程组解的个数就是直线与双曲线交点的个数，联立方程消去x或y中的一个后，得到的形如二次方程的式子中，要注意x2项或y2．直线y=kx+b与双曲线相交所得的弦长d3．双曲线中点弦的斜率公式设为双曲线弦（不平行轴）的中点，则有【变式1】设是坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，离心率.(1)求双曲线的标准方程；(2)直线交双曲线的右支于两点，且关于轴的对称点为的外心为.（i）求外心的坐标（用表示）；（ii）求的取值范围.【答案】(1)；(2)（i）；（ii）.【详解】（1）由双曲线的方程知，，又离心率，故，因为，故双曲线的方程为；（2）（i）直线的方程为，联立，得，故且，设，则，，由已知，所以，所以线段的中点坐标为，所以线段的垂直平分线方程为，又线段的垂直平分线方程为，所以点的坐标为，（ii）由题意，右焦点，故，，所以，则由知，所以，即，所以的取值范围为.强化训练（共8题）1．若双曲线与圆交于四点，且这四个点恰为正方形的四个顶点，则.【答案】【详解】双曲线与圆交于四点，且这四个点恰为正方形的四个顶点，设，则，所以，解得，所以，即,故答案为：.2．如图，在半径为2的圆中，是阴影部分内（包括边界）的动点，第一象限内的阴影部分为半圆，为双曲线的右顶点，且过双曲线的焦点并垂直于实轴的弦的长是2，设直线的斜率为，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】过双曲线的焦点并垂直于实轴的弦的长是2，，双曲线的方程为，，，解得，双曲线的方程为，，，为直线的斜率，当直线与半圆相切时，最小，此时设直线的方程为，即，，解得或（舍去），.故选：A.3．（多选）过双曲线的一个焦点的直线与的一条渐近线平行，且与交于点，则（

）A．的实轴长为 B．的离心率为C．到的右焦点的距离为 D．的一个顶点坐标为【答案】BC【详解】直线与坐标轴的交点分别为和，因此双曲线的一个焦点为，即，又双曲线的一条渐近线与直线平行，所以，由，解得，选项A，实轴长为，A错；选项B，离心率为，B正确；选项C，双曲线方程为，由解得，即，右焦点为，则，C正确，选项D，曲线的顶点坐标为，D错误；故选：BC．4．已知双曲线的左顶点为，离心率为，过点作直线与交于，两点，当直线的斜率为时，的面积为．(1)求双曲线的标准方程；(2)若，求直线的方程；(3)若直线，分别与直线交于，两点，试探究在直线上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出定点的坐标和定值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，定点，定值为1【详解】（1）因为当直线的斜率为时，的面积为．所以的面积为，由对称性得，点坐标为，则结合，得，，所以双曲线的标准方程为．（2）因为双曲线的左顶点为，则，因为直线斜率不存在时不满足题意，所以设直线，，的斜率分别为，，，直线的方程为，则，双曲线，即，所以，则，所以，即，所以，设，，则，若，则，则直线的方程为，即．（3）设直线：，令，得，则，同理可得，假设存在点满足题设，则为定值，所以，所以，且，即存在定点，使得为定值．5．设A，B两点的坐标分别为，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为3．(1)求点M的轨迹方程C；(2)若直线l与C交于P，Q两点，且（点O为坐标原点），求的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）设点，，则，，所以，化简得，所以点M的轨迹方程为．（2）当直线l斜率不存在时，可设，．则，，将其代入双曲线方程得，又，解得，此时，当直线l斜率存在时，设其方程为，设，，联立，.由韦达定理：，.则，化简得，此时，所以|PQ，当时，此时，当时，此时，，，故，因此，综上可得．6．已知点，为双曲线C：（，）上两点.(1)求双曲线C的方程；(2)若，直线l：（）与C交于M，N两点，且，求实数m的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）将，的坐标代入双曲线C的方程，可得，解得，所以双曲线C的方程为.（2）设，，线段的中点，联立，消去整理得，所以，即且①，所以，，所以，.因为，所以，所以，所以②.又③，由①②③得或，所以实数m的取值范围是.7．已知两点的坐标分别是，，直线相交于点，且它们的斜率之积是，记点的轨迹为曲线.两个不同点在上运动，满足直线与直线的斜率之比是.(1)求曲线的方程；(2)直线是否过定点？如果是，求出定点坐标；如果不是，请说明理由；(3)证明：三角形是钝角三角形.【答案】(1)（或）(2)是，定点(3)证明见解析【详解】（1）设，由题意得且，，整理得因此曲线的方程为：（或）（2）由题意得，又，设，若直线的斜率不存在，则解得，此时直线过，若直线的斜率存在，设，与双曲线联立得，依题意且由韦达定理得，.整理得，此时恒成立，过综上所述，直线过定点.（3）由（2）知，①当时，，均在的右支，如图2，此时故为钝角.②当时，，在的两支，如图1，不妨设在的右支记，此时故为锐角，因此为钝角综上所述，三角形为钝角三角形图1

图28．已知双曲线是双曲线右支上的一个动点，且到双曲线的两条渐近线的距离之积为.(1)求双曲线的标准方程.(2)过点作直线交双曲线的左支于点，分别交两条渐近线于点A,B.（i）是否存在直线，使得为PQ的中点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.（ii）当时，直线与圆相切，求的取值范围.【答案】(1)(2)（i）不存在，理由见解析；（ii）【详解】（1）设，由于两条渐近线为，则有到两条渐近线为的距离之积为则解得所以双曲线C的方程为（2）（i）设，且，因为在双曲线上，所以，两式相减可得所以，若点为线段AB的中点，则，即，代入上式，所以，则直线l的斜率所以直线l的方程为，即将直线l与双曲线联立，可得，.，故方程无解.所以不存在这样的直线l，综上，点不能是线段PQ的中点.（ii）设切点，则切线的方程为，且由，解得，所以设，由，消去得，所以,由，消去y得，所以；所以，所以，又，所以，因为，所以，所以，所以，即知识小测（共5题）1．（多选）已知双曲线的一条渐近线为．将的实轴，虚轴长度均变为原先的，记得到的双曲线为，则（

）A． B．的离心率为C．的一条渐近线为 D．的焦点到渐近线的距离为的【答案】BCD【详解】选项：因为双曲线的一条渐近线为.且根据双曲线性质可得：的渐近线为.所以其一条渐近线等价于，因为，故，得到，解得，故错误；选项：将代入方程，得到，所以的离心率为，故正确；选项：将的实轴，虚轴长度均变为原先的，则.其渐近线为，所以的一条渐近线为，故正确；选项：对于双曲线，焦点到渐近线的距离为.其中即为半虚轴长．由于的虚轴长为的，故的焦点到渐近线的距离为的，故正确．故选：．2．已知双曲线与，下列说法正确的是（）A．两个双曲线有公共顶点B．两个双曲线有公共焦