人教A版高二数学秋季培优班 第12讲 抛物线（总部定稿版）（教师版）

第12讲抛物线目录题型01抛物线的定义与标准方程题型02抛物线轨迹方程题型03抛物线距离和差最值题型04抛物线实际应用与几何性质题型05直线与抛物线的位置关系题型06抛物线焦点弦问题强化训练（共9题）知识小测（共4题）知识解读知识点01抛物线的定义定义：平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．知识点02抛物线的标准方程如图，以过F且垂直于的直线为x轴，垂足为K．以F，K的中点O为坐标原点建立直角坐标系．设（），那么焦点F的坐标为，准线l的方程为．设点是抛物线上任意一点，点M到l的距离为d．由抛物线的定义，抛物线就是集合，将上式两边平方并化简，得．①方程①叫抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，坐标是它的准线方程是．抛物线标准方程的四种形式：根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式，，，．知识点03抛物线的简单几何性质抛物线标准方程的几何性质:范围：，，抛物线（）在y轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M的坐标的横坐标满足不等式；当x的值增大时，也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．抛物线是无界曲线．对称性：关于x轴对称抛物线（）关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．抛物线只有一条对称轴．顶点：坐标原点抛物线（）和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．抛物线的顶点坐标是．离心率：．抛物线（）上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率．用e表示，．抛物线的通径通过抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线所截得的线段叫做抛物线的通径．因为通过抛物线（）的焦点而垂直于x轴的直线与抛物线两交点的坐标分别为，，所以抛物线的通径长为．这就是抛物线标准方程中的一种几何意义．另一方面，由通径的定义我们还可以看出，刻画了抛物线开口的大小，值越大，开口越宽；值越小，开口越窄．知识点04抛物线标准方程几何性质的对比图形标准方程顶点范围，，，，对称轴x轴y轴焦点离心率准线方程焦半径知识点05焦半径公式设抛物线上一点的坐标为，焦点为．1、抛物线，．2、抛物线，．3、抛物线，．4、抛物线，．知识点06直线与抛物线的位置关系1、直线与抛物线可能有两个、一个或零个公共点。当斜率不为0时，可根据联立所得一元二次方程的判别式判断相交、相切或相离；当直线平行于抛物线的对称轴时，应单独讨论。2、以抛物线与直线的位置关系为例：（1）直线的斜率不存在，设直线方程为，若，直线与抛物线有两个交点；若，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点；若，直线与抛物线没有交点．（2）直线的斜率存在．设直线，抛物线，直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数，即二次方程k2x2①若，则当时，直线与抛物线相交，有两个公共点；当时，直线与抛物线相切，有个公共点；当时，直线与抛物线相离，无公共点．②若，则直线与抛物线相交，有一个公共点．知识点07直线与抛物线相交弦长问题1、弦长:设为抛物线的弦，，，弦AB的中点为．（1）弦长公式：（为直线的斜率，且）．（2）当y0≠0时，kAB=py02、焦半径；抛物线上的点P(x0,y0)与焦点F3、的几何意义：为焦点到准线的距离，即焦准距，越大，抛物线开口越大．4、焦点弦;若为抛物线的焦点弦，，，则有以下结论：（1）．（2）．（3）焦点弦长公式1：，，当时，焦点弦取最小值，即所有焦点弦中通径最短，其长度为．焦点弦长公式2：（为直线与对称轴的夹角）．（4）的面积公式：（为直线与对称轴的夹角）．5、抛物线的弦；若AB为抛物线的任意一条弦，，弦的中点为，则（1）弦长公式：（2）（3）直线AB的方程为（4）线段AB的垂直平分线方程为6、求抛物线标准方程的焦点和准线的快速方法（法）：（1）焦点为，准线为（2）焦点为，准线为如，即，焦点为，准线方程为7、参数方程;的参数方程为（参数）8、切线方程和切点弦方程:抛物线的切线方程为，为切点切点弦方程为，点在抛物线外.与中点弦平行的直线为，此直线与抛物线相离，点（含焦点）是弦AB的中点，中点弦AB的斜率与这条直线的斜率相等，用点差法也可以得到同样的结果．9、抛物线的通径:过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径．对于抛物线，由，，可得，故抛物线的通径长为．10、弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的关系：11、焦点弦的常考性质;已知、是过抛物线焦点的弦，是的中点，是抛物线的准线，，为垂足．（1）以为直径的圆必与准线相切，以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切；（2），（3）；（4）设，为垂足，则、、三点在一条直线上题型精讲题型1抛物线的定义与标准方程【典例1】已知拋物线的焦点为.若的准线被以为圆心的圆截得的弦长为2，则该圆的方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】由题得抛物线焦点，准线方程为，F到准线距离为，所以圆的半径为，所以该圆的方程为.故选：D.题型点播（1）抛物线定义可概括为“一动三定”：一个动点、一个定点、一条定直线和一个定值1。（2）定义中的隐含条件：焦点不在准线上，若在上，抛物线变为过且垂直于的一条直线．（3）抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题时常与抛物线的定义联系起来，将抛物线上的动点到焦点的距离与动点到准线的距离互化，通过这种转化使问题简单化．1、求抛物线的标准方程的方法定义法根据定义求p，最后写标准方程待定系数法设标准方程，列有关的方程组求系数直接法建立恰当的坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出对应方程，化简方程注：当抛物线的焦点位置不确定时，应分类讨论，也可以设y2＝ax或x2＝ay(a≠0)的形式，以简化讨论过程．2、用待定系数法求抛物线标准方程的步骤【典例2】已知抛物线的准线方程是，直线与抛物线相交于M、N两点．(1)求抛物线的方程；(2)求弦长；(3)设O为坐标原点，证明：．【答案】(1)；(2)；(3)详见解析.【详解】（1）解：因为抛物线的准线方程是，所以，解得，所以抛物线的方程是；（2）由，得，设，则，所以；（3）因为，，，所以，即.【变式1】已知抛物线：的准线方程为．(1)求抛物线的方程；(2)直线：交抛物线于、两点，求弦长．【答案】(1)(2)8【详解】（1）由抛物线：的准线方程为，得，．抛物线的方程为．（2）设，，由消去，得，则，．又直线过抛物线的焦点，．题型2抛物线轨迹方程【典例1】在平面直角坐标系中，，为轴上一点，经过的直线与垂直且与轴交于点，关于的对称点为．为一曲线，若对于任意固定点，的最小值总为3，则的方程为：．【答案】【详解】延长到使，由，得四边形为平行四边形，又，则为菱形，过作轴，垂足为，直线，则，又，，于是的轨迹为抛物线：，①在内部，过作轴交于点，而轴，，为定值，则当共线时，有最小值，设，，而，整理得；②在及外部，当共线时，有最小值3，即，设，则，而，整理得所以曲线的方程为：．故答案为：题型点播求轨迹问题的两种方法(1)直接法：按照动点适合条件直接代入求方程．（2）定义法：若动点满足某种曲线的定义，可直接利用相应的距离关系列式并化简，求出轨迹方程。【变式1】如图，已知点，轴于点C，M是线段OB上任意一点，轴于点D，于点E．OE与MD相交于点P，则P的轨迹方程为（

）．A． B．C． D．【答案】D【详解】设，因为直线的方程为，且点在直线上，所以，因为直线的方程为，且点在直线上，所以，因为轴，所以，则，故D正确.故选：D．题型3抛物线距离和差最值【典例1】已知抛物线的焦点为，点在该抛物线上，点在圆上，则的最小值为（

）A．13 B．9 C．11 D．10【答案】D【详解】如图，过点作准线的垂线，垂足为，则.当垂直于抛物线准线时，最小，此时记线段与圆的交点为，因为，准线为，则的最小值为.

故选：D题型点播求抛物线上的点到定点与焦点(或准线)之和的最值：利用抛物线的定义将动点（在抛物线上）到焦点与到准线的距离进行互化；定点所在位置是抛物线的内部还是外部；根据三角形两边之和大于第三边，共线时取得最值.【变式1】已知是抛物线的焦点，是抛物线上一动点，是曲线上一动点，则的最小值为．【答案】4【详解】曲线是以为圆心，为半径的圆，抛物线的准线为，过点作，垂足为，过点作，垂足为，交抛物线于点，如图，根据抛物线的定义，得，当且仅当点与重合，此时点与重合，点与重合，即，当且仅当在一条直线上时等号成立，所以的最小值为．故答案为：4题型4抛物线实际应用与几何性质【典例1】某学习小组研究一种如图1所示的卫星接收天线，发现其轴截面为如图2所示的抛物线，在轴截面内的卫星信号波束呈近似平行的状态射入，经反射聚焦到焦点F处，已知卫星接收天线的口径（直径）为10m，深度为3m，则该卫星接收天线轴截面所在的抛物线焦点到顶点的距离为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为.由题意可得，将点的坐标代入抛物线的方程可得，解得，所以抛物线的方程为，焦点的坐标为，即，所以抛物线焦点到顶点的距离为.故选：B.题型点播1、涉及拱桥、隧道的问题，通常需建立适当的平面直角坐标系，利用抛物线的标准方程进行求解．2、求抛物线实际应用的五个步骤1、用待定系数法求抛物线方程的步骤注：求抛物线的方程时要注意抛物线的焦点位置，不同的焦点设出不同的方程．2、把握三个要点确定抛物线的简单几何性质(1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准一次项是x还是y，一次项的系数是正还是负．（2）关系：顶点是焦点与焦点在准线上的垂足所连线段的中点，准线垂直于对称轴。(3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1.3、利用抛物线的性质可以解决的问题(1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题．(2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题．(3)范围：解决与抛物线有关的最值问题．(4)焦点弦：解决焦点弦问题．【典例2】已知点为抛物线的焦点，直线与该抛物线交于A，B两点，点为的中点，过点向该抛物线的准线作垂线，垂足为.若，则（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【详解】根据题意，过点分别向该抛物线的准线作垂线，垂足分别为，所以，所以，设，，根据定义可得，联立，可得，，则，，解得.故选：B.【变式1】在平面直角坐标系中，曲线的点均在圆外，且对上任意一点，点到直线的距离比点到点的距离小1．(1)求曲线的方程；(2)若直线上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，求四边形面积的最小值；(3)设为直线上一动点，过点作圆的两条切线，分别与曲线相交于点和．证明：点的纵坐标之积为定值2304．【答案】(1)(2)(3)证明见解析【详解】（1）方法一：由题意，∵到直线的距离比点到点的距离小1，∴上任意一点到直线的距离等于点到点的距离，因此，曲线的是以为焦点，直线为准线的抛物线，故曲线的方程为．方法二：由题意，设点的坐标为，由题意得，易知点位于直线的右侧，∴，∴，化简得，曲线的方程为．（2）由题意得，的圆心为，半径，又∵四边形的面积，∴当的值最小时，四边形的面积最小，又的最小值为：，∴四边形面积的最小值．（3）由题意及（1）（2）证明如下，当点在直线上运动时，设点的坐标为.又，∴过点且与圆相切得直线的斜率存在且不为0，每条切线都与有两个交点，则切线方程为，即，所以，整理得．①设过点所作的两条切线的斜率分别为，则是方程①的两个实数根，∴．②联立得．③设点的纵坐标分别为，则是方程③的两个实数根，∴．④同理可得，．⑤联立②，④，⑤三式，得，∴当在直线上运动时，点的纵坐标之积为定值2304．题型5直线与抛物线的位置关系【典例1】抛物线的焦点为F，A为准线上一点，则线段FA的中垂线与抛物线的位置关系为（）A．相交 B．相切C．相离 D．以上都有可能【答案】B【详解】设，，则的中点坐标为，，所以中垂线的斜率为，所以直线的中垂线方程为，代入，可得∴，∵线段FA的中垂线与抛物线相切.故选：B题型点播将直线方程与抛物线方程联立，转化为一元二次方程，可通过直线与抛物线的位置关系转化为对判别式Δ或者对向量数量积的限制条件，利用限制条件建立不等式或等式，利用根与系数的关系运算求解．【变式1】已知抛物线C的顶点在原点，焦点在轴，点在抛物线C上.（1）求抛物线C的方程；（2）斜率为的直线过定点，与抛物线C相交所得弦长为，求直线的方程.【答案】（1）；（2）或【详解】（1）已知抛物线C的顶点在原点，焦点在轴，设抛物线的方程为：，又点在抛物线C上，代入得，解得：所以抛物线C的方程为：（2）由题意，设直线方程为，直线与抛物线C的两个交点为,，联立，整理得：则，由韦达定理得：，利用弦长公式得：，即，解得，即所以直线的方程为或题型6抛物线焦点弦问题【典例1】（多选）已知抛物线C：的焦点为，动点在抛物线上，的最小值为若直线过点交抛物线于两点，弦的中点为，现分别过点作抛物线的两条切线，两条切线交于点，下列说法正确的是（

）A．B．若，则点的纵坐标为5C．若线段的中点为，则点的轨迹是抛物线D．底边上的高线恒过定点【答案】BCD【详解】设，，对于选项A：因为的最小值为4，所以，解得，则抛物线的标准方程为，故选项A错误.对于选项B：因为，所以，所以，故选项B正确；对于选项C：因为切线，，所以，即，解得，因为弦的中点为，所以，即，因为，，所以，因为点在抛物线上，所以点的轨迹是抛物线，故选项C正确；对于选项D：因为，所以底边上的高所在直线斜率，所以高线所在直线方程为，即，此时直线恒过定点，故选项D正确．故选：BCD.题型点播过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，那么线段AB叫做焦点弦，如图：设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p.注：(1)x1·x2＝eq\f(p2,4).(2)y1·y2＝－p2.(3)|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2α)(α是直线AB的倾斜角)．(4)eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p)为定值(F是抛物线的焦点)．（5）求弦长问题的方法①一般弦长：|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|，或|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|.②焦点弦长：设过焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p.【变式1】（多选）已知斜率为的直线过抛物线的焦点且与抛物线交于两点，过分别作该抛物线准线的垂线，垂足分别为，则下列说法正确的是（）A．弦长度的最小值为B．C．点，，共线D．若则【答案】BC【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，设直线的方程为，联立，化简可得，由已知，方程的判别式，设，则，，所以为方程的两个根，所以，，由抛物线定义可得，，所以弦长度为，故当直线的斜率存在时，弦长度的范围为，A错误；，B正确；由已知，，因为，所以，所以点，，共线，C正确；因为，，，所以，故，所以，易知，所以，因为，所以，解得或（舍去），所以，代入，得，若点在第一象限，则，若点在第四象限，则D错误；故选：BC.强化训练（共9题）1．已知抛物线，，O为坐标原点，过点A的直线l与C交于M，N不同的两点，若，则的面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意，直线l的斜率不为0，可设直线方程为，设，，，，联立可得，消去x可得，，由韦达定律得，，由，，又，则，由，则，解得，，所以．故选：A.2．（多选）已知抛物线的焦点为F，直线与D相交于A，B两点，O为坐标原点，则下列结论正确的是（

）A．当时，B．为定值C．当时，D．线段AB中点的坐标为【答案】ABD【详解】当时，直线为，设，则，故，故A正确；设，联立方程，消得，所以，则，所以，故B正确；，，所以，又，解得，所以，解得，故C错误；而，，线段中点的坐标为，故D正确.故选：ABD．3．（多选）设抛物线的焦点为，点，是抛物线上不同的两点，且，则（

）A．线段的中点到的准线距离为4 B．当直线过原点时，C．直线的倾斜角的最大值为 D．线段的垂直平分线过定点【答案】AD【详解】设，抛物线：，得，，所以，线段的中点到的准线距离为，故A正确；若直线过原点，设，则，所以，所以，故B错误；当直线AB斜率不存在时，，符合题意，当直线AB斜率存在时，设直线的方程为，由得，则，得，又，得，故或，则倾斜角无最大值，故C错误；当直线AB斜率存在时，线段中点的坐标为，所以线段的垂直平分线方程为，又，故化为，过定点；当直线的斜率不存在时其垂直平分线即为x轴所在直线，也成立，故D正确．故选：AD4．（多选）已知圆和抛物线的准线相切于点A，点B为圆C与抛物线D的一个交点，点N，M分别为圆C与抛物线D上的动点，则下列选项中正确的是（

）A． B．点B到D的准线的距离为2C．直线AB与抛物线D相交 D．若点，则的最小值为3【答案】ABD【详解】对于A选项，因为D的准线与圆C相切，则，即，A正确；对于B选项，由A可知抛物线焦点即为圆心，则由抛物线定义知点B到D的准线的距离等于，B正确；对于C选项，点，设，则由B选项知，，可得，，抛物线方程，对应函数为，导函数为，则点B处的切线斜率为，则直线AB与抛物线相切，C错误；对于D选项，点位于抛物线内，的最小值等价于的最小值，过点M作准线的垂线，垂足为，则，的最小值为点E到准线的距离，即为5，则最小值为，D正确.故选：ABD.5．已知点的坐标分别为，点是抛物线上的一个动点．(1)求证：以点为圆心，为半径的圆与直线的相切；(2)设直线与抛物线的另一个交点为点，连接，求证：．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【详解】（1）设点的坐标为，则；又因为点到直线的距离为，所以，以点为圆心，为半径的圆与直线的相切．（2）如图，分别过点作直线的垂线，垂足分别为．由（1）知，，同理可得，．因为都垂直于直线，所以，，于是，所以，因此，于是，从而.6．已知椭圆的离心率为，长轴长为4，抛物线的焦点F与椭圆C的上顶点重合．(1)求椭圆C和抛物线E的方程；(2)设点M是抛物线E准线上一个动点，过点M作抛物线E的两条切线，切点分别为A，B．求证：（i）直线AB过定点，并求该定点的坐标；（ii）以线段AB为直径的圆与抛物线E的准线相切于点M．【答案】(1)，(2)（i）证明见解析，；（ii）证明见解析【详解】（1）由题，解得，∴椭圆的方程为，其上顶点坐标为，∴，即．∴抛物线的方程为．（2）由（1）知，抛物线的准线方程为，∴可设，（i）由得，且．又，∴抛物线在处的切线方程为，即．在切线上，①，同理可得②，由①②得直线的方程为，令，则，所以直线恒过抛物线的焦点．（ii）联立得，∴，则线段AB的中点为，，又，∴MN与抛物线E的准线垂直，且，故以线段AB为直径的圆与抛物线E的准线相切于点M．7．抛物线C：与直线：相切．(1)求抛物线C的方程．(2)设抛物线C的焦点为F，过F的直线交C于A，B，点满足，求直线的方程．【答案】(1)(2)【详解】（1）联立，可得，因为直线与相切，所以，抛物线C的方程为.（2）由（1）可知，设，联立可得，设，可得∵，∴因为,，所以，则，所以即所以，即，解得，，即.8．已知抛物线，点为抛物线的焦点.(1)若点在抛物线上，求；(2)过点的直线与抛物线相交于、两点，为坐标原点，若的面积为，求直线的方程.【答案】(1)(2)或【详解】（1）因为点在抛物线上，所以，解得，故.（2）若直线与轴重合，则该直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意.依题意，设直线的方程为，将直线与抛物线方程联立得得，设点、，，由韦达定理可得，，，又因为原点到直线的距离为，所以，解得，故直线的方程为，即或.9．已知抛物线的