人教A版高二数学秋季培优班 第16讲 数列的概念（总部定稿版）（教师版）

第16讲数列的概念目录题型01数列概念与通项观察题型02通项公式的应用题型03递推公式的应用题型04Sn与an的关系题型05数列单调性与最值题型06周期数列强化训练（共10题）知识小测（共5题）知识解读知识点01数列的概念一般地,我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项,常用符号表示,第二个位置上的数叫做这个数列的第2项,用表示……第个位置上的数叫做这个数列的第项,用表示.其中第1项也叫做首项.数列的一般形式是,,…,,…,简记为.知识点02数列的分类1.根据数列项数的多少分：有穷数列：项数有限的数列．例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列无穷数列：项数无限的数列．例如数列1，2，3，4，5，6，…是无穷数列2.根据数列项的大小分：递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列．递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列．常数数列：各项相等的数列．摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列．知识点03数列的通项公式如果数列的第项与之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式．（1）并不是所有数列都能写出其通项公式；（2）一个数列的通项公式有时是不唯一的．如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以是，也可以是．（3）数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项．（4）数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第项，又是这个数列中所有各项的一般表示．知识点04数列的前n项和数列的前项和：指数列的前项逐个相加之和，通常用表示，即；与的关系当时；当n≥2故．知识点05数列的表示方法1.通项公式法（解析式法）：数列通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系．给了数列的通项公式，代入项数就可求出数列的每一项．反之，根据通项公式，可以判定一个数是否为数列中的项．2.列表法相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用表示第一项，用表示第二项，……，用表示第项，……，依次写出得数列．12…………3.图象法：数列是一种特殊的函数，可以用函数图象的画法画数列的图形．具体方法：以项数为横坐标，相应的项为纵坐标，即以为坐标在平面直角坐标系中做出点．所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．4.递推公式法递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．递推公式也是给出数列的一种方法．如：数列：，1，5，9，13，…，可用递推公式：，表示．数列：3，5，8，13，21，34，55，89，…，可用递推公式：，，表示．知识点06数列与函数的关系由于数列中的每一项与它的序号有下面的对应关系：所以数列是从正整数集（或它的有限子集{1，2，…，}）到实数集的函数，其自变量是序号，对应的函数值是数列的第项，记为.也就是说，当自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值，，…，，…就是数列.另一方面，对于函数，如果（）有意义，那么，，…，，…构成了一个数列.题型精讲题型1数列概念与通项观察【典例1】（多选）下列说法中，不正确的是（

）A．数列可表示为B．数列与数列是相同的数列C．数列的项可以相等D．数列和数列一定不是同一数列【答案】ABD【分析】根据数列的概念判断各选项即可.【详解】对于A，不表示数列，故A错误；对于B，数列具有有序性，故B错误；对于C，数列的项可以相等，故C正确；对于D，当时，数列和数列表示同一数列，故D错误.故选：ABD.题型点播判断数列是何种数列一定严格按照定义进行判断．判断数列的单调性时一定要确保每一项均大于（或均小于）后一项，不能有例外．根据数列的前几项只能猜测一个可能的通项公式，所得公式还需代入已知各项检验，不能据此认为通项公式唯一。根据数列的前几项求通项公式的解题思路：（1）先统一项的结构，如都化成分数、根式等．（2）分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式．（3）对于正负交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用或处理符号．（4）对于周期数列，可考虑拆成几个简单数列之和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等．【典例2】（多选）下列给出的命题中正确的有（

）A．数列和数列是相同数列B．数列的一个通项公式是C．已知数列的前项和，则D．已知数列满足，，则【答案】BCD【分析】由数列的定义可判断A选项错误；由数列的通项公式可判断B选项正确；由数列的递推式：时，，计算可判断C选项正确；由数列的递推式，计算可判断D选项正确.【详解】对于A选项，根据数列的定义，数列具有顺序性，所以A选项错误；对于B选项，将代入通项公式，得到的数列是，所以B选项正确；对于C选项，根据前项和公式，可以得到，所以C选项正确；对于D选项，根据递推式，可以得到，所以D选项正确.故选：BCD.【变式1】数列的前4项为，，，，则它的一个通项公式是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据数列的前项进行猜想，由此求得正确答案.【详解】将，，，可以写成成，，，所以的通项公式为.故选：C题型2通项公式的应用【典例1】已知数列的通项公式为．(1)计算的值；(2)是不是该数列中的项？若是，应为第几项？若不是，说明理由．【答案】(1)(2)是数列的第10项．【分析】（1）利用给定的通项公式，代入项数计算即可.（2）利用方程的正整数解即可得解.【详解】（1）数列中，，，所以.（2）若为数列中的项，则，即，整理得，而，解得，所以是数列的第10项.题型点播1.利用数列的通项公式求某项的方法数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项．2.判断某数值是否为该数列的项的方法先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程．若方程的解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项．【变式1】（多选）若数列的通项公式为，则（

）A．该数列仅有6个正数项 B．该数列有无限多个负数项C．该数列的最大项就是函数的最大值 D．是该数列中的一项.【答案】ABD【分析】根据题意，利用数列的通项公式可逐项分析判断各个选项.【详解】对于选项A，B，令，解得，所以数列前6项为正数项，从第7项开始后面的项均为负数项，故A，B正确；对于C，由，当时，数列取到最大值，而对函数，当时，取到最大值，故C错误；对于D，令，解得或（舍去），即是该数列的第10项，故D正确.故选：ABD.题型3递推公式的应用【典例1】已知自然界中存在某种昆虫，其在幼虫期到成虫期这个时间段内会伴随着蜕皮和生长的交替，该种昆虫最开始的身体长度记为，其在发育过程中先蜕皮，身体总长度减少，此时昆虫的长度记为；蜕皮之后，迅速生长，当身体总长度增加了蜕皮后那一时刻的，此时昆虫的长度记为，然后进入下一次蜕皮，以此类推．若，则（

）A．18 B． C． D．【答案】C【分析】根据题意确定之间的关系以及与的关系即可得所求.【详解】由题意可知，，，，所以.故选：C.题型点播递推公式也是给出数列的一种方法，根据数列的递推公式，可以逐次写出数列的所有项．【变式1】已知数列为1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1，2，3，4，…，首先给出，接着复制该项后，再添加该项的后继数2，于是，，然后再复制前面所有的项1，1，2，再添加2的后继数3，于是，，，，接下来再复制前面所有的项1，1，2，1，1，2，3，再添加3的后继数4，…，如此继续，则（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根据题中规律得到a2n−1+【详解】由，，，，可得，所以，故．故选：A题型4Sn与an的关系【典例1】记为正项数列的前项和，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】令可得的值，当时，由得出，两式作差可推导出数列为常数列，求出数列的通项公式，即可得解.【详解】因为为正项数列的前项和，且，令可得，故，当时，，两式相减得到，即，故，于是为常数列，故，故，故.故选：B.题型点播已知求出依据的是的定义：，分段求解，然后检验结果能否统一形式，能就写成一个，否则只能写成分段函数的形式．【变式1】已知数列的前项和，则等于（

）A．15 B．18 C．21 D．24【答案】C【分析】根据即可求解.【详解】由可得，故选：C题型5数列单调性与最值【典例1】若单调递增数列满足，，则的取值范围是．【答案】【分析】根据求的取值范围.【详解】由，可得，两式相减可得：，又，所以..因为数列为递增数列，所以，故.故答案为：题型点播判断数列的单调性的方法（1）作差比较法：⇔数列是递增数列；⇔数列是递减数列；⇔数列是常数列．（2）作商比较法：当对所有n，an>0时，可根据a当对所有n，an<0时，商大于1若数列各项可能变号，不能直接使用上述作商结论。当已经证明数列在an前递增、在a【典例2】已知数列的通项公式为，则当取得最小值时，（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】利用作商法判断数列单调性，得出数列的最小值即可得解.【详解】由，则，令，则，由，解得，所以当时，，当时，，即当时，数列单调递减，当时，数列单调递增，又，，所以，即为数列的最小值，故当取得最小值时，.故选：B【变式1】已知数列的前项和为，且，若，则数列的最大项为（

）A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．第8项【答案】D【分析】由，先求出，从而得出，由讨论出其单调性，从而得出答案.【详解】当时，；由①得，当时，②，①②得，，即，又也符合该式，故.所以，由，得，解得；又，所以，则，由，解得，又，所以，则，因此的最大项为，故选：D.题型6周期数列【典例1】已知数列的前项和为，若，且，，则（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】由，得，可得数列的周期，利用周期性求和的方法，即可得解.【详解】由，得，所以数列是周期为4的数列，所以由，，得，，所以，所以，故选：D．题型点播形如：an=1−1a1【变式1】在数列中，，，对所有的正整数n都有，则．【答案】24【分析】根据给定条件，求出数列周期，进而求出.【详解】数列中，由，得，则，因此，数列是周期数列，周期为6，所以.故答案为：24强化训练（共10题）1．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数.他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的称为三角形数，第二行的称为正方形数.则根据以上规律，可推导出五边形数所构成的数列的第5项为（

）A．22 B．26 C．35 D．51【答案】C【分析】类比三角形数和正方形数得到五边形数，再由从第二项起，后项与前项的差依次为求解.【详解】解：如图，称为五边形数，从第二项起，后项与前项的差依次为，所以五边形数的第5项为，故选：C.2．已知数列满足：，则（

）A．1 B．3 C．7 D．9【答案】B【分析】根据数列的递推公式列出数列的前几项.【详解】由题意：，，.故选：B3．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意依次计算可判断选项正误.【详解】由题：.则ACD错误，B正确.故选：B4．（多选）设数列满足，，数列的前项的和为，前项的积为，，则（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】利用递推公式逐项计算可判断A选项；根据数列的前项的值可判断数列的周期性，可判断B选项；利用数列的周期性计算可判断CD选项.【详解】对于A选项，因为数列满足，，则，，，，A对；对于B选项，由A选项可知，数列是以3为周期的周期数列，即对任意，，B对；对于C选项，因为，且，则，C对；对于D选项，因为，则，D错.故选：ABC.5．若数列满足，，则（

）A．2 B．1 C． D．【答案】D【分析】通过递推公式罗列数列中前几项，找出数列的周期性计算即可.【详解】由，得：可知是以3为周期的数列，所以.故选：D.6．已知数列0，，，，…，根据该数列的规律，该数列中小于1的项有（

）A．8项 B．9项 C．10项 D．11项【答案】B【分析】观察数列可得通项公式为，解不等式可得结果.【详解】根据规律可得该数列的通项公式为，由得，．∵，∴该数列中小于1的项有9项．故选：B.7．在无穷数列中，均为正整数，且，记的前项和为.(1)若，求的值；(2)若，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据递推公式写出数列前项的值，即可求出的值；（2）对为奇数和偶数两种情况讨论，结合递推公式求出、，结合可求得的值.【详解】（1）在无穷数列中，均为正整数，且，当时，则，，，，，，，，所以.（2）①若是奇数，则是偶数，，由，得，解得，满足题意；②若是偶数，不妨设，则.若是偶数，则，由，得，此方程无整数解；若是奇数，则，由，得，此方程无整数解.综上，8．（多选）已知数列的前项和（），则下列正确的是（

）A．为递增数列 B．C． D．【答案】AB【分析】根据与的关系求出，逐一判断选项即得.【详解】∵，∴令得，当时，①，②，由①-②可得：，因当时，，故.因时，单调递增，且，故为递增数列，即A，B都正确，C，D都错误.故选：AB.9．已知数列的前n项和为，且，，则.【答案】【分析】利用可得答案.【详解】，，，当时，两式相减得，而，则.故答案为：.10．数列（

）A．既有最大项，又有最小项 B．有最大项，无最小项C．无最大项，有最小项 D．既无最大项，又无最小项【答案】A【分析】结合指数函数及反比例函数单调性和