人教A版高二数学秋季培优班 第18讲 等差数列前n项和（总部定稿版）（教师版）

第18讲等差数列前n项和目录题型01等差数列前n项和计算题型02等差数列前n项和比值问题题型03等差数列前n项和性质题型04等差数列前n项和最值题型05求数列前n项和题型06片段和与奇偶项和强化训练（共10题）知识小测（共4题）知识解读知识点01等差数列的前项和公式等差数列的前项和公式：1.2,证明：将代入可得：①倒序相加是数列求和的重要方法之一．②上面两个公式均为等差数列的求和公式，共涉及、、、、五个量，已知其中任意三个量，通过解方程组，便可求出其余两个量．知识点02等差数列的前项和的有关性质(1)若数列是公差为的等差数列,则数列也是等差数列,且公差为(2)设等差数列的公差为,为其前项和,则，，，,…组成公差为的等差数列(3)在等差数列{an}，{bn}中，它们的前n项和分别记为Sn，T(4)若等差数列{an}的项数为2n，则S2n=(5)若等差数列{an}的项数为2n−1，则S偶=(n−知识点03等差数列中的函数关系等差数列的通项公式是关于的一次函数（或常数函数）等差数列中，，令，则：（，是常数且为公差）（1）当时，为常数函数，为常数列；它的图象是在直线上均匀排列的一群孤立的点．（2）当时，是的一次函数；它的图象是在直线上均匀排列的一群孤立的点．①当时，一次函数单调增，为递增数列；=2\*GB3②当时，一次函数单调减，为递减数列．等差数列的前项和公式是关于的一个常数项为零的二次函数（或一次函数）由，令，，则：（，是常数）（1）当即时，，是关于的一个一次函数；它的图象是在直线上的一群孤立的点．（2）当即时，是关于的一个常数项为零的二次函数；它的图象是在抛物线上的一群孤立的点．=1\*GB3①当时有最小值=2\*GB3②当时，有最大值1、公差不为0的等差数列的通项公式是关于n的一次函数．2、（，是常数）是数列成等差数列的充要条件．3、公差不为0的等差数列的前项和公式是关于n的一个常数项为零的二次函数．4、（其中，为常数）是数列成等差数列的充要条件．知识点04等差数列前项和的最值（1）在等差数列中，当，时，有最大值，使取得最值的可由不等式组确定；当，时，有最小值，使取到最值的可由不等式组确定．（2），若，则从二次函数的角度看：当时，有最小值；当时，有最大值．当取最接近对称轴的正整数时，取到最值．题型精讲题型1等差数列前n项和计算【典例1】记等差数列的前项和为，若，则.【答案】9【分析】根据下标和性质求出，再根据等差数列求和公式及下标和性质计算可得.【详解】因为，所以，所以.故答案为：题型点播等差数列中的基本计算（1）利用基本量求值：等差数列的通项公式和前项和公式中有五个量和，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量和的方程组，解出和，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．（2）结合等差数列的性质解题：等差数列的常用性质：若，则，常与求和公式结合使用．【变式1】等差数列的前n项和为，则．【答案】【分析】根据等差数列的通项公式和前项和公式求解即可.【详解】设等差数列的公差为，则，解得，所以，故答案为：题型2等差数列前n项和比值问题【典例1】等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若，则等于（）A． B． C． D．【答案】A【分析】应用等差数列求和公式结合项的性质计算求解.【详解】等差数列与的前n项和分别为和，因为，所以.故选：A.题型点播设{an}，{bn}的前n项和为Sn，T【变式1】设两个等差数列，的前项和分别为、，已知，则=.【答案】【分析】根据等差数列前项和性质计算即可.【详解】由题意得所以.故答案为：题型3等差数列前n项和性质【典例1】已知等差数列的前项和为，若，，则（

）A．19 B．29 C．30 D．31【答案】A【分析】设等差数列的公差为，由条件结合等差数列通项公式和前项和公式可得，，解方程求，，再求可得结论.【详解】设等差数列的公差为，则，，所以，，，因为，，所以，，化简可得，，所以，，所以，故选：A.题型点播利用等差数列前n项和的性质简化计算（1）在解决等差数列问题时，先利用已知求出和，再求所求，是基本解法，有时运算量大些；（2）等差数列前项和的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果．（3）设而不求，整体代换也是很好的解题方法．【变式1】已知为等差数列的前项和，若且则（

）A．1 B．2 C．-1 D．-2【答案】B【分析】利用等差数列前项和公式，求解即可.【详解】由题意可得，，化简，所以，.故选：B.题型4等差数列前n项和最值【典例1】（多选）记为数列的前项和，已知，，则（

）A． B．取最小值时C．是等差数列 D．【答案】CD【分析】利用条件等式可判断A选项，由等差数列的定义先证明为等差数列，求出后结合二次函数的性质可判定B，由的关系得出结合等差数列的定义可判定C，由裂项相消法可判定D.【详解】对于A，由，可得，即，故A错误；对于B，条件变形有，所以是以为首项为公差的等差数列，则，所以，由二次函数的对称性可知或时取最小值，故B错误；对于C，由作差得，而，符合上式，所以，即是等差数列，公差为，故C正确；对于D，由上可知，所以，故D正确.故选：CD题型点播（1）等差数列前项和最大（小）值的情形①若，，则存在最大值，即所有非负项之和．②若，，则存在最小值，即所有非正项之和．（2）求等差数列前项和最值的方法①寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用或来寻找．②运用二次函数求最值．【变式1】（多选）已知是等差数列的前项和，，则下列说法正确的是（

）A．的公差为 B．C．数列为递增数列 D．当且仅当时，取得最大值【答案】AB【分析】A选项，设出公差，根据得到方程，求出公差；B选项，利用等差数列通项公式进行求解；C选项，计算出，得到单调性；D选项，在C基础上，由二次函数的性质可知，D错误.【详解】A选项，设等差数列的公差为，由，得，即，解得，A正确；B选项，，B正确；C选项，由上可知，所以，根据一次函数的性质可知，数列为递减数列，C错误；D选项，由二次函数的性质可知，其对称轴方程为，又，所以当或时，取得最大值，D错误．故选：AB题型5求数列前n项和【典例1】在数列中，，则数列的前32项和为（

）A．625 B．646 C．674 D．992【答案】C【分析】由题设易得，数列的前项和为，进而结合各项的正负情况求解即可.【详解】由，得，所以数列是以为首项，2为公差的等差数列，则，数列的前项和为，当时，，当时，，则数列的前32项和为.故选：C题型点播已知等差数列，求绝对值数列的有关问题是一种常见的题型，解决此类问题的核心便是去掉绝对值，此时应从其通项公式入手，分析哪些项是正的，哪些项是负的，即找出正、负项的“分界点”．【变式1】已知数列的前项和为，且满足，.(1)求证：数列是等差数列；(2)记，求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由已知等式变形得出，结合等差数列的定义可证得结论成立；（2）求出数列的通项公式，化简的表达式，结合等差数列的求和公式可求出数列的前项和.【详解】（1）因为，所以，即.又，所以数列是以为首项，为公差的等差数列.（2）由（1）知，可知，当时，，，当时，，，所以数列的前项和为.题型6片段和与奇偶项和【典例1】已知数列是等差数列，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据等差数列前项和的性质求解即可.【详解】由，得，设，为非零实数，则，因为数列是等差数列，所以，…，是以为首项，为公差的等差数列，所以，解得，所以，故选：D题型点播连续项的和依然成等差数列，即，，，…成等差数列，且公差为．（1）若项数为2n，则S2n=n(an+an（2）若等差数列{an}的项数为2n−1，则S偶=(n−【典例2】已知数列是等差数列．(1)若前四项和为21，末四项和为67，且前项和为286，求；(2)若，，求；(3)若项数为奇数，且奇数项和为44，偶数项和为33，求数列的中间项和项数．【答案】(1)(2)(3)中间项为，项数为7项【分析】（1）利用即可求解；（2）根据等差数列的前项和的性质：，，成等差数列即可求解；（3）设项数为，分别表示出奇数项和偶数项的和，即可求解项数和中间项.【详解】（1）依题意知，，所以，所以．因为，所以．（2）因为，，成等差数列，所以即．（3）设项数为，则奇数项有项，偶数项有项，中间项为，则，，所以．所以，中间项为，项数为7项．【变式1】已知一个项数为的等差数列，设其前项和为，其所有奇数项的和为480，所有偶数项的和为360，公差，则当为偶数时，此数列首尾两项之和为．【答案】56【分析】只需根据等差数列前项和性质求得的值，再结合等差数列性质即可求解.【详解】当为偶数时，由题意可知，所以，所以，此时，解得，，解得，则．故答案为：56.强化训练（共10题）1．在无穷等差数列中，公差为d，则“存在，使得”是“为d的整数倍”的（

）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】利用等差数列的通项公式、前n项和求法，结合充分、必要性的定义判断条件间的关系.【详解】若时成立，则，有，不满足为d的整数倍，充分性不成立，若为d的整数倍，当且，显然不存在使成立，必要性不成立.故选：D2．（多选）已知等差数列和的公差分别为，，的前n项和为，下列说法正确的有（

）．A．是关于n的二次函数 B．是关于n的二次函数C．数列是等差数列 D．若数列是等差数列，则【答案】CD【分析】由等差数列定义、通项公式、及求和公式逐项判断即可.【详解】对于A：因为是等差数列，所以是关于n的一次函数，A错；对于B：当公差时，不是关于n的二次函数，故B错；对于C：因为，且为常数，所以数列是等差数列，C对；对于D：因为数列是等差数列，所以，所以，即化简得，D对．故选：CD3．（多选）等差数列的前项和为，，，则下列说法正确的是（

）A．B．C．当或13时，取得最大值D．若．则数列的前36项和【答案】BCD【分析】利用等差数列的性质求得判断A；求出通项公式可判断B；由通项公式可得各项的符号判断C；利用并项求和法可得判断D.【详解】在等差数列中，有，所以，又因为，可得，所以，所以，所以，所以，所以，故A不正确；所以等差数列的公差，所以等差数列的通项公式为，故B正确．当时，；当时，；当时，，故当或13时，取得最大值，故C正确，因为，，所以，则，故D正确．故选：BCD.4．已知数列是等差数列，其前项和为．(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，且时，恒成立，试求实数的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据等差数列通项公式及求和公式基本量运算求解；（2）把恒成立问题转化为最值，再作商得出数列单调性即可求值.【详解】（1）因为，所以，因为，所以公差，，故；（2）因为，且时，恒成立，所以，因为时，，所以，所以，所以，所以实数的最小值为.5．（多选）在古希腊，毕达哥拉斯学派把，这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成正三角形（如图所示）．设第个三角形数为，则下列结论错误的是（）

A． B．C．1024是三角形数 D．【答案】BC【分析】先通过观察三角形数的相邻项差归纳规律，推导通项公式，再分别验证各选项的正确性.【详解】对于A，根据题意，数列满足由此归纳可得：，故A正确；对于B，由，则，故，故B错误；对于C，若1024是三角形数，则方程有正整数解，变形可得，此方程无正整数解，故C错误；对于D，，，故，故D正确.故选：.6．设等差数列的前n项和为，若，则（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】利用等差数列的性质和通项公式、前项和公式进行求解即可.【详解】由题意得，.两式相减得，解得.因为，化简得因为，所以由方程②可得，代入方程①可得，因为，化简得，解得.故选：D.7．年疫情期间，某医院天每天因患新冠肺炎而入院就诊的人数依次构成数列，已知，，且满足，则该医院天内因患新冠肺炎就诊的人数共有（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根据递推关系可知数列的奇数项成等差数列，偶数项为常数列，结合等差数列求和公式可求得结果.【详解】当为奇数时，，；当为偶数时，，；该医院天内因患新冠肺炎就诊的人数共有人.故选：B.8．等差数列前n项和为，设p：“且”，q：“是的最小值”，则（

）A．p是q的充分不必要条件 B．p是q的必要不充分条件C．p是q的充要条件 D．p是q的既不充分也不必要条件【答案】A【分析】结合等差数列的单调性，根据充分、必要条件的判断方法进行判断.【详解】等差数列中，设公差为.若且，则，所以，，所以.，，则当，时，取得最小值.因为，且，，，所以当时，取得最小值.所以能推出.若是的最小值，因为等差数列的前n项和有最小值，所以公差大于零，等差数列是递增数列.因为是的最小值，所以“”，或“且”，或“且”.所以推不出.因此，p是q的充分不必要条件.故选：A.9．记为数列的前项和，已知.(1)求，并求的通项公式；(2)求的前项和.【答案】(1)；(2)【分析】（1）由题可得当，可得，当时可得，，再结合题意可得，即可求解；（2）由（1）求出当、时的相应式子，即可求解.【详解】（1）当时，.当时，，，两式相减得，经检验，当时，，符合上式，所以.（2）由（1）可得数列为等差数列.当时，，，..此时，当时，，，..所以.综上，.10．（多选）怡海中学高三年级甲、乙、丙、丁四位同学玩报数游戏：第一轮，甲报数字，乙报数字，，丙报数字，，，丁报数字，，，；第二轮，甲报数字，，，，，依次循环，直到报出数字，游戏结束，则下列说法正确的有①．是乙报的

②．是丁报的③．甲共报了轮

④．甲在前四轮所报数字之和大于【答案】②③【分析】由条件可得甲、乙、丙、丁第轮的报数个数分别为，，，，计算前，轮所报数字的个数和，判断①，③，计算前，轮所报数字个数和判断②，计算前四轮甲所报数值的和判断④.【详解】甲、乙、丙、丁第轮的报数个数分别为，，，，前轮共报数个数为.当时，；当时，；且，故是甲报出的，且甲报了轮，①错误，③正确；对于②，当时，；当时，，