人教A版高二数学秋季培优班 第18讲 等差数列前n项和（总部定稿版）（学生版）

第18讲等差数列前n项和目录题型01等差数列前n项和计算题型02等差数列前n项和比值问题题型03等差数列前n项和性质题型04等差数列前n项和最值题型05求数列前n项和题型06片段和与奇偶项和强化训练（共10题）知识小测（共4题）知识解读知识点01等差数列的前项和公式等差数列的前项和公式：1.2,证明：将代入可得：①倒序相加是数列求和的重要方法之一．②上面两个公式均为等差数列的求和公式，共涉及、、、、五个量，已知其中任意三个量，通过解方程组，便可求出其余两个量．知识点02等差数列的前项和的有关性质(1)若数列是公差为的等差数列,则数列也是等差数列,且公差为(2)设等差数列的公差为,为其前项和,则，，，,…组成公差为的等差数列(3)在等差数列{an}，{bn}中，它们的前n项和分别记为Sn，T(4)若等差数列{an}的项数为2n，则S2n=(5)若等差数列{an}的项数为2n−1，则S偶=(n−知识点03等差数列中的函数关系等差数列的通项公式是关于的一次函数（或常数函数）等差数列中，，令，则：（，是常数且为公差）（1）当时，为常数函数，为常数列；它的图象是在直线上均匀排列的一群孤立的点．（2）当时，是的一次函数；它的图象是在直线上均匀排列的一群孤立的点．①当时，一次函数单调增，为递增数列；=2\*GB3②当时，一次函数单调减，为递减数列．等差数列的前项和公式是关于的一个常数项为零的二次函数（或一次函数）由，令，，则：（，是常数）（1）当即时，，是关于的一个一次函数；它的图象是在直线上的一群孤立的点．（2）当即时，是关于的一个常数项为零的二次函数；它的图象是在抛物线上的一群孤立的点．=1\*GB3①当时有最小值=2\*GB3②当时，有最大值1、公差不为0的等差数列的通项公式是关于n的一次函数．2、（，是常数）是数列成等差数列的充要条件．3、公差不为0的等差数列的前项和公式是关于n的一个常数项为零的二次函数．4、（其中，为常数）是数列成等差数列的充要条件．知识点04等差数列前项和的最值（1）在等差数列中，当，时，有最大值，使取得最值的可由不等式组确定；当，时，有最小值，使取到最值的可由不等式组确定．（2），若，则从二次函数的角度看：当时，有最小值；当时，有最大值．当取最接近对称轴的正整数时，取到最值．题型精讲题型1等差数列前n项和计算【典例1】记等差数列的前项和为，若，则.题型点播等差数列中的基本计算（1）利用基本量求值：等差数列的通项公式和前项和公式中有五个量和，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量和的方程组，解出和，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．（2）结合等差数列的性质解题：等差数列的常用性质：若，则，常与求和公式结合使用．【变式1】等差数列的前n项和为，则．题型2等差数列前n项和比值问题【典例1】等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若，则等于（）A． B． C． D．题型点播设{an}，{bn}的前n项和为Sn，T【变式1】设两个等差数列，的前项和分别为、，已知，则=.题型3等差数列前n项和性质【典例1】已知等差数列的前项和为，若，，则（

）A．19 B．29 C．30 D．31题型点播利用等差数列前n项和的性质简化计算（1）在解决等差数列问题时，先利用已知求出和，再求所求，是基本解法，有时运算量大些；（2）等差数列前项和的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果．（3）设而不求，整体代换也是很好的解题方法．【变式1】已知为等差数列的前项和，若且则（

）A．1 B．2 C．-1 D．-2题型4等差数列前n项和最值【典例1】（多选）记为数列的前项和，已知，，则（

）A． B．取最小值时C．是等差数列 D．题型点播（1）等差数列前项和最大（小）值的情形①若，，则存在最大值，即所有非负项之和．②若，，则存在最小值，即所有非正项之和．（2）求等差数列前项和最值的方法①寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用或来寻找．②运用二次函数求最值．【变式1】（多选）已知是等差数列的前项和，，则下列说法正确的是（

）A．的公差为 B．C．数列为递增数列 D．当且仅当时，取得最大值题型5求数列前n项和【典例1】在数列中，，则数列的前32项和为（

）A．625 B．646 C．674 D．992题型点播已知等差数列，求绝对值数列的有关问题是一种常见的题型，解决此类问题的核心便是去掉绝对值，此时应从其通项公式入手，分析哪些项是正的，哪些项是负的，即找出正、负项的“分界点”．【变式1】已知数列的前项和为，且满足，.(1)求证：数列是等差数列；(2)记，求数列的前项和.题型6片段和与奇偶项和【典例1】已知数列是等差数列，，则（

）A． B． C． D．题型点播连续项的和依然成等差数列，即，，，…成等差数列，且公差为．（1）若项数为2n，则S2n=n(an+an（2）若等差数列{an}的项数为2n−1，则S偶=(n−【典例2】已知数列是等差数列．(1)若前四项和为21，末四项和为67，且前项和为286，求；(2)若，，求；(3)若项数为奇数，且奇数项和为44，偶数项和为33，求数列的中间项和项数．【变式1】已知一个项数为的等差数列，设其前项和为，其所有奇数项的和为480，所有偶数项的和为360，公差，则当为偶数时，此数列首尾两项之和为．强化训练（共10题）1．在无穷等差数列中，公差为d，则“存在，使得”是“为d的整数倍”的（

）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．（多选）已知等差数列和的公差分别为，，的前n项和为，下列说法正确的有（

）．A．是关于n的二次函数 B．是关于n的二次函数C．数列是等差数列 D．若数列是等差数列，则3．（多选）等差数列的前项和为，，，则下列说法正确的是（

）A．B．C．当或13时，取得最大值D．若．则数列的前36项和4．已知数列是等差数列，其前项和为．(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，且时，恒成立，试求实数的最小值．5．（多选）在古希腊，毕达哥拉斯学派把，这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成正三角形（如图所示）．设第个三角形数为，则下列结论错误的是（）

A． B．C．1024是三角形数 D．6．设等差数列的前n项和为，若，则（

）A．2 B．4 C．6 D．87．年疫情期间，某医院天每天因患新冠肺炎而入院就诊的人数依次构成数列，已知，，且满足，则该医院天内因患新冠肺炎就诊的人数共有（

）．A． B． C． D．8．等差数列前n项和为，设p：“且”，q：“是的最小值”，则（

）A．p是q的充分不必要条件 B．p是q的必要不充分条件C．p是q的充要条件 D．p是q的既不充分也不必要条件9．记为数列的前项和，已知.(1)求，并求的通项公式；(2)求的前项和.10．（多选）怡海中学高三年级甲、乙、丙、丁四位同学玩报数游戏：第一轮，甲报数字，乙报数字，，丙报数字，，，丁报数字，，，；第二轮，甲报数字，，，，，依次循环，直到报出数字，游戏结束，则下列说法正确的有①．是乙报的

②．是丁报的③．甲共报了轮

④．甲在前四轮所报数字之和大于