人教A版高二数学秋季培优班 第20讲 等比数列前n项和（总部定稿版）（教师版）

第20讲等比数列前n项和目录题型01等比数列前n项和计算题型02等比数列前n项和性质题型03等比数列中Sn与an的关系题型04等比数列前n项和实际应用题型05片段和与奇偶项和题型06错位相减法求和强化训练（共10题）知识小测（共4题）知识解读知识点01等比数列的前项和公式等比数列的前项和公式（1）利用等比性质由等比数列的定义，有a为避免分母为0的除法风险，直接将对应项相加，得a2+a3+所以当时，或．（2）错位相减法等比数列的前n项和，①当时，，；②当时，由得：所以或．即①错位相减法是一种非常常见和重要的数列求和方法，除用于推导等比数列前n项和公式外，主要适用于等差数列与等比数列对应项乘积所组成的数列求和，要求理解并掌握此法．②在求等比数列前项和时，要注意区分和．③当时，等比数列的两个求和公式，共涉及、、、、五个量，已知其中任意三个量，通过解方程组，便可求出其余两个量．知识点02等比数列前项和的函数特征1、与的关系（1）当公比时，等比数列的前项和公式是，它可以变形为，设，则上式可以写成的形式，由此可见，数列的图象是函数图象上的一群孤立的点；（2）当公比时，等比数列的前项和公式是，则数列的图象是函数图象上的一群孤立的点．2、与的关系当公比时，等比数列的前项和公式是，它可以变形为设，，则上式可写成的形式，则是的一次函数．知识点03等比数列前项和的性质1、等比数列中，若项数为，则；若项数为，则．2、若等比数列的前n项和为，则，，…成等比数列（其中，，…均不为0）．3、若一个非常数列的前n项和，则数列为等比数列．题型精讲题型1等比数列前n项和计算【典例1】设正项等比数列的前项和为，，则的公比.【答案】【分析】根据条件建立方程，从而得，即可求解.【详解】因为，则①，②，将①代入②，得到，解得或（舍）故答案为：.题型点播等比数列前n项和运算的技巧（1）在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：、、、、，其中首项和公比为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答．（2）对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如，都可看作一个整体．（3）在解决与前项和有关的问题时，首先要对公比或进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．【变式1】（多选）已知是递增的等比数列，其前n项和为，若，则（

）A． B．C． D．不是等比数列【答案】AC【分析】设的公比为，根据题意求出基本量，进而逐项验证即可求解.【详解】设的公比为，则由，单调递增，得，因为，所以，解得或（舍去），对于A，，故A正确；对于B，，.故B错误；对于C，，，故C正确；对于D，，，所以是首项为3，公比为的等比数列，故D错误.故选：AC.题型2等比数列前n项和性质【典例1】设公比为q的等比数列的前n项和为，前n项积为，且，，，则下列结论正确的是（

）A． B．数列无最大值C．是数列中的最大值 D．【答案】D【分析】分析得到，当时，，当时，，从而得到有最大值，最大值为，，，得到D正确，ABC错误.【详解】A选项，，若，则对任意的，都有，则，不合要求，A错误；BC选项，若，则，与矛盾，不合要求，当时，，又，所以，即，又，故满足要求，故当时，，当时，，故有最大值，最大值为，BC错误；D选项，当时，，当时，，故，，所以，D正确.故选：D题型点播处理等比数列前项和有关问题的常用方法（1）运用等比数列的前项和公式，要注意公比和两种情形，在解有关的方程（组）时，通常用约分或两式相除的方法进行消元．（2）灵活运用等比数列前项和的有关性质．【变式1】设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（填序号）.①②③的最大值为④的最大值为【答案】①②③【分析】根据题意，再利用等比数列的定义以及性质逐一判断即可.【详解】因为，，，所以，所以，故①正确.，故②正确；又，所以的最大值为，故③正确.因为，，所以恒有，所以无最大值，故④错误；故答案为：①②③题型3等比数列中Sn与an的关系【典例1】记为数列的前n项和，已知.(1)证明：数列是等比数列；(2)设，求数列的前n项和.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）当时，求出的值，当时，由可得到，两式作差可得，结合等比数列的定义可证得结论成立；（2）由（1）中的结论可求出数列的通项公式，求得的表达式，再利用错位相减法可求得.【详解】（1）令时，，即得，当时，①，②，由①②得，，又由，又，，所以数列是以为首项，公比为的等比数列.（2），，因为，所以，，两式相减得：，所以.题型点播与的关系当公比时，等比数列的前项和公式是，它可以变形为设，，则上式可写成的形式，则是的一次函数．【变式1】（多选）记为数列的前项和.若，则（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】A令即可；利用降标作差求出，即可求出数列的通项公式，即可判断BC选项；D将通项公式代入即可.【详解】当时，，解得，A正确.当时，，所以，即，则是以为首项，2为公比的等比数列，所以，C正确；由上知，B错误；，D正确.故选：ACD题型4等比数列前n项和实际应用【典例1】某人工智能模型在语言训练时，每轮训练的模型参数的数量会发生变化．记第一轮训练的模型参数的数量为，若从第二轮开始，每一轮与它前一轮相比较，训练的模型参数增加的数量可以看成一个以为首项，公比为3的等比数列，则第五轮训练的模型参数的数量为．（用含的式子表示）【答案】41t【分析】由题意求等比数列的通项公式即可求解.【详解】设表示该模型第轮比第轮参数增加的数量，则，，所以是首项为，公比为3的等比数列，通项公式为：，所以，第一轮参数为，第二轮参数增加的数量为，第三轮参数增加的数量为，第四轮参数增加的数量为，第五轮参数增加的数量为，所以第五轮训练的模型参数的数量为.故答案为：题型点播解答数列应用题的步骤（1）审题——仔细阅读材料，认真理解题意．（2）建模——将已知条件翻译成数学（数列）语言，将实际问题转化成数学（数列）问题，弄清该数列的结构和特征．（3）求解——求出该问题的数学解．（4）还原——将所求结果还原到实际问题中．【变式1】在一次招聘会上，应聘者小李被甲、乙两家公司同时意向录取.甲公司给出的工资标准：第一年的年薪为4.2万元，以后每年的年薪比上一年增加6000元；乙公司给出的工资标准：第一年的年薪为4.8万元，以后每年的年薪比上一年增加.（参考数据：）(1)若小李在乙公司连续工作5年，则他在第5年的年薪是多少万元？(2)为了吸引小李的加盟，乙公司决定在原有工资的基础上每年固定增加交通补贴0.72万元.那么小李在甲公司至少要连续工作几年，他的工资总收入才不低于在乙公司工作10年的总收入？【答案】(1)约万元(2)11年【分析】（1）利用乙公司给出的工资标准：第一年的年薪为4.8万元，以后每年的年薪比上一年增加8%，即可求出他在第5年的年薪；（2）求出小李在甲公司工作连续工作n年的工资总收入，小李在乙公司工作10年的总收入，建立不等式，即可得出结论．【详解】（1）小李在乙公司工作第年的年薪为,小李在乙公司连续工作年，万元，所以，小李在乙公司连续工作5年，他在第5年的年薪约是万元；（2）由题意，小李在甲公司工作连续工作年的工资总收入为，小李在乙公司工作10年的总收入48000[则，即,，，小李在甲公司至少要连续工作11年，他的工资总收入才不低于在乙公司工作10年的总收入.题型5片段和与奇偶项和【典例1】（多选）关于等差数列和等比数列，下列说法正确的是（

）A．若数列为等比数列，且其前项的和，则B．若数列为等比数列，且，则C．若数列为等比数列，为前项和，则成等比数列D．若数列为等差数列，，且数列的前项和有最大值，那么取得最小正值时为【答案】AB【分析】对A，利用，求出，再利用等比数列的定义求出的值，即可判断A；对B，根据条件，利用等比数列的性质，即可求解；对C，通过举例即可说明；对D，结合条件，利用等差数列的性质得，进而可得，，即可求解.【详解】对于A，因为，则，，，由，得到，解得，故A正确，对于B，由，得到，所以，故B正确，对于C，取，显然有数列为等比数列，当为偶数时，，此时不成等比数列，故C错误，对于D，因为等差数列的前项和有最大值，故可得，因为，故可得，即，所以，可得，又，故可得，所以前项和在时取得最大值，且，又因为，，故取得最小正值时，所以D错误.故选：AB.题型点播若等比数列的前n项和为，则，，…成等比数列（其中，，…均不为0）．等比数列中，若项数为，则；若项数为，则．【典例2】已知无穷等比数列首项为，公比为r，无穷等比数列首项为，公比为s.(1)若＜1且，求：数列所有奇数项的和与数列所有偶数项的和；(2)若数列满足，且求：的值；(3)请按rs及rs的符号分类讨论，直接写出：【答案】(1)；(2)(3)令t=rs【分析】（1）由题意可知数列所有奇数项仍成等比数列，数列所有偶数项也成等比数列，根据等比数列的前项和公式表示出数列前个奇数项的和与数列前个偶数项的和，并分别求出当时它们的值，即为数列所有奇数项的和与数列所有偶数项的和；（2）根据所给递推公式求得数列的公比，代入，可求得的值；（3）由anbn=a【详解】（1）等比数列首项为a，公比为r，若＜1数列前个奇数项的和为若＜1，则由，得，所以当时，.所以数列所有奇数项的和为.等比数列首项为b，公比为s.，所以数列前个偶数项的和为若，则由，得，所以当时，.所以数列所有偶数项的和为.（2）若数列满足，则.由，得，解得.（3）由题可知an=a所以anbn=abrsn−1，因此当r【变式1】已知等比数列共有项，其和为，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比（

）A． B．2 C． D．【答案】B【分析】设奇数项和为,偶数项和为,再根据题意利用等比数列性质求解即可.【详解】设等比数列的奇数项和为,偶数项和为,则，解得，而奇数项与偶数项的项数相同，所以公比.故选：B题型6错位相减法求和【典例1】已知正项数列满足：.(1)证明是等比数列，并求通项；(2)若，求数列的前项和的表达式.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据递推关系即可证明等比数列，进而求得通项公式；（2）根据错位相减法直接求数列的前项和.【详解】（1）由，得，因为是正项数列，所以，即，又，所以是公比为的等比数列，又，得，所以，即.（2）由（1）知，所以.所以，即，，所以，所以.题型点播错位相减法的适用范围及注意事项（1）适用范围：它主要适用于是等差数列，是等比数列，求数列的前项和．（2）注意事项：①利用“错位相减法”时，在写出与的表达式时，应注意使两式交错对齐，以便于作差，正确写出的表达式．②利用此法时要注意讨论公比是否等于1的情况．【变式1】在数列中，．(1)证明：是等比数列；(2)若，求数列的前n项和．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由化简可得，再利用等比数列定义即可得证；（2）利用等比数列通项公式可得，再借助裂项相消法计算即可得解.【详解】（1）由anan+1因为a1=1>0，若an>0，则an于是1=则，故，又，故数列是以为首项，为公比的等比数列；（2）由数列是以为首项，为公比的等比数列，故，即，则，即，则.强化训练（共10题）1．已知正项数列满足，(1)若{an}(2)若，求数列的前2n项的和【答案】(1)(2)【分析】（1）利用等比数列通项公式列式求得，进而求出通项公式；（2）由题目递推式得，则有，因此数列是等比数列，利用等比数列求和公式求解即可．【详解】（1）因为数列是等比数列，设公比为，所以，所以，所以；（2）因为，，所以，因为，所以，所以，所以，则．2．已知在数列中，，，(1)求，，(2)求数列的通项公式．【答案】(1)，(2)【分析】（1）分别令，即可求解；（2）通过.即可求解.【详解】（1）令，可得，又，所以，令，可得，又，所以；（2），，当时，符合，所以3．（多选）已知是递增的等比数列，其前n项和为，若，则下列说法正确的是（）A． B． C． D．是等比数列【答案】ACD【分析】根据已知条件结合等比数列的性质，求出的公比和首项，再利用等比数列的通项公式及前项和公式逐一分析判断各选项．【详解】是递增的等比数列，设首项为，公比为，，化简变形得：，解得或（数列递增，舍去），，故A正确；，，，故B错误；，，故C正确；，，是首项为3，公比为的等比数列，故D正确．故选：．4．设数列的前项和为，且，记，数列的前n项和为，若不等式对任意的恒成立，则m的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由求得，再通过错位相减法得到，将不等式转化成，求出函数的最小值即可.【详解】由，可得：，当时，符合，所以，所以，两边同乘以，得两式相减，得，所以．则由可得即，对任意的恒成立，令，则，且，当时，，当，时，，所以的最小值为，所以.故选：D5．记为数列的前项和．已知．(1)求的通项公式；(2)记为在区间上的项的个数，求数列的前项和．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据给定条件，利用变形，再利用等差数列定义求出通项公式.（2）求出，再利用分组求和法及等比数列前项和公式求解.【详解】（1）当时，由，得，则，又，因此数列是以1为公差，2为首项的等差数列，.（2）由（1）知，且，而区间内有个整数，则，因此，所以数列的前项和Tm=26．已知无穷数列各项均为正实数，其前项的和为，若对任意的正整数，均存在正整数，使得成立，则称为“正向控制数列”；若对任意的正整数，均存在正整数，使得成立，则称为“反向控制数列”．现有下列两个命题：（1）存在等差数列既为“正向控制数列”，又为“反向控制数列”；（2）存在等比数列既为“正向控制数列”，又为“反向控制数列”．则下列说法正确的是（

）A．（1）是真命题，（2）是假命题B．（1）是假命题，（2）是真命题C．（1）（2）都是真命题D．（1）（2）都是假命题【答案】B【分析】根据等差数列的函数性质，即可求解（1）的真假，举例子即可求解（2）的真假.【详解】若等差数列不是常数列，由题意可得公差，则可看成关于的一次函数，可看成关于的二次函数，即，，由得，当足够大时，不成立，故命题（1）不成立；若等差数列是常数列，设，则，显然当时，此时，故命题（1）不成立；综上可知，对任意的等差数列，命题（1）是假命题；取等比数列，则，若对任意的正整数，均存在正整数,不妨取，使得，则对任意的正整数，不妨取，，因此既为“正向控制数列”，又为“反向控制数列”．故命题（2）正确.故选：B.7．已知，均为等比数列，且，.(1)求，的通项公式.(2)证明：为定值.(3)求数列的前2n项和.【答案】(1)，.(2)证明见解析(3)【分析】（1）求得等比数列，的公比，进而求得通项公式.（2）通过计算证明anan（3）利用分组求和法求得.【详解】（1）依题意可得的公比为，首项，的公比为，首项，所以，.（2）因为，，所以为定值.（3）.8．已知等差数列的前n项和为，等比数列的前n项和为，，，．(1)若，求；(2)若，且数列为递增数列，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据等差数列通项公式基本量的运算和等比数列通项公式基本量的运算列式求解公比，然后代入等比数列求和公式求解即可；（2）根据等比数列前n项和概念和等比数列通项公式基本量的运算求得公比，然后代入等差数列求和公式求解即可.【详解】（1），①，又，②，由①②得：或（舍去），又，；（2），，或，又数列为递增数列，，代入得，又，.9．已知正项等比数列的前项和为，公比为，则．【答案】【分析】根据已知有，结合等比数列的前n项和及通项公式得求公比，再由确定最终值.【详解】由题设易知，，即，所以，解得或，因为，所以，所以.故答案为：210．（多选）等比数列的前项和，前项积记为，则（

）A．公比为2 B．C． D．有最小值【答案】ABD【分析】根据等比数列前项和公式，结合求出公比及通项，再逐项求解判断.【详解】由等比数列的前项和，得，，对于A，等比数列的公比，A正确；对于B，由，得，即，解得，