人教A版高二数学秋季培优班 第20讲 等比数列前n项和（总部定稿版）（学生版）

第20讲等比数列前n项和目录题型01等比数列前n项和计算题型02等比数列前n项和性质题型03等比数列中Sn与an的关系题型04等比数列前n项和实际应用题型05片段和与奇偶项和题型06错位相减法求和强化训练（共10题）知识小测（共4题）知识解读知识点01等比数列的前项和公式等比数列的前项和公式（1）利用等比性质由等比数列的定义，有a为避免分母为0的除法风险，直接将对应项相加，得a2+a3+所以当时，或．（2）错位相减法等比数列的前n项和，①当时，，；②当时，由得：所以或．即①错位相减法是一种非常常见和重要的数列求和方法，除用于推导等比数列前n项和公式外，主要适用于等差数列与等比数列对应项乘积所组成的数列求和，要求理解并掌握此法．②在求等比数列前项和时，要注意区分和．③当时，等比数列的两个求和公式，共涉及、、、、五个量，已知其中任意三个量，通过解方程组，便可求出其余两个量．知识点02等比数列前项和的函数特征1、与的关系（1）当公比时，等比数列的前项和公式是，它可以变形为，设，则上式可以写成的形式，由此可见，数列的图象是函数图象上的一群孤立的点；（2）当公比时，等比数列的前项和公式是，则数列的图象是函数图象上的一群孤立的点．2、与的关系当公比时，等比数列的前项和公式是，它可以变形为设，，则上式可写成的形式，则是的一次函数．知识点03等比数列前项和的性质1、等比数列中，若项数为，则；若项数为，则．2、若等比数列的前n项和为，则，，…成等比数列（其中，，…均不为0）．3、若一个非常数列的前n项和，则数列为等比数列．题型精讲题型1等比数列前n项和计算【典例1】设正项等比数列的前项和为，，则的公比.题型点播等比数列前n项和运算的技巧（1）在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：、、、、，其中首项和公比为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答．（2）对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如，都可看作一个整体．（3）在解决与前项和有关的问题时，首先要对公比或进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．【变式1】（多选）已知是递增的等比数列，其前n项和为，若，则（

）A． B．C． D．不是等比数列题型2等比数列前n项和性质【典例1】设公比为q的等比数列的前n项和为，前n项积为，且，，，则下列结论正确的是（

）A． B．数列无最大值C．是数列中的最大值 D．题型点播处理等比数列前项和有关问题的常用方法（1）运用等比数列的前项和公式，要注意公比和两种情形，在解有关的方程（组）时，通常用约分或两式相除的方法进行消元．（2）灵活运用等比数列前项和的有关性质．【变式1】设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（填序号）.①②③的最大值为④的最大值为题型3等比数列中Sn与an的关系【典例1】记为数列的前n项和，已知.(1)证明：数列是等比数列；(2)设，求数列的前n项和.题型点播与的关系当公比时，等比数列的前项和公式是，它可以变形为设，，则上式可写成的形式，则是的一次函数．【变式1】（多选）记为数列的前项和.若，则（

）A． B．C． D．题型4等比数列前n项和实际应用【典例1】某人工智能模型在语言训练时，每轮训练的模型参数的数量会发生变化．记第一轮训练的模型参数的数量为，若从第二轮开始，每一轮与它前一轮相比较，训练的模型参数增加的数量可以看成一个以为首项，公比为3的等比数列，则第五轮训练的模型参数的数量为．（用含的式子表示）题型点播解答数列应用题的步骤（1）审题——仔细阅读材料，认真理解题意．（2）建模——将已知条件翻译成数学（数列）语言，将实际问题转化成数学（数列）问题，弄清该数列的结构和特征．（3）求解——求出该问题的数学解．（4）还原——将所求结果还原到实际问题中．【变式1】在一次招聘会上，应聘者小李被甲、乙两家公司同时意向录取.甲公司给出的工资标准：第一年的年薪为4.2万元，以后每年的年薪比上一年增加6000元；乙公司给出的工资标准：第一年的年薪为4.8万元，以后每年的年薪比上一年增加.（参考数据：）(1)若小李在乙公司连续工作5年，则他在第5年的年薪是多少万元？(2)为了吸引小李的加盟，乙公司决定在原有工资的基础上每年固定增加交通补贴0.72万元.那么小李在甲公司至少要连续工作几年，他的工资总收入才不低于在乙公司工作10年的总收入？题型5片段和与奇偶项和【典例1】（多选）关于等差数列和等比数列，下列说法正确的是（

）A．若数列为等比数列，且其前项的和，则B．若数列为等比数列，且，则C．若数列为等比数列，为前项和，则成等比数列D．若数列为等差数列，，且数列的前项和有最大值，那么取得最小正值时为题型点播若等比数列的前n项和为，则，，…成等比数列（其中，，…均不为0）．等比数列中，若项数为，则；若项数为，则．【典例2】已知无穷等比数列首项为，公比为r，无穷等比数列首项为，公比为s.(1)若＜1且，求：数列所有奇数项的和与数列所有偶数项的和；(2)若数列满足，且求：的值；(3)请按rs及rs的符号分类讨论，直接写出：【变式1】已知等比数列共有项，其和为，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比（

）A． B．2 C． D．题型6错位相减法求和【典例1】已知正项数列满足：.(1)证明是等比数列，并求通项；(2)若，求数列的前项和的表达式.题型点播错位相减法的适用范围及注意事项（1）适用范围：它主要适用于是等差数列，是等比数列，求数列的前项和．（2）注意事项：①利用“错位相减法”时，在写出与的表达式时，应注意使两式交错对齐，以便于作差，正确写出的表达式．②利用此法时要注意讨论公比是否等于1的情况．【变式1】在数列中，．(1)证明：是等比数列；(2)若，求数列的前n项和．强化训练（共10题）1．已知正项数列满足，(1)若{an}(2)若，求数列的前2n项的和2．已知在数列中，，，(1)求，，(2)求数列的通项公式．3．（多选）已知是递增的等比数列，其前n项和为，若，则下列说法正确的是（）A． B． C． D．是等比数列4．设数列的前项和为，且，记，数列的前n项和为，若不等式对任意的恒成立，则m的取值范围为（

）A． B． C． D．5．记为数列的前项和．已知．(1)求的通项公式；(2)记为在区间上的项的个数，求数列的前项和．6．已知无穷数列各项均为正实数，其前项的和为，若对任意的正整数，均存在正整数，使得成立，则称为“正向控制数列”；若对任意的正整数，均存在正整数，使得成立，则称为“反向控制数列”．现有下列两个命题：（1）存在等差数列既为“正向控制数列”，又为“反向控制数列”；（2）存在等比数列既为“正向控制数列”，又为“反向控制数列”．则下列说法正确的是（

）A．（1）是真命题，（2）是假命题B．（1）是假命题，（2）是真命题C．（1）（2）都是真命题D．（1）（2）都是假命题7．已知，均为等比数列，且，.(1)求，的通项公式.(2)证明：为定值.(3)求数列的前2n项和.8．已知等差数列的前n项和为，等比数列的前n项和为，，，．(1)若，求；(2)若，且数列为递增数列，求．9．已知正项等比数列的前项和为，公比为，则．10．（多选）等比数列的前项和，前项积记为，则（

）A．公比为2 B．C． D．有最小值知识小测（共4题）1．（多选）已知数列是等比数列，以下结论正