人教A版高一数学秋季培优班 第5讲 基本不等式及其应用（总部定稿版）（学生版）

第5讲基本不等式及其应用目录题型01基本不等式的理解与恒成立初步题型02基本不等式比较大小题型03利用基本不等式证明不等式题型04利用基本不等式求最值题型05基本不等式中的恒成立问题题型06基本不等式的实际应用强化训练（共12题）知识小测（共5题）知识解读基本不等式知识点01基本不等式1.对公式及的理解.（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；（2）取等号“=”的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”.2.由公式和可以引申出常用的常用结论①（同号）；②（异号）；③或知识点02基本不等式的证明方法一：几何面积法如图，在正方形中有四个全等的直角三角形.设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为.这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为.由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：.当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有.得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”）特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得：如果，，则，（当且仅当时取等号“=”）.通常我们把上式写作：如果，，，（当且仅当时取等号“=”）方法二：代数法∵，当时，；当时，.所以，（当且仅当时取等号“=”）.知识点03基本不等式的几何意义如图，是圆的直径，点是上的一点，，，过点作交圆于点D，连接、.易证Rt△ACD这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立.知识点04用基本不等式求最大（小）值在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.①一正：参与基本不等式的各项均为正数；②二定：用基本不等式直接求最值时，通常需要将有关各项配凑成和为定值或积为定值的形式；③三取等：基本不等式的等号条件必须能够在题目定义域内同时成立，所得界值才是最值.题型精讲题型1基本不等式的理解与恒成立初步【典例1】已知不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．题型点播应用基本不等式时的三个关注点(1)一正：参与基本不等式的各项均为正数.(2)二定：用基本不等式直接求最值时，通常需要将有关各项配凑成和为定值或积为定值的形式.(3)三取等：基本不等式的等号条件必须能够在题目定义域内同时成立，所得界值才是最值.【变式1】已知，且恒成立，则的最大值为（

）A．3 B．4 C．5 D．6题型2基本不等式比较大小【典例1】下列不等式恒成立的是（

）A． B． C． D．题型点播利用基本不等式比较大小在利用基本不等式比较大小时，应创设应用基本不等式的使用条件，合理地拆项、配凑或变形．在拆项、配凑或变形的过程中，首先要考虑基本不等式使用的条件，其次要明确基本不等式具有将“和式”转化为“积式”或者将“积式”转化为“和式”的放缩功能．【变式1】设a、b是正实数，以下不等式①；②a>|a－b|－b；③a2＋b2>4ab－3b2；④ab＋>2恒成立的序号为（

）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④题型3利用基本不等式证明不等式【典例1】存在三个实数，满足下列两个等式：①；②，其中表示这三个实数中的最大值，则（

）A．的最大值是2 B．的最小值是2C．的最大值是 D．的最小值是题型点播利用基本不等式证明不等式时应注意的问题(1)注意基本不等式成立的条件；(2)多次使用基本不等式，要注意等号能否成立；(3)对不能直接使用基本不等式证明的可重新组合，形成基本不等式模型，再使用．【变式1】已知为不相等的正实数，满足．则下列不等式中不正确的为（

）A． B．C． D．题型4利用基本不等式求最值【典例1】已知，，且，则的最大值（

）A．12 B． C．36 D．题型点播利用基本不等式求代数式的最值(1)利用基本不等式求代数式的最值，要通过恒等变形以及配凑，使“和”或“积”为定值，从而求得代数式的最大值或最小值．(2)若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，解答技巧都是恰当变形、合理拆分项或配凑因式．【变式1】已知，则的最大值为．已知，，且，则的最小值为【变式2】已知正数a，b满足，则的最小值为．题型5基本不等式中的恒成立问题【典例1】设，不等式恒成立，则a的最小值是（

）A． B．1 C．2 D．题型点播利用基本不等式求解恒成立问题，通常通过分离参数转化为利用基本不等式求最值【变式1】已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B．，或C． D．，或题型6基本不等式的实际应用【典例1】某厂家拟2024年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足(为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）.(1)求的值；(2)将2024年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数；(3)该厂家2024年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？题型点播利用基本不等式解决实际问题的步骤解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题.用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数.(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题.(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值.(4)正确写出答案.【变式1】我国某企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万元，且年产量x（单位：千部）与另投入成本（单位：万元）的关系式为由市场调研知，每部手机售价为0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.(1)求2023年的利润（单位：万元）关于年产量（单位：千部）的函数关系式（利润=销售额-成本）；(2)当2023年年产量为多少时，企业所获利润最大?最大利润是多少?强化训练（共12题）1．（多选）已知（a，b，），且，则（

）A． B．存在a，c使得C．不存在a，c使得 D．2．已知，，，且，则的最小值为（

）A． B． C．1 D．3．已知且，则的最小值为（

）A． B． C．4 D．64．已知，，，则的最小值为.5．已知实数，满足，且，则的最小值为（

）A．4 B．5C． D．6．一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客，则顾客得到的黄金实际克数（

）A．大于10克 B．等于10克 C．小于10克 D．与砝码放置顺序有关7．（多选）已知，则（

）A． B．C． D．8．求下列各题的最值．(1)已知，求的最小值；(2)设，求函数的最大值．9．（1）已知，证明：（2）已知，证明：10．发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略措施，某汽车工业园区正在不断建设，计划在园区建造一个高为3米，宽度为（单位：米），地面面积为81平方米的长方体形状的储物室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案：方案一：储物室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，总计报价记为；方案二：其给出的整体报价为元，(1)当宽度为8米时，方案二的报价为29700元，求的值；(2)求的函数解析式，并求报价的最小值；(3)若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求的取值范围.11．求最值：(1)已知，且满足，求的最小值；(2)已知，求的最大值；(3)已知，且满足，求的最小值.12．如图，设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，设，求的最大面积及相应的值．知识小测（共5题）1．（多选）下列命题正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，，，则D．若，，，则2．若关于的一元一次不等式组有2个负整数解，则的取值范围是（