人教A版高一数学秋季培优班 第6讲 一元二次方程与不等式（总部定稿版）（教师版）

第6讲一元二次方程与不等式目录题型01一元二次不等式解法与集合关系题型02一元二次方程根的分布与系数关系题型03含参数的一元二次不等式题型04分式不等式的解法题型05实际问题中的一元二次不等式题型06不等式恒成立问题强化训练（共11题）知识小测（共5题）知识解读二次函数与一元二次方程、不等式知识点01一元二次不等式的概念一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如或(其中a，b，c均为常数，的不等式都是一元二次不等式．知识点02二次函数的零点一般地，对于二次函数y＝ax²＋bx＋c（a≠0），我们把使ax²＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax²＋bx＋c的零点.否则当a＝0时，该函数不是二次函数。知识点03一元二次不等式的解集的概念使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集．知识点04二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集.二次函数（）的图象有两相异实根有两相等实根无实根知识点05利用不等式解决实际问题的一般步骤1.选取合适的字母表示题中的未知数；2.由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)；3.求解所列出的不等式(组)；4.结合题目的实际意义确定答案．知识点06一元二次不等式恒成立问题1.转化为一元二次不等式解集为的情况，即恒成立恒成立2.分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题.知识点07简单的分式不等式的解法系数化为正，大于取“两端”，小于取“中间”题型精讲题型1一元二次不等式解法与集合关系【典例1】已知，，若，则的最小值为.【答案】9【详解】因，，则，，两边同乘得，整理得，又，，从而，则，当且仅当且，即时等号成立，则有，即，即，又，解得，当且仅当时等号成立，所以的最小值为9.故答案为：9.题型点播解不含参数的一元二次不等式的一般步骤1.通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正．2.对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式．3.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根．4.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图．5.根据图象写出不等式的解集．【变式1】已知集合，集合.(1)若，求和；(2)设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2)【详解】（1）已知，解不等式：移项可得，通分得到，即.此不等式等价于.解，可得，所以.已知，当时，.解不等式，可得，即，所以.所以..（2）已知，解不等式，可得，即，所以.因为是成立的必要不充分条件，所以B⊂A.则有（不能同时取等号），解得.所以实数的取值范围是题型2一元二次方程根的分布与系数关系【典例1】已知是一元二次方程的两个不相等的实数根．(1)若两根同号，求实数的取值范围；(2)求使得的值为整数的整数的值．【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意得即，所以实数的取值范围为；（2）由（1）知，当时，方程有两个实数根，可知，于是，由，则，则，即要使的值为正整数，且为整数，则，则有，化简得，则，令，此时为整数，则满足题意．故使得的值为整数的整数的值为.题型点播三个“二次”之间的关系1.三个“二次”中，一元二次函数是主体，讨论一元二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究．2.讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的一元二次函数相联系，通过一元二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下：【变式1】已知关于的一元二次方程.(1)若上述方程的两根都是正数，求实数的取值范围；(2)若上述方程无正数根，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）关于的一元二次方程有两根，可得，解得，且又两根为正根，所以，，即，解得或故实数的取值范围为；（2）由题意可知：，若，解得，此时无实数根，满足题意；若，解得，且，设此时两实数根分别为，，则由题意得，，则，解得，综上：实数的取值范围为.题型3含参数的一元二次不等式【典例1】若“”是“”的一个充分不必要条件，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意可得，且，又，，则解得，故选：D．题型点播解含参数的一元二次不等式的一般步骤若二次项系数含参数，应先讨论其是否为0。当二次项系数为0时，按一次不等式或常数不等式求解；当二次项系数不为0时，再根据其正负将二次项系数化为正，并讨论判别式及两根的大小关系。确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．【变式1】已知二次函数（）．(1)若二次函数的图像与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，且的面积为3，求实数a的值；(2)求关于x的不等式的解集．【答案】(1)或(2)答案见解析【详解】（1）令，则有，得两点的横坐标分别为，令，得点的坐标为，故的面积为，解得或.（2）不等式可化为，①当时，不等式的解集为或，②当时，不等式的解集为，③当时，不等式的解集为，④当时，不等式的解集为.题型4分式不等式的解法【典例1】当时，关于的分式不等式的解区间为．【答案】【详解】由，当时，有，∴解区间为．故答案为：.题型点播分式不等式转化为整式不等式的基本类型有哪些？2.3.且4.且【变式1】解下列分式不等式（1）；（2）；（3）.【答案】（1）或；（2）；（3）.【详解】（1），有，解得或（2）知：，故∴且，解得（3）∴可化为即，解得题型5实际问题中的一元二次不等式【典例1】某地区上年度电价为0.8元/，年用电量为.本年度计划将电价降到0.55元/至0.75元/之间，而用户期望电价为0.4元/.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为K）.该地区的电力成本为0.3元/.设，为保证电力部门的收益比上年至少增长20%，则电价最低定为（

）A．0.55元/ B．0.6元/ C．0.7元/ D．0.75元/【答案】B【详解】设下调后的电价为x元/.依题意知用电量增至，电力部门的收益为.依题意有，整理得.又，解得.题型点播利用不等式解决实际问题需注意以下四点1.阅读理解材料：应用题所用语言多为文字语言，而且不少应用题文字叙述篇幅较长．阅读理解材料要达到的目的是将实际问题抽象成数学模型，这就要求解题者领悟问题的实际背景，确定问题中量与量之间的关系，初步形成用怎样的模型能够解决问题的思路，明确解题方向．2.建立数学模型：根据(1)中的分析，把实际问题用“符号语言”“图形语言”抽象成数学模型，并且，建立所得数学模型与已知数学模型的对应关系，以便确立下一步的努力方向．3.讨论不等关系：根据(2)中建立起来的数学模型和题目要求，讨论与结论有关的不等关系，得到有关理论参数的值．4.作出问题结论：根据(3)中得到的理论参数的值，结合题目要求作出问题的结论．【变式1】某公司为了竞标某活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为元，年销售万件.(1)据市场调查，若价格每提高元，销售量将相应减少件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元?(2)为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元.公司拟投入万元作为技改费用，投入万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价.【答案】(1)元(2)答案见解析【详解】（1）设每件定价为元，由题意可，整理可得，解得，要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为元.（2）依题意，当时，有解，等价于当时，有解，由基本不等式可得，当且仅当时，即当时，等号成立，则，所以，当该商品明年的销售量至少应达到万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为元.题型6不等式恒成立问题【典例1】若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是.【答案】【详解】由题设，在上恒成立，而，所以.故答案为：题型点播处理不等式恒成立问题时，应先明确自变量的取值范围。若对一切实数恒成立，可转化为不等式的解集为R；若在某个区间或正实数范围内恒成立，则应转化为相应函数在指定范围内的最值问题，并注意讨论二次项系数。【变式1】若不等式对正实数恒成立，求实数的取值范围.【答案】【详解】当时，开口向下，则在上存在的情况，不符；当时，显然在上不恒成立，不符；当时，开口向上且对称轴为，所以，在上，只需，可得（舍），综上，强化训练（共11题）1．（多选）抛物线的顶点坐标为，其大致图象如图所示，下列结论正确的是（

）A．B．C．若方程有两个根，且；则D．若方程有四个根，则这四个根的和为4【答案】BCD【详解】由的顶点坐标为，则，则，由抛物线图象开口向下，所以，所以，所以A错误；，所以B正确；令，则的两根为，且开口向下，因为方程有两个根，且，所以与的两交点为，所以，所以C正确；，其对称轴为，因为方程有四个根，分别为，根据对称性知，所以这四个根的和为4，所以D正确.故选：BCD2．已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最小值为（

）A．4 B． C．2 D．1【答案】C【详解】由题意可知：，m是方程的两根，且，则，可得，，则，当且仅当时取等号，所以的最小值为2.故选：C.3．若不等式的解集为，则（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】由题意可知：的两根为，所以解得：，经检验符合条件，故选：A4．命题“，”为真命题的充要条件是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意可得，解得，故选：D.5．若不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】不等式对一切实数恒成立，则则实数.故选：B.6．对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为对任意，不等式恒成立.所以，其中，设，，因为，所以当时，函数，取最小值，最小值为，所以，故选：A.7．已知函数，若非空集合，，满足，则实数的取值范围是【答案】【详解】由，可得，即，由，可得在上恒成立，即，解得，又集合A是非空集合，所以在上有解，则，解得或，综合可得：．故答案为：8．已知函数，.(1)若，求方程的根；(2)函数.求的表达式及在上的值域；(3)函数，求在区间上的最小值.【答案】(1)或(2)，(3)【详解】（1）当时，，则或.（2）如图：

由函数图象可知：，当时，，即函数的值域为；（3），对称轴：，①时，，所以在上单调递减，∴；②当时，，即，③当时，所以在上单调递增，即，∴9．如图，某中学准备在校园里利用院墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园，已知院墙长为25米.篱笆长60米（篱笆全部用完），设篱笆的一面的长为米．

(1)当的长为多少米时，矩形花园的面积为400平方米?(2)若围成的矩形的面积为平方米，当为何值时，有最大值，最大值是多少?【答案】(1)20(2)时，有最大值，最大值为【详解】（1）由已知可得，，所以，又，所以，面积，整理可得，，解得（舍）或，所以的长应为20米；（2）由已知可得，，.又，根据二次函数的性质可知，在上单调递减，所以，当时，有最大值.10．函数，.(1)记，求的取值范围.(2)记函数的最小值为，求.(3)求方程的解集.【答案】(1)(2)(3)【详解】（1），其中，则，因为，所以，所以，.（2）由得，所以，令，，则有：①当时，，，②当时，在上单调递增，则，③当时，是一个开口向下的二次函数，且对称轴，此时，④当时，是一个开口向下的二次函数，且对称轴，此时，综上：.（3）由（2）可知①当时，，此时解得；②当时，若，即，则，此时方程无解；若，即时，，此时方程的解为；综上，方程的解集为.11．已知命题；命题．(1)若是真命题，求实数的取值范围；(2)若和都为真命题，求实数的取值范围．【答案】(1)或(2)或【详解】（1）若命题为真，则，即，解得：，而是真命题，所以命题为假命题，所以或.（2）由（1）知，命题为真时，；若为真命题，则，解得或.故命题和命题都为真命题，则，解得或，即实数的取值范围为或知识小测（共5题）1．已知二次函数，当时，函数最大值为，最小值为.若，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】二次函数的对称轴为直线，且，若，且当时，随着的增大而减小，故，，因为，故5（t²－2t＋2）＝2，整理得5t²－10t＋8＝0，Δ＝100－160＝－60＜0，故方程5t²－10t＋8＝0无解，不合乎题意；若，当时，随着的增大而减小；当时，随着的增大而增大.故，若，则，此时，若，则，由得，可得，因为，解得，所以，.综上所述，.故选：C.2．实数x，y，z满足，，则z的最大值是.【答案】【详解】因为，所以，即，又，所以，又，因为.所以，整理得：.所以的最大值为：.故答案为：3．已知二次函数满足：且，则.【答案】25【详解】设二次