人教A版高一数学秋季培优班 第6讲 一元二次方程与不等式（总部定稿版）（学生版）

第6讲一元二次方程与不等式目录题型01一元二次不等式解法与集合关系题型02一元二次方程根的分布与系数关系题型03含参数的一元二次不等式题型04分式不等式的解法题型05实际问题中的一元二次不等式题型06不等式恒成立问题强化训练（共11题）知识小测（共5题）知识解读二次函数与一元二次方程、不等式知识点01一元二次不等式的概念一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如或(其中a，b，c均为常数，的不等式都是一元二次不等式．知识点02二次函数的零点一般地，对于二次函数y＝ax²＋bx＋c（a≠0），我们把使ax²＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax²＋bx＋c的零点.否则当a＝0时，该函数不是二次函数。知识点03一元二次不等式的解集的概念使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集．知识点04二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集.二次函数（）的图象有两相异实根有两相等实根无实根知识点05利用不等式解决实际问题的一般步骤1.选取合适的字母表示题中的未知数；2.由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)；3.求解所列出的不等式(组)；4.结合题目的实际意义确定答案．知识点06一元二次不等式恒成立问题1.转化为一元二次不等式解集为的情况，即恒成立恒成立2.分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题.知识点07简单的分式不等式的解法系数化为正，大于取“两端”，小于取“中间”题型精讲题型1一元二次不等式解法与集合关系【典例1】已知，，若，则的最小值为.题型点播解不含参数的一元二次不等式的一般步骤1.通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正．2.对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式．3.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根．4.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图．5.根据图象写出不等式的解集．【变式1】已知集合，集合.(1)若，求和；(2)设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围.题型2一元二次方程根的分布与系数关系【典例1】已知是一元二次方程的两个不相等的实数根．(1)若两根同号，求实数的取值范围；(2)求使得的值为整数的整数的值．题型点播三个“二次”之间的关系1.三个“二次”中，一元二次函数是主体，讨论一元二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究．2.讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的一元二次函数相联系，通过一元二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下：【变式1】已知关于的一元二次方程.(1)若上述方程的两根都是正数，求实数的取值范围；(2)若上述方程无正数根，求实数的取值范围.题型3含参数的一元二次不等式【典例1】若“”是“”的一个充分不必要条件，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．题型点播解含参数的一元二次不等式的一般步骤若二次项系数含参数，应先讨论其是否为0。当二次项系数为0时，按一次不等式或常数不等式求解；当二次项系数不为0时，再根据其正负将二次项系数化为正，并讨论判别式及两根的大小关系。确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．【变式1】已知二次函数（）．(1)若二次函数的图像与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，且的面积为3，求实数a的值；(2)求关于x的不等式的解集．题型4分式不等式的解法【典例1】当时，关于的分式不等式的解区间为．题型点播分式不等式转化为整式不等式的基本类型有哪些？2.3.且4.且【变式1】解下列分式不等式（1）；（2）；（3）.题型5实际问题中的一元二次不等式【典例1】某地区上年度电价为0.8元/，年用电量为.本年度计划将电价降到0.55元/至0.75元/之间，而用户期望电价为0.4元/.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为K）.该地区的电力成本为0.3元/.设，为保证电力部门的收益比上年至少增长20%，则电价最低定为（

）A．0.55元/ B．0.6元/ C．0.7元/ D．0.75元/题型点播利用不等式解决实际问题需注意以下四点1.阅读理解材料：应用题所用语言多为文字语言，而且不少应用题文字叙述篇幅较长．阅读理解材料要达到的目的是将实际问题抽象成数学模型，这就要求解题者领悟问题的实际背景，确定问题中量与量之间的关系，初步形成用怎样的模型能够解决问题的思路，明确解题方向．2.建立数学模型：根据(1)中的分析，把实际问题用“符号语言”“图形语言”抽象成数学模型，并且，建立所得数学模型与已知数学模型的对应关系，以便确立下一步的努力方向．3.讨论不等关系：根据(2)中建立起来的数学模型和题目要求，讨论与结论有关的不等关系，得到有关理论参数的值．4.作出问题结论：根据(3)中得到的理论参数的值，结合题目要求作出问题的结论．【变式1】某公司为了竞标某活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为元，年销售万件.(1)据市场调查，若价格每提高元，销售量将相应减少件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元?(2)为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元.公司拟投入万元作为技改费用，投入万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价.题型6不等式恒成立问题【典例1】若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是.题型点播处理不等式恒成立问题时，应先明确自变量的取值范围。若对一切实数恒成立，可转化为不等式的解集为R；若在某个区间或正实数范围内恒成立，则应转化为相应函数在指定范围内的最值问题，并注意讨论二次项系数。【变式1】若不等式对正实数恒成立，求实数的取值范围.强化训练（共11题）1．（多选）抛物线的顶点坐标为，其大致图象如图所示，下列结论正确的是（

）A．B．C．若方程有两个根，且；则D．若方程有四个根，则这四个根的和为42．已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最小值为（

）A．4 B． C．2 D．13．若不等式的解集为，则（

）A． B．C． D．4．命题“，”为真命题的充要条件是（

）A． B． C． D．5．若不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．6．对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．7．已知函数，若非空集合，，满足，则实数的取值范围是8．已知函数，.(1)若，求方程的根；(2)函数.求的表达式及在上的值域；(3)函数，求在区间上的最小值.9．如图，某中学准备在校园里利用院墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园，已知院墙长为25米.篱笆长60米（篱笆全部用完），设篱笆的一面的长为米．

(1)当的长为多少米时，矩形花园的面积为400平方米?(2)若围成的矩形的面积为平方米，当为何值时，有最大值，最大值是多少?10．函数，.(1)记，求的取值范围.(2)记函数的最小值为，求.(3)求方程的解集.11．已知命题；命题．(1)若是真命题，求实数的取值范围；(2)若和都为真命题，求实数的取值范围．知识小测（共5题）1．已知二次函数，当时