人教A版高二数学秋季培优班 第1讲 空间向量及其运算（总部定稿版）（学生版）

第1讲空间向量及其运算目录题型01共线向量定理及应用题型02共面向量及应用题型03空间向量数量积运算题型04利用数量积求夹角题型05利用数量积证明垂直强化训练（共10题）知识小测（共5题）知识解读知识点01空间向量的有关概念1．空间向量(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．(2)长度或模：空间向量的大小．(3)表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作：eq\o(AB,\s\up8(→))，其模记为|a|或|eq\o(AB,\s\up8(→))|.知识点02空间向量的线性运算(1)向量的加法、减法空间向量的运算加法eq\o(OB,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))＝a＋b减法eq\o(CA,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→))＝a－b加法运算律①交换律：a＋b＝b＋a②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)(2)空间向量的数乘运算①定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．当λ>0时，λa与向量a方向相同；当λ<0时，λa与向量a方向相反；当λ＝0时，λa＝0；λa的长度是a的长度的|λ|倍．②运算律:结合律：λ(μa)＝μ(λa)＝(λμ)a.分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.知识点03共线问题共线向量(1)定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．(2)方向向量：在直线l上取非零向量a，与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量．规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a.(3)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb.(4)O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得eq\o(OP,\s\up8(→))＝λa.知识点04向量共面问题共面向量(1)定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量．(2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y),使eq\o(AP,\s\up8(→))＝xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→))或对空间任意一点O，有eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→)).知识点05空间向量数量积的运算空间向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．规定：零向量与任何向量的数量积为0.(2)常用结论(a，b为非零向量)①a⊥b⇔a·b＝0.②a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2.③cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|).(3)数量积的运算律数乘向量与数量积的结合律(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)交换律a·b＝b·a分配律a·(b＋c)＝a·b＋a·c知识点06利用数量积证明空间垂直关系对于两个非零向量a,b，知识点07夹角问题1.定义：已知两个非零向量、，在空间任取一点O，作，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作，如下图。根据空间两个向量数量积的定义：，那么空间两个向量、的夹角的余弦。2.利用空间向量求异面直线所成的角异面直线所成的角可以通过选取直线的方向向量，计算两个方向向量的夹角得到。在求异面直线所成的角时，应注意异面直线所成的角与向量夹角的区别：如果两向量夹角为锐角或直角，则异面直线所成的角等于两向量的夹角；如果两向量的夹角为钝角，则异面直线所成的角为两向量的夹角的补角。知识点08空间向量的长度1.定义：在空间两个向量的数量积中，特别地，所以向量的模：将其推广：；。2.利用向量求线段的长度。将所求线段用向量表示，转化为求向量的模的问题。一般可以先选好基底，用基向量表示所求向量，然后利用来求解。题型精讲题型1共线向量定理及应用【典例1】在棱长为2的正方体中，点满足，点满足，其中，当时，．题型点播利用共线向量定理可以判定两直线平行、证明三点共线．证平行时，先从直线上取有向线段来表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，此为证明平行问题的一种重要方法；证明三点共线问题时，通常不用图形。直接利用向量的线性运算，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点．【变式1】（多选）如图，在正三棱柱中，为空间一动点，若，则（

）

A．若，则点的轨迹为线段B．若，则点的轨迹为线段C．存在，使得D．存在，使得平面题型2共面向量及应用【典例1】在三棱锥中，M是平面内一点，且，则（

）A． B．1 C．2 D．3题型点播1．解决向量共面的策略(1)若已知点P在平面ABC内，则有eq\o(AP,\s\up7(→))＝xeq\o(AB,\s\up7(→))＋yeq\o(AC,\s\up7(→))或eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))＋zeq\o(OC,\s\up7(→))(x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数．(2)证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示．2．证明空间四点P，M，A，B共面的等价结论(1)eq\o(MP,\s\up7(→))＝xeq\o(MA,\s\up7(→))＋yeq\o(MB,\s\up7(→))；(2)对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OM,\s\up7(→))＋xeq\o(MA,\s\up7(→))＋yeq\o(MB,\s\up7(→))；(3)对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))＋zeq\o(OM,\s\up7(→))(x＋y＋z＝1)；(4)eq\o(PM,\s\up7(→))∥eq\o(AB,\s\up7(→))(或eq\o(PA,\s\up7(→))∥eq\o(MB,\s\up7(→))或eq\o(PB,\s\up7(→))∥eq\o(AM,\s\up7(→)))．说明：第(1)—(3)条作为等价条件时，需要补充前提：M，A，B三点不共线；第(4)条“PM∥AB”等只能推出四点共面，是充分条件，不是四点共面的等价条件。一般四个共面点并不一定存在这些对应线段平行关系。【变式1】（多选）在正四棱锥中，已知分别为的中点，，则下列说法正确的有（

）A．B．不存在，使得平面C．若平面平面，则D．若四点共面，则题型3空间向量数量积运算【典例1】在空间四边形ABCD中，M、N分别是AB、CD的中点，且.设，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．题型点播向量数量积满足交换律、分配律以及与数乘相结合的运算律，但不满足乘法结合律，运算时应依据数量积的具体运算律进行计算。求空间向量数量积的运算同平面向量一样，关键在于确定两个向量之间的夹角以及它们的模，利用公式：a⋅【变式1】如图，在长方体中，设，则（

）A．1 B．2 C．3 D．题型4利用数量积求夹角【典例1】（多选）如图，在平行六面体中，向量，，的模长均为2，且它们彼此的夹角都是动点在棱上，则（

）A．B．直线BD与直线AP所成角为90°C．平面与平面ABCD的夹角为60°D．多面体的外接球体积为题型点播1、求两个向量的夹角有两种方法：①结合图形，平移向量，利用空间向量夹角的定义来求，但要注意向量夹角的范围；②先求a·b，再利用公式cos〈a，b〉＝求出cos〈a，b〉的值，最后确定〈a，b〉的值．2、利用数量积求夹角或其余弦值的步骤注：求两向量夹角，必须特别关注两向量方向，应用向量夹角定义确定夹角是锐角、直角还是钝角．【变式1】已知直三棱柱的底面ABC为正三角形，且，则异面直线与的夹角余弦值为.题型5利用数量积证明垂直【典例1】（多选）在四面体中，，四面体的顶点均在球的表面上，则（

）A．当平面平面时，B．球的表面积随二面角的大小变化而变化C．异面直线与不可能垂直D．与平面所成角的最大值为题型点播利用空间向量解决垂直问题的方法(1)证明线线垂直的方法：证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，看方向向量的数量积是否为0来判断两直线是否垂直．(2)证明与空间向量a，b，c有关的向量m，n垂直的方法：先用向量a，b，c表示向量m，n，再求解向量m，n的数量积并判断是否为0.【变式1】如图，正方体的棱长是，和相交于点．(1)求；(2)判断与是否垂直．强化训练（共10题）1．如图，在正六棱柱中.

（1）化简：；（2）化简：.2．如图，在平行六面体中，，相交于点，为的中点，已知，，，则（

）A．B．C．D．3．如图，在三棱锥中，，，两两垂直，且，为的中点.(1)证明：；（用向量方法证明）(2)求直线与所成角的余弦值.4．已知平行六面体，化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量：(1)；(2).5．如图，已知平行六面体，分别是棱和的中点，求证：四点共面．6．已知两非零向量，，且与不共线，设（、，且、），则下列结论正确的是（

）A． B． C．与，共面 D．以上三种情况均有可能7．已知，，，，点在直线上运动，当取最小值时，点的坐标是．8．在棱长均为1的平行六面体中，，，则（

）A．30° B．45° C．60° D．90°9．在空间四面体中，对空间内任意一点，满足，则下列条件中可以确定点与，，共面的为（

）A． B． C． D．10．（多选）如图（1），在长方形ABCD中，，，E，F分别为AB，CD的中点，连接AF，CE，分别交BD于点M，N，将沿直线BD折起到的位置，如图（2），则下列说法正确的是（

）

A．在翻折的过程中，恒有平面PENB．若G为直线PN上一点，则点G到直线AM的最短距离为C．当二面角的大小为时，D．当平面平面ABD时，三棱锥外接球的表面积为知识小测（共5题）1．已知，，，若，，三向量不能构成空间向量的一组基底，则实数的值为（

）A．0