人教A版高二数学秋季培优班 第3讲 空间向量坐标表示（总部定稿版）（学生版）

第3讲空间向量坐标表示目录题型01空间向量共线与共面的坐标条件题型02空间向量模长的坐标表示题型03空间向量平行的坐标表示题型04空间向量垂直的坐标表示题型05空间向量夹角的坐标表示强化训练（共10题）知识小测（共5题）知识解读知识点01空间直角坐标系1.空间直角坐标系从空间某一定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系，点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别是平面、yOz平面、zOx平面.2.右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.3.空间点的坐标空间一点A的坐标可以用有序数组(x，y，z)来表示，有序数组(x，y，z)叫做点A的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.知识点02空间直角坐标系中点的坐标1.空间直角坐标系中点的坐标的求法通过该点，作两条轴所确定平面的平行平面，此平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标.特殊点的坐标：原点；轴上的点的坐标分别为；坐标平面上的点的坐标分别为.2.空间直角坐标系中对称点的坐标在空间直角坐标系中，点，则有点关于原点的对称点是；点关于横轴(x轴)的对称点是；点关于纵轴(y轴)的对称点是；点关于竖轴(z轴)的对称点是；点关于坐标平面的对称点是；点关于坐标平面的对称点是；点关于坐标平面的对称点是.知识点03空间向量的坐标运算（1）空间两点的距离公式若，则①即:一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。②，或.（2）空间线段中点坐标空间中有两点，则线段AB的中点C的坐标为.（3）向量加减法、数乘的坐标运算若，则①;②;③;（4）向量数量积的坐标运算若，则即：空间两个向量的数量积等于它们的对应坐标的乘积之和。（5）空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式若，则(1).(2)cos⟨（6）空间向量平行和垂直的条件若a=①②当a,b题型精讲题型1空间向量共线与共面的坐标条件【典例1】已知空间直角坐标系中，、、，点是空间中任意一点，若，，，四点共面，则（

）A． B．C． D．题型点拨（1）在空间直角坐标系下，两向量的共线，可利用向量的共线定理，通过列方程组求解.若前两个向量不共线，要证三向量a,b,c共面，即证存在（2）在空间直角坐标系下，两向量的共线，三向量的共面问题，均可灵活应用共线，共面的基本定理，利用向量坐标通过方程求解。【变式1】已知单位向量两两的夹角均为，若空间向量满足，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系（为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作，则下列命题是真命题的为（

）A．若，则B．若，则C．若，则不论取何值，四点都共面D．若，则点到平面的距离为题型2空间向量模长的坐标表示【典例1】已知空间向量，若与垂直，则（

）A． B． C． D．14题型点拨若，则.【变式1】在棱长为1的正方体中，点P是底面内的动点，则（

）A．的最小值为2B．的最大值为C．的最小值为D．的最小值为3题型3空间向量平行的坐标表示【典例1】向量且，则实数.题型点拨若a=【变式1】已知，，且，则（

）A．， B．，C．， D．，题型4空间向量垂直的坐标表示【典例1】已知，，，若，则的值为.题型点拨若a=(x1【变式1】已知向量，，若向量同时满足下列三个条件：①；②；③与垂直．(1)求向量的坐标；(2)若向量与向量共线，求向量与夹角的余弦值．题型5空间向量夹角的坐标表示【典例1】设空间两个单位向量OA=(m,n,0),OA． B． C． D．题型点拨若，则(1).(2)cos⟨【变式1】已知空间中三点，，．(1)若向量与平行，且，求的坐标；(2)求向量AB在向量AC上的投影向量强化训练（共10题）1．在空间直角坐标系中，定义点和点两点之间的“直角距离”．若A和B两点之间的距离是，则A和B两点之间的“直角距离”的最大值为．2.在空间直角坐标系中，已知三点，，，且，则实数（

）A． B．2 C． D．3．已知空间中三个向量，，，则下列说法正确的是（

）A． B．C．在上的投影向量为 D．4．已知向量，，，若共面，则x等于（

）A． B．1 C． D．5．如图，在长方体中，，，，分别以有向直线为轴，轴，轴的正方向，以为单位长度，建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（

）A．点的坐标为B．点关于点对称的点为C．点关于直线对称的点为D．点关于平面对称的点为6．已知正三棱锥的三个侧面均为等腰直角三角形，过点作一平面，使得三点在平面的同一侧，且三点到该平面的距离分别为，则三棱锥的侧棱长为（

）A． B．2.5 C． D．2.67．在空间直角坐标系中，若，，，四点共面，则．8．已知向量，若，则；若，则．9．在空间直角坐标系中，为直线的一个方向向量，为平面的一个法向量，且，则．10．在正四棱柱中，是正四棱柱内(含表面)的动点，且，则点在正四棱柱内运动所形成的图形的面积为.知识小测（共5题）1.已知向量，且，则（