人教A版高二数学秋季培优班 第4讲 空间向量的应用（总部定稿版）（学生版）

第4讲空间向量的应用目录题型01法向量与平面方程题型02向量法证明平行与垂直题型03空间角计算（异面直线与线面角）题型04二面角问题题型05空间距离问题强化训练（共10题）知识小测（共5题）知识解读知识点01直线的方向向量和平面的法向量1.直线的方向向量：点A是直线l上的一个点，是直线l的方向向量，在直线l上取，取定空间中的任意一点O，则点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使或，这就是空间直线的向量表达式.2.平面的法向量定义：直线l⊥α，取直线l的方向向量，我们称向量为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合.3.平面的法向量确定通常有两种方法：（1）几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平面的法向量；（2）几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：（i）设出平面的法向量为；（ii）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标，；（iii）根据法向量的定义建立关于x、y、z的方程；(i知识点02用向量方法判定空间中的平行关系空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行．（1）线线平行设直线l1,l2的方向向量分别是a,b，则要证明l1（2）线面平行线面平行的判定方法一般有三种：①设直线l的方向向量是a，平面α的法向量是u，则要证明l∥α，需证明a⟂u，即②根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量，并补充该直线不在此平面内．③根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，可证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示，并补充该直线不在此平面内．（3）面面平行①由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可．②若能求出平面α,β的法向量u,v，则要证明α∥β，需证明知识点03用向量方法判定空间的垂直关系空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直．（1）线线垂直设直线的方向向量分别为，则要证明，只需证明，即．（2）线面垂直①设直线l的方向向量是a，平面α的法向量是u，则要证明l⟂α，只需证明②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直．（3）面面垂直①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直．②证明两个平面的法向量互相垂直．知识点04用向量方法求空间角（1）求异面直线所成的角已知a,b为两异面直线，A,C与B,则．（2）求直线和平面所成的角设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有．（3）求二面角如图，若于于，平面交于，则为二面角的平面角，.若分别为面的法向量，则二面角的平面角或，即二面角等于它的两个面的法向量的夹角或夹角的补角．①当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于的夹角的大小．②当法向量的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于的夹角的补角的大小．知识点05用向量方法求空间距离1.求点面距的一般步骤：①求出该平面的一个法向量；②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离．即：点A到平面的距离，其中，是平面的法向量．2.线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解．当直线a∥α时，直线a与平面α之间的距离：d=|AB⋅两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量．3.点线距设直线l的单位方向向量为u，A∈l，P∉l，设AP题型精讲题型1法向量与平面方程【典例1】结合以下材料：“在空间直角坐标系O-xyz中，过点且一个法向量为的平面的方程为.”解决问题：在空间直角坐标系O-xyz中，若直线l是两平面与的交线，则直线l的方向向量可以是（

）A． B． C． D．题型点播求平面的法向量通常采用待定系数法。先设平面的一个法向量为n=(x,y,z【变式1】已知，则平面ABC的一个法向量可以为（

）A． B． C． D．题型2向量法证明平行与垂直【典例1】（多选）在正三棱柱中，D为BC中点，则（

）A． B．平面C． D．平面题型点播（1）线线平行设直线l1,l2的方向向量分别是a,b，则要证明l1（2）线面平行线面平行的判定方法一般有三种：①设直线l的方向向量是a，平面α的法向量是u，则要证明l∥α，需证明a⟂u，即②根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量，并补充该直线不在此平面内．③根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，可证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示，并补充该直线不在此平面内．（3）面面平行①由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可．②若能求出平面α,β的法向量u,v，则要证明α∥β，需证明（1）线线垂直设直线的方向向量分别为，则要证明，只需证明，即．（2）线面垂直①设直线l的方向向量是a，平面α的法向量是u，则要证明l⟂α，只需证明②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直．（3）面面垂直①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直．②证明两个平面的法向量互相垂直．【典例2】如图，已知在长方体中，，，，点E为上的一个动点，平面与棱交于点F，给出下列命题：①四棱锥的体积为20；②存在唯一的点E，使截面四边形的周长取得最小值；③当点E不与C，重合时，在棱AD上均存在点G，使得平面；④存在唯一的点E，使得平面，且.其中正确的是（填写所有正确的序号）.【变式1】如图，在四棱锥中，底面，，，，，为上一点，且．（请用空间向量法予以证明）(1)求证：平面PBC；(2)求证：平面BDE．题型3空间角计算（异面直线与线面角）【典例1】在体积为的正四棱锥中，为底面内的任意两点，则直线与直线所成角的余弦值的最大值为（

）A． B． C． D．题型点播已知a,b为两异面直线，A,C与B,设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有．【典例2】如图，四棱锥中，是菱形，，，分别为和的中点.

(1)求证：平面；(2)求证：平面平面；(3)若，求直线与平面夹角的正弦值.【变式1】如图所示，在三棱锥中，，，是的中点，且底面，则直线与平面所成角的正弦值为.题型4二面角问题【典例1】如图，二面角的大小为是棱上两点，，且，，则.题型点播如图，若于于，平面交于，则为二面角的平面角，.若分别为面的法向量，则二面角的平面角或，【变式1】如图，在正四棱柱中，，点分别在棱，上，，若点在棱上，当二面角为时，则．题型5空间距离问题【典例1】如图，在四棱锥中，平面平面，为的中点，，，，，．(1)求点到平面的距离；(2)在线段上是否存在点，使得平面?若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由．题型点播1.求点面距的一般步骤：①求出该平面的一个法向量；②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离．即：点A到平面的距离，其中，是平面的法向量．2.设直线l的单位方向向量为，，，设，则点P到直线l的距离.【变式1】如图，几何体是圆柱的四分之一部分，其中底面是半径为的扇形，母线长为，是的中点，为的中点，是上的动点（不与、重合），是圆柱的母线．(1)证明：平面；(2)求三棱锥的体积的最大值；(3)求二面角余弦值的取值范围．强化训练（共10题）1．如图，四棱锥中，底面ABCD，，，，.(1)证明：BC∥平面(2)求平面PBC与平面PAD夹角的余弦值；(3)若Q为线段PC的中点，求三棱锥的体积.2．如图，三棱锥中，，且平面与底面垂直，为中点，，则平面与平面夹角的余弦值为（

）

A． B． C． D．3．已知圆台的上底面圆的半径为1，下底面圆的半径为2，点，分别在上、下底面圆周上，且，则与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．4．在正四棱台中，，，且该正四棱台的体积为28，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．5．已知平面的一个法向量为，点在外，点在内，且，则点到平面的距离为（

）A． B． C． D．6．若平面的一个法向量为且该平面过点，则点到平面的距离为（

）A． B． C． D．7．在空间直角坐标系中，若一条直线经过点，且以向量为方向向量，则这条直线可以用方程来表示．已知直线的方程为，则点到直线的距离为（

）A． B． C． D．8．如图1所示，四边形满足，过点作，点在线段上，且满足，将沿直线翻折到的位置（图2），.(1)求证：；(2)若，求平面与平面夹角的余弦值.9．如图所示，五边形是正六边形的一部分，将沿着对角线翻折到的位置，使平面平面，已知点分别为，的中点．(1)求证：平面；(2)求平面与平面所成二面角的正弦值．10．如图，在三棱锥中，，，平面.(1)求证：平面平面；(2)若，为线段的中点，点为线段的动点，且二面角的余弦值为，求.知识小测（共5题）1．（多选）下列说法正确的是（

）A．若为空间的一个基底，则可构成空间的另一个基底B．在空间直角坐标系中，点与点关于平面对称C．若直线l的一个方向向量与平面α的一个法向量的夹角等于，则直线l与平面α所成的角等于D．在空间直角坐标系中，平面的一个法向量，若点P在平面外，，则