人教A版高二数学秋季培优班 第7讲 交点与距离公式（总部定稿版）（教师版）

第7讲交点与距离公式目录题型01两直线位置关系与交点题型02过交点的直线系方程题型03对称与反射问题题型04点线距离与平行线距离题型05距离综合与线段最值强化训练（共10题）知识小测（共5题）知识解读知识点01直线的交点求两直线A1x+B1y+C1=0（(A1,B1)≠(知识点02过两条直线交点的直线系方程一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数．由于参数取法不同，从而得到不同的直线系．若直线l1:A1x+B1y+C1=知识点03两点间的距离公式两点间的距离公式为．知识点04点到直线的距离公式点P(x0,y0)到直线A知识点05两平行线间的距离本类问题常见的有两种解法：①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离；②距离公式：直线Ax+By+C1=0题型精讲题型1两直线位置关系与交点【典例1】已知，是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况，下列说法正确的是（

）A．无论，，如何，总是无解B．无论，，如何，总有唯一解C．存在，，，使是方程组的一组解D．存在，，，使之有无穷多解【答案】B【分析】先得到，从而得到方程组总有唯一解，A，D错误，B正确；再假设是方程组的一组解，得到，在直线，与两点在上矛盾，C错误.【详解】直线的斜率存在，∴，由题意，则，故：与：相交，∴方程组总有唯一解，A，D错误，B正确；若是方程组的一组解，则，则点，在直线，即上，但已知这两个点在直线上，而这两条直线不是同一条直线，∴不可能是方程组的一组解，C错误.故选：B.题型点播分类讨论时容易疏忽某种情况，特别是三条直线相交于同一点这种情况更要注意．直接联立两直线方程，解方程即可．【典例2】直线与线段没有公共点，其中，，则实数b的取值范围是.【答案】【分析】数形结合即可求得的取值范围.【详解】由题可知，当直线经过点时，当直线经过点时，当直线与线段没有公共点，则或.故答案为：.【变式1】若三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值最多有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【分析】分析可知直线与直线或直线平行，或直线过点，进而列式求解即可.【详解】联立方程，解得，可知：直线的斜率为，的斜率为，且直线、的交点为，若三条直线不能围成三角形，则直线与直线或直线平行，或直线过点，可知直线的斜率存在，且为，可得或或，解得或或，所以实数的取值最多有3个.故选：B.题型2过交点的直线系方程【典例1】已知直线的方程是，则对任意的实数，直线一定经过（

）.A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】首先求直线所过定点，再判断选项.【详解】，，得，定点在第一象限，则直线一定经过第一象限故选：A题型点播直线系是直线和方程的理论发展，是数学符号语言中一种有用的工具，是一种很有用的解题技巧，应注意掌握和应用．【变式1】设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求得直线恒过的定点，判断两直线位置关系，找到与的关系，利用均值不等式求最值.【详解】直线可整理为，故恒过定点，即为A的坐标；直线整理为，故恒过定点，即为B坐标；又两条直线垂直，故可得，即整理得解得，当且仅当时取得最大值.故选：A.题型3对称与反射问题【典例1】已知点P在直线上，点，则的最小值为【答案】【知识点】求点关于直线的对称点后可求线段差的最小值.【详解】如图，设关于直线的对称点为，则，解得，则，于是，结合图形知，当三点共线时，此时取得最小值，即取得最小值为故答案为：题型点播（1）点关于点对称点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点关于点的对称点为，则根据中点坐标公式，有可得对称点的坐标为（2）点关于直线对称点P(x1,y1)关于直线l:Ax+By+C=0对称的点为P′(x2,y2)，连接P（3）直线关于点对称法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．（4）直线关于直线对称求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线第一步：联立算出交点第二步：在上任找一点（非交点），利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点第三步：利用两点式写出方程【变式1】在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经、边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的面积等于（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】建立直角坐标系，设点P的坐标，可得P关于直线BC的对称点的坐标，和P关于y轴的对称点的坐标，由四点共线可得直线的方程，由于过三角形的重心，代入可得关于a的方程，解得P的坐标，即可求得PB的长和直线方程，进而求得面积.【详解】

建立直角坐标系，可得,故直线BC的方程为，则三角形的重心为，即，设,其中，则点P关于直线BC的对称点，满足，解得，即，易得P关于y轴的对称点，由光的反射原理可知四点共线，直线的斜率为，故直线的方程为，由于直线过三角形的重心，代入得，化简得或（舍去），故,,,直线的方程为,联立,解得,即点Q的坐标为,则三角形的面积，故选：A题型4点线距离与平行线距离【典例1】平面上有三点到直线（、不全为）距离之和的最小值为．【答案】/【分析】根据给定条件，利用点到直线的距离公式，结合不等式的性质求出最小值.【详解】点到直线的距离分别为，，则距离之和为，，当且仅当，即时取等号，此时，；，当且仅当，即时取等号，此时，；，当且仅当，即时取等号，此时，，而，因此，所以所求最小值为.故答案为：题型点播点P(x0,y0)到直线A直线Ax+By+C1=【典例2】若点在曲线上，点在曲线上，定义.已知有两条直线分别为：，：，则.【答案】【分析】根据给定的定义，利用平行线间距离公式求解即得.【详解】直线的方程化为：，显然，所以.故答案为：【变式1】已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出，然后由平行线之间的距离求解即可.【详解】直线即直线，与直线平行，则，故所求即为平行直线与之间的距离，即所求为.故选：B.题型5距离综合与线段最值【典例1】（多选）已知直线和两点.在直线l上有一点P，则的最小值和的最大值为（

）A．的最小值为12 B．的最小值为6C．的最小值为 D．的最大值为2【答案】AC【分析】应用点关于直线对称，结合饮马模型求的最小值，利用三角形的三边关系及点线位置关系求的最值，即可得答案.【详解】令是关于的对称点，则，所以，即，为与的交点，如下图，则，当且仅当共线且在线段上时取等号，即的最小值为12；由图知（直线与直线的交点离点更近），即，当且仅当共线且在射线上时取最小值，但无最大值，即最小值是，为.故选：AC题型点播利用距离的几何意义进行等价转换．利用三角形的性质进行判断.【典例2】已知函数，则的最小值为．【答案】5【分析】整理函数解析式，可转化为到点的距离之和，结合图象，可得答案.【详解】，转化为x轴上的动点到两定点，的距离之和最小，由三角形不等式可知AB+AC≥BC故答案为：.【变式1】对于一个平面图形，如果存在一个圆能完全覆盖住这个平面图形，则称这个图形被这个圆能够完全覆盖，其中我们把能覆盖平面图形的最小圆称为最小覆盖圆．则曲线的最小覆盖圆的面积为．【答案】【分析】先分析曲线对称性，再求曲线上点到原点距离最大值，即得结果.【详解】由成立可得该曲线关于原点中心对称，所以该曲线的最小覆盖圆的圆心位于坐标原点，由可得，即，所以，当且仅当时等号成立，所以该曲线的最小覆盖圆的面积为.故答案为：.强化训练（共10题）1．实数满足，则的最小值为（

）A．2 B．1 C．0 D．【答案】B【分析】由点到线的距离公式求解最小值，即可求解.【详解】，其中为两点与距离的平方，所以其最小值即为到直线距离的平方，即，所以的最小值为1，故选：B2．蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的．若不计蜂巢壁的厚度，蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示．设为图中7个正六边形（边长为4）的某一个顶点，为两个固定顶点，则的最大值为（

）A．44 B．48C．72 D．76【答案】B【分析】利用坐标法可得，设点到原点的距离为，则的最大值为，利用数形结合法可知，离原点距离最远的正六边形顶点为最外围的顶点，利用两点间的距离公式即可求解.【详解】设点，正六边形的边长为4，所以，所以，所以，设点到原点的距离为，则的最大值为，由图可知，离原点距离最远的正六边形顶点为最外围的顶点，如图，可取，所以，即的最大值为48.故选：.3．已知实数满足，，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根据题意，结合两平行直线距离公式，代入计算，即可得到结果.【详解】由题意可得，是直线上的点，是直线上的点，则两直线平行，的最小值是平行直线之间的距离的平方，可得最小值为.故选：D4．（多选）下列说法不正确的有（

）A．直线过定点B．若两直线与平行，则实数的值为1C．过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为D．点，直线与线段相交，则实数的取值范围是【答案】BCD【分析】A选项，将直线变形为点斜式，求出所过定点；B选项，根据两直线平行，得到方程，求出实数a的值，检验后得到答案；C选项，分两种情况（1）直线过原点；（2）直线不过原点讨论求解，即可判断C；D选项，求出过定点，画出图象，数形结合得到实数m的取值范围.【详解】A选项，，故直线恒过定点，故A正确；B选项，两直线与平行，则，解得或，当时，两直线与满足要求，当时，两直线与满足要求，综上，或，故B错误；C选项，当直线过原点且经过点时，可得直线方程为；当直线不过原点时，设直线为，将点代入解得，所以直线方程为，故C错误；D选项，直线，直线经过定点，画出坐标系，如下：其中，则要想直线与线段AB相交，则直线斜率或，解得或，故D错误.故选：BCD5．点为直线上的一动点，，则点到直线的距离为．【答案】/【分析】设，则，由平面向量线性运算的坐标表示得出，再根据点到直线距离公式即可求解．【详解】设，则，由得，，则点到直线的距离为，故答案为：．6．已知三条直线：，，，且与间的距离是，(1)求的值；(2)能否找到一点，使同时满足下列三个条件：①点在第一象限；②点到的距离是点到的距离的；③点到的距离与点到的距离之比是，若能，求点的坐标；若不能，说明理由【答案】(1)；(2)存在点.【分析】（1）由两平行线间距离公式代入数据即可求解；（2）由点在第一象限，结合点到线的距离公式列出等式求解即可.【详解】（1），与间的距离为，即，，；（2）假设存在，设点，由条件知，点在与平行的直线上，且，或，或，由条件知，，，即或，因为点在第一象限，，舍，或解得（舍），，所以存在点同时满足①②③．7．已知的三个顶点的坐标为，，．求：(1)点D的坐标，使四边形ABCD是平行四边形；(2)点C关于直线AB对称点的坐标；(3)求的面积．【答案】(1)(2)(3)3【分析】（1）由ABCD为平行四边形知可求；（2）设点关于直线AB对称点的坐标为，由题意可得出，解方程即可得出答案.（3）求出和点到直线AB的距离即可求出面积.【详解】（1）设，由ABCD为平行四边形知，即，则，解得，即.（2）直线AB的方程为，即，点关于直线AB对称点的坐标为，所以，解得：，故C关于直线AB对称点的坐标为.（3），直线AB的方程，点到直线AB：的距离为，∴.8．已知三个顶点坐标分别为、、．(1)求的面积S；(2)求边上的中线与AC边上的高的交点坐标．【答案】(1)5(2)【分析】（1）确定直线的方程及，利用点到直线的距离求三角形的高，再求三角形面积；（2）的斜率求得高线的斜率，再根据B的坐标，写出高线方程，求出的中点，即可求出边上的中线，然后联立高线方程和中线方程，求交点坐标即可.【详解】（1）因为，所以直线的方程为，即.所以点到直线的距离.因为，所以.（2）因为，所以AC边上的高的斜率为，所以AC边上的高线的方程为，即.因为、的中点为，又，所以边上的中线方程为，由，解得，所以边上的中线与AC边上的高的交点坐标为.9．在平面直角坐标系中，对于直线（A，B不同时为0）和点，定义点到直线的“特殊距离”，其中为非零常数.已知直线，点，圆.(1)当时，求和的值.(2)若点是圆的动点，当时，求的最小值.(3)设直线，若存在点在直线上，使得，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2)0(3)【分析】（1）根据题意代入点点的坐标可得.（2）根据圆的方程设点，将坐标代入化简后利用时可取得最小值.（3）先设点，代入，得到的取值范围.【详解】（1）对于点，直线，对于点，（2）设点，当时，，其中当时，取得最小值..（3）设点，得，依题意有，，由，所以任意实数方程都有解，即的取值范围为.10．在平面直角坐标系中，已知矩形的长，宽，、边分别在轴、轴的正半轴上，点与坐标原点重合，如下图所示.将矩形折叠，使点落在线段上.(1)若折痕所在直线的斜率为，求折痕所在直线的方程（用斜率表示）；(2)若折痕和线段、相交，求折痕的长的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）当时，折叠后点落在点上，折痕所在的直线方程．当时，将矩形折叠后点落在线段上的点记为，可知与关于折痕所在的直线对称，得到，从而得到点坐标，可得中点的坐标，利用点斜式求得折痕所在的直线方程．（2）由折痕和线段、相交求出的取值范围，从而求出交点坐标，即可求出折痕长的取值范围．【详解】（1）①当时，折叠后点落在点上，折痕所在的直线方程；②当时，将矩形折叠后点落在线段上的点为，所以与关于折痕所在的直线对称，有，即，则．故点坐标为，从而折痕所在的直线与的交点坐标（即线段的中点）为．所以折痕所在的直线方程，即．综上：由①②可得折痕所在的直线方程为．（2）由（1）可知，对于，令，可得，令可得，依题意可得，解得，如下图，折痕所在的直线与线段、的交点坐标为．所以，因为，所以，所以，所以，所以折痕的长的取值范围．知识小测（共5题）1．已知直线l过点且倾斜角为，则点到直线l的距离为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用直线的点斜式方程求出直线的方程，再代入点到直线距离公式即可.【详解】易知直线的斜率为，又过点，所以其方程为，即，可得点到直线l的距离为.故选：C2．已知四边形的顶点的坐标分别为

则四边形的面积为（