人教A版高二数学秋季培优班 第7讲 交点与距离公式（总部定稿版）（学生版）

第7讲交点与距离公式目录题型01两直线位置关系与交点题型02过交点的直线系方程题型03对称与反射问题题型04点线距离与平行线距离题型05距离综合与线段最值强化训练（共10题）知识小测（共5题）知识解读知识点01直线的交点求两直线A1x+B1y+C1=0（(A1,B1)≠(知识点02过两条直线交点的直线系方程一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数．由于参数取法不同，从而得到不同的直线系．若直线l1:A1x+B1y+C1=知识点03两点间的距离公式两点间的距离公式为．知识点04点到直线的距离公式点P(x0,y0)到直线A知识点05两平行线间的距离本类问题常见的有两种解法：①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离；②距离公式：直线Ax+By+C1=0题型精讲题型1两直线位置关系与交点【典例1】已知，是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况，下列说法正确的是（

）A．无论，，如何，总是无解B．无论，，如何，总有唯一解C．存在，，，使是方程组的一组解D．存在，，，使之有无穷多解题型点播分类讨论时容易疏忽某种情况，特别是三条直线相交于同一点这种情况更要注意．直接联立两直线方程，解方程即可．【典例2】直线与线段没有公共点，其中，，则实数b的取值范围是.【变式1】若三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值最多有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个题型2过交点的直线系方程【典例1】已知直线的方程是，则对任意的实数，直线一定经过（

）.A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限题型点播直线系是直线和方程的理论发展，是数学符号语言中一种有用的工具，是一种很有用的解题技巧，应注意掌握和应用．【变式1】设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值为（

）A． B． C． D．题型3对称与反射问题【典例1】已知点P在直线上，点，则的最小值为题型点播（1）点关于点对称点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点关于点的对称点为，则根据中点坐标公式，有可得对称点的坐标为（2）点关于直线对称点P(x1,y1)关于直线l:Ax+By+C=0对称的点为P′(x2,y2)，连接P（3）直线关于点对称法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．（4）直线关于直线对称求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线第一步：联立算出交点第二步：在上任找一点（非交点），利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点第三步：利用两点式写出方程【变式1】在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经、边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的面积等于（

）

A． B． C． D．题型4点线距离与平行线距离【典例1】平面上有三点到直线（、不全为）距离之和的最小值为．题型点播点P(x0,y0)到直线A直线Ax+By+C1=【典例2】若点在曲线上，点在曲线上，定义.已知有两条直线分别为：，：，则.【变式1】已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（

）A． B． C． D．题型5距离综合与线段最值【典例1】（多选）已知直线和两点.在直线l上有一点P，则的最小值和的最大值为（

）A．的最小值为12 B．的最小值为6C．的最小值为 D．的最大值为2题型点播利用距离的几何意义进行等价转换．利用三角形的性质进行判断.【典例2】已知函数，则的最小值为．【变式1】对于一个平面图形，如果存在一个圆能完全覆盖住这个平面图形，则称这个图形被这个圆能够完全覆盖，其中我们把能覆盖平面图形的最小圆称为最小覆盖圆．则曲线的最小覆盖圆的面积为．强化训练（共10题）1．实数满足，则的最小值为（

）A．2 B．1 C．0 D．2．蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的．若不计蜂巢壁的厚度，蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示．设为图中7个正六边形（边长为4）的某一个顶点，为两个固定顶点，则的最大值为（

）A．44 B．48C．72 D．763．已知实数满足，，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．44．（多选）下列说法不正确的有（

）A．直线过定点B．若两直线与平行，则实数的值为1C．过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为D．点，直线与线段相交，则实数的取值范围是5．点为直线上的一动点，，则点到直线的距离为．6．已知三条直线：，，，且与间的距离是，(1)求的值；(2)能否找到一点，使同时满足下列三个条件：①点在第一象限；②点到的距离是点到的距离的；③点到的距离与点到的距离之比是，若能，求点的坐标；若不能，说明理由7．已知的三个顶点的坐标为，，．求：(1)点D的坐标，使四边形ABCD是平行四边形；(2)点C关于直线AB对称点的坐标；(3)求的面积．8．已知三个顶点坐标分别为、、．(1)求的面积S；(2)求边上的中线与AC边上的高的交点坐标．9．在平面直角坐标系中，对于直线（A，B不同时为0）和点，定义点到直线的“特殊距离”，其中为非零常数.已知直线，点，圆.(1)当时，求和的值.(2)若点是圆的动点，当时，求的最小值.(3)设直线，若存在点在直线上，使得，求实数的取值范围.10．在平面直角坐标系中，已知矩形的长，宽，、边分别在轴、轴的正半轴上，点与坐标原点重合，如下图所示.将矩形折叠，使点落在线段上.(1)若折痕所在直线的斜率为，求折痕所在直线的方程（用斜率表示）；(2)若折痕和线段、相交，求折痕的长的取值范围.知识小测（共5题）1．已知直线l过点且倾斜角为，则点到直线l的距离为（

）A． B． C． D．2．已知四边形的顶点的坐标分别为

则四边形的面积为（

）A．24 B． C．12 D．63．已知直线，（其中），当时，直线