人教A版高二数学秋季培优班 第9讲 直线与圆、圆与圆（总部定稿版）（教师版）

第9讲直线与圆、圆与圆目录题型01直线与圆的位置关系及参数题型02切线与弦长问题题型03圆与圆的位置关系题型04公共弦与公切线题型05圆中的范围、最值与圆系强化训练（共10题）知识小测（共5题）知识解读知识点01直线与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系：（1）直线与圆相交，有两个公共点；（2）直线与圆相切，只有一个公共点；（3）直线与圆相离，没有公共点．2．直线与圆的位置关系的判定：（1）代数法：判断直线与圆C的方程组成的方程组是否有解．如果有解，直线与圆C有公共点．有两组实数解时，直线与圆C相交；有一组实数解时，直线与圆C相切；无实数解时，直线与圆C相离．（2）几何法：由圆C的圆心到直线的距离与圆的半径的关系判断：当时，直线与圆C相交；当时，直线与圆C相切；当时，直线与圆C相离．知识点02圆的切线方程的求法1．点在圆上，如图．法一：当相关直线斜率均存在时，可利用切线的斜率kl与圆心和该点连线的斜率kOM的乘积等于−法二：圆心到直线的距离等于半径．2．点(x0,y0)在圆外，则设切线方程：y−知识点03求直线被圆截得的弦长的方法1．应用圆中直角三角形：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法．2．利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长．知识点04圆与圆的位置关系1．圆与圆的位置关系：（1）圆与圆相交，有两个公共点；（2）圆与圆相切（内切或外切），有一个公共点；（3）圆与圆相离（内含或外离），没有公共点．2．圆与圆的位置关系的判定：（1）代数法：判断两圆的方程组成的方程组是否有解．有两组不同的实数解时，两圆相交；有一组实数解时，两圆相切；方程组无解时，两圆相离；若两圆方程等价，则方程组有无穷多组解，两圆重合．（2）几何法：设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为．当时，两圆相交；当时，两圆外切；当时，两圆外离；当d=0且r1=r题型精讲题型1直线与圆的位置关系及参数【典例1】已知圆，直线，则直线与圆的公共点个数为（

）A．个 B．个 C．个 D．与有关，不能确定【答案】C【详解】直线，即，令，解得，即直线过点，又，则点在圆内，所以直线与圆相交，有个公共点，故选：C.题型点播直线与圆的位置关系判断方法法一抓住直线与圆的位置关系的代数特征，从而转化为对方程的解的研究，这是研究直线与曲线的位置关系的基本方法；法二抓住直线与圆的位置关系的几何特征，从而转化为研究圆心到直线的距离，抓住几何特征对于研究圆的问题特别有效；法三通过判定直线过圆内一定点，从而使问题获证．由上述三种解法可知，解题的切入点不同，解法就有优劣之分．因此，在解题时，审题要慢，要仔细地分析题意，透彻地理解题意，挖掘其中的隐含条件，从而找到解决问题的捷径．直接联立求解．【典例2】若轴与圆相切，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】圆心到轴的距离为，且轴与圆相切，所以，故选：A．【变式1】若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】由得，直线经过定点，如图，，当直线与半圆相切时，，所以恰有两个公共点时，由图可知，，故选：D．题型2切线与弦长问题【典例1】已知圆，过直线上一点P作圆C的切线，切点为A、B，则的最小值为．【答案】1【详解】圆的圆心，半径，点到直线的距离，又，因此，当且仅当时取等号，所以的最小值为1.故答案为：1题型点播求圆的切线方程一般有三种方法：（1）直接法：应用常见结论，直接写出切线方程；（2）待定系数法；（3）定义法．一般地，过圆外一点可向圆作两条切线，在后两种方法中，应注意斜率不存在的情况．=1\*GB3①利用垂径定理：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法．=2\*GB3②利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长．③利用弦长公式：设直线l:y=kx+b，与圆的两交点(x1,y【典例2】已知直线，圆，若直线与圆交于M，N两点，则的取值范围为．【答案】【详解】依题意，圆，圆心，半径为，直线过定点，，故点在圆内，当直线过圆心时，弦长最大，为直径，当直线与垂直时，弦长最小，此时的最小值为，故的取值范围为．故答案为：．【变式1】已知动直线：若直线与直线平行，则的值为；若动直线被圆所截，则截得的弦长最短为．【答案】【详解】当时，显然不符合题意，当时，由两直线平行，得，解得或，当时，两直线重合，不符合，所以．由得，圆心为，半径，则圆心到直线的距离，截得的弦长为，当且仅当时，取等号．故截得的弦长最短为．故答案为：；.题型3圆与圆的位置关系【典例1】圆与圆的位置关系是．【答案】相交【详解】由题设，且对应半径为，且对应半径为，所以，故，即两圆相交.故答案为：相交题型点播已知两圆半径分别为，两圆的圆心距为，则：（1）两圆重合⇔d=0且r1=r2；（2）两圆外离⇔r1利用几何法判定两圆的位置关系比用代数法（即解两圆方程联立方程组的方法）要简捷些，但需要注意的是，我们这里所说的几何法仍然是在解析几何前提下的几何法，即利用圆的方程及两点间距离公式求出两圆圆心距d和两圆的半径R和r，再根据d与、d与的大小关系来判定即可．【典例2】圆与圆的公共弦长为，则的值为（

）A．12或4 B．12或-4 C．16或4 D．16或-4【答案】B【详解】两圆方程作差可得，即公共弦所在直线方程为，由圆，则圆心，半径，点到公共弦所在直线的距离，公共弦长为，则，解得或，由圆，整理可得，则，所以或.故选：B.【变式1】已知点，，若圆上存在点满足，则实数的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】若为坐标原点，则，所以，所以点落在以原点为圆心，以为半径的圆上，又因为点落在以为圆心，以为半径的圆上，所以点是两圆的交点，即两圆有交点，由圆与圆的位置关系得到，解得，所以的最大值为.故选：A.题型4公共弦与公切线【典例1】若圆O:x2+y2=A．5 B． C． D．10【答案】A【详解】，，，由，解得，或，则，因为，所以四边形的面积为.故选：A.题型点播（1）圆的切线方程的求法=1\*GB3①点在圆上，法一：当相关直线斜率均存在时，可利用切线的斜率kl与圆心和该点连线的斜率kOM的乘积等于−法二：圆心到直线的距离等于半径．②点M(x0,y0)在圆外，则设切线方程：y注意：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上．（2）常见圆的切线方程过圆上一点的切线方程是；过圆上一点的切线方程是．过圆外一点作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为对于圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，求圆上点P(x0两圆相交时，将两个圆方程化为x2利用几何法进行转化．【典例2】圆与圆的公切线条数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【详解】圆的方程等价于，所以圆是以为圆心，为半径的圆，圆是以为圆心，为半径的圆，所以圆，圆的圆心距为，圆，圆半径之和为，即圆心距等于两半径之和，因此两圆外切，所以圆，圆有3条公切线．故选：C【变式1】已知圆和圆，则（

）A．圆与圆相切B．两圆公共弦所在直线的方程为C．两圆的公切线段长为3D．有且仅有一个点P，使得过点P能作两条与两圆都相切的直线【答案】D【详解】解：由题可得圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径对于A，显然，圆与圆相交，故A错误;对于B，易知两圆相交，将方程与相减，得公共弦所在直线的方程为，故B错误;对于C，因为，，所以公切线段长为，故C错误;对于D，因为两圆相交，所以两圆的公切线只有两条，又因为两圆半径不相等，所以公切线交于一点P，即过点P可以作出两条与两圆都相切的直线，故D正确;故选：D.题型5圆中的范围、最值与圆系【典例1】圆上的点到直线距离的最小值是（

）A． B．1 C． D．【答案】A【详解】已知圆的标准方程为：，则其圆心,半径.直线方程为，根据点到直线的距离公式计算圆心到直线的距离为：.因为，那么圆与直线相离.因此，圆上点到直线的最小距离为圆心到直线的距离减去半径，即：故选:A.题型点播涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解．一般地：（1）形如的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．（2）形如的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．（3）形如的最值问题，可转化为曲线上的点到点（a，b）的距离平方的最值问题圆系方程：若圆与圆相交于A，B两点，则过A，B两点的圆系方程为：简记为：，不含当时，该圆系退化为公共弦所在直线（根轴）注意：与圆C共根轴l的圆系【典例2】圆与的公共弦长为（

）A． B． C． D．4【答案】A【详解】圆：

①，所以，.圆：

②，所以，.因为，所以圆与圆相交.因此公共弦所在直线的方程为①②：，圆的圆心到公共弦的距离为，即公共弦长为.故选：A【变式1】已知圆与圆交于、两点，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】圆即，圆心，半径；圆即，圆心，半径，因为，则，所以两圆相交，则两圆的公共弦方程为，则到的距离，所以.故选：A强化训练（共10题）1．已知，，若在以原点为圆心的单位圆上存在两个不同的点P满足，则实数的取值范围是【答案】【详解】由题意，设点，因为，，则，所以，即，因为以原点为圆心的单位圆上存在两个不同的点，所以与以原点为圆心的单位圆有两个交点，所以，解得，故答案为：2．已知直线与圆交于A，B两点，则的最大值为（

）A．2 B．4 C．5 D．10【答案】B【详解】直线过定点，圆，易知设到距离为，，当时，.故选:B．3．已知圆，一条过点的直线将圆分成面积相等的两部分，且该直线在碰到直线后反射，射出的直线恰好和圆相切，则的值为．【答案】【详解】因为一条过点的直线将圆分成面积相等的两部分，所以该直线经过圆心.所以该直线的斜率为.所以该直线的方程为，倾斜角为.因为该直线碰到直线后反射，那么射出的直线与轴的夹角为，中，当时，，从而射出的直线的斜率为，且射出的直线经过点.所以射出的直线方程为，即.又该射出的直线恰好与圆相切，所以圆心到该直线的距离为圆的半径，即.故答案为：.

4．已知圆，直线，若直线与轴交于点，过直线上一点作圆的切线，切点为，且，则的取值范围是.【答案】【详解】设，则，整理得，，即点在圆上，又点在直线上，故直线与圆有交点，即，则，解得.故答案为：.5．在平面直角坐标系中，圆的方程为，斜率为的直线过点且与圆相交于，两点．若，则所有满足条件的直线的斜率之积为（

）A． B．6 C．3 D．【答案】D【详解】如图，由题意得，圆心，半径．因为，且，所以，解得，所以．设圆心到直线的距离为，由垂径定理可得，即，所以．由题意知直线的方程为，所以圆心到直线的距离，即，两边平方，得，化简得．设方程的两根分别为，由根与系数关系，得.故选：D．6．在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，过l上一点P作圆的两条切线，切点分别为M、N，设线段的中点为Q，则的最大值为（

）A．2 B． C． D．【答案】D【详解】设点，，因为是圆的切线，所以，所以在以为直径的圆上，其圆的方程为，又在圆上，则将两个圆的方程作差得直线的方程：，即，所以直线恒过定点，又因为，四点共线，所以，即在以为直径的圆上，其圆心为，半径为，所以，所以的最大值为.故选：D．7．已知圆：，直线：.(1)求圆的圆心及半径；(2)求直线被圆截得的弦的长度.【答案】(1)圆心，半径(2)【详解】（1）圆：的标准方程为：，∴圆的圆心为，半径为.（2）由（1）可知：圆的圆心为，半径为.弦中点，连接，，如图所示.由圆的性质可知，.∴圆心到直线：的距离.

在中，，∴，即直线被圆截得的弦的长度为.8．已知圆：，若圆上存在两点关于直线：对称.(1)求的值(2)过点的直线与圆交于，两点，且，求直线的方程.【答案】(1)(2)或【详解】（1）因为圆：可化为，所以圆心为，半径为，因为圆C上存在两点关于直线：对称，则直线经过圆心，将代入，即，解得.（2）依题意，设圆心到直线距离为d，因为，则．当直线l斜率不存在时，直线方程l为，符合题意；当直线l斜率存在时，设直线l方程为，即，所以圆心到直线l的距离，解得，直线l的方程为，即，综上所述，直线l的方程为或.9．已知过点的直线与圆相交于、两点，直线．

(1)当时，求直线的方程；(2)设为直线上的动点，过作圆的两条切线、，切点分别为、，求四边形面积的最小值；(3)是否存在直线，使得向量与共线？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)或(2)(3)存在直线，使得向量与共线，直线的方程为【详解】（1）（解法一）设弦的中点为，①当直线的斜率不存在时，易知符合题意．

②当直线的斜率存在时，设直线的方程为即，，，则由，解得，此时直线的方程为，故直线的方程为或；（解法二）易知直线的斜率不为零，设直线方程为，，，则由，解得或，故直线的方程为或；（2）（解法一）由于、为圆的两条切线，所以，又，而的最小值为点到直线的距离，

所以，故四边形面积的最小值为；（解法二）（前两步同解法一）设点的坐标为，则，，所以当时，，故四边形面积的最小值为；（3）易知直线的斜率不为零，设直线的方程为，、，由，可得，可得，所以，所以，则，所以.又，，所以，若向量与共线，则，由，可得，解得，当时，，所以存在直线，使得向量与共线，直线的方程为，即.10．已知点，，，动点到的距离是到点距离的2倍，记动点的轨迹为曲线．(1)求曲线的轨迹方程；(2)已知动点在直线上，过作曲线的两条切线分别切于两点，直线与分别交于，连接交于．（i）直线是否过定点，如果是，求出定点坐标；如果不是，说明理由；（ii）求的最小值．【答案】(1)；(2)（i）过定点，定点坐标为；（ii）.【详解】（1）由题意得，则，设，则，化简得（2）（i）设，则以为直径的圆为：.与方程作差可得直线为：.即，则，解得.则过定点.（ii）首先证明一个结论，标准圆，其圆上任意一点，在该点处的切线方程为，证明如下，当直线的斜率和直线的斜率均存在且不为0时，则，，则切线方程为，即。当直线的斜率不存在时，此时，，易得切线方程为，适合，当直线的斜率为0时，此时，，易得切线方程为，适合，综上圆上任意一点，在该点处的切线方程为.设，，则化简直线为：.过定点，所以有（*）直线为：，令，则，则同理，直线为：，则同理得则直线为：即同理直线为：由，交于可知两式作差可得对比（*）式可得即，即也在直线上.则.知识小测（共5题）1．若点关于直线对称的点在圆上，且在第一象限内，则实数的值为（

）A． B．2 C． D．【答案】D【详解】显然在圆上，又直线经过该圆的圆心，所以点关于直线对称的点在圆上，又点关于直线对称的点在圆上，所以对称点为圆和圆的交点，联立得交点为（舍去第四象限的点），所以与两点所在直线，与垂直，故.故选：D.2．在平面直角坐标系中，动点到、两点的距离的平方和为10，则的取值范围为.【答案】【详解】由动点到点距离的平方和为10，得，则点的轨迹方程为，点的轨迹是以原点为圆心，半径的圆，可看作是点与点连线的斜率，设直线，即，则圆心到直线的距离，由直线与圆有公共点，得圆心到直线的距离，整理得，解