人教A版高二数学秋季培优班 第9讲 直线与圆、圆与圆（总部定稿版）（学生版）

第9讲直线与圆、圆与圆目录题型01直线与圆的位置关系及参数题型02切线与弦长问题题型03圆与圆的位置关系题型04公共弦与公切线题型05圆中的范围、最值与圆系强化训练（共10题）知识小测（共5题）知识解读知识点01直线与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系：（1）直线与圆相交，有两个公共点；（2）直线与圆相切，只有一个公共点；（3）直线与圆相离，没有公共点．2．直线与圆的位置关系的判定：（1）代数法：判断直线与圆C的方程组成的方程组是否有解．如果有解，直线与圆C有公共点．有两组实数解时，直线与圆C相交；有一组实数解时，直线与圆C相切；无实数解时，直线与圆C相离．（2）几何法：由圆C的圆心到直线的距离与圆的半径的关系判断：当时，直线与圆C相交；当时，直线与圆C相切；当时，直线与圆C相离．知识点02圆的切线方程的求法1．点在圆上，如图．法一：当相关直线斜率均存在时，可利用切线的斜率kl与圆心和该点连线的斜率kOM的乘积等于−法二：圆心到直线的距离等于半径．2．点(x0,y0)在圆外，则设切线方程：y−知识点03求直线被圆截得的弦长的方法1．应用圆中直角三角形：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法．2．利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长．知识点04圆与圆的位置关系1．圆与圆的位置关系：（1）圆与圆相交，有两个公共点；（2）圆与圆相切（内切或外切），有一个公共点；（3）圆与圆相离（内含或外离），没有公共点．2．圆与圆的位置关系的判定：（1）代数法：判断两圆的方程组成的方程组是否有解．有两组不同的实数解时，两圆相交；有一组实数解时，两圆相切；方程组无解时，两圆相离；若两圆方程等价，则方程组有无穷多组解，两圆重合．（2）几何法：设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为．当时，两圆相交；当时，两圆外切；当时，两圆外离；当d=0且r1=r题型精讲题型1直线与圆的位置关系及参数【典例1】已知圆，直线，则直线与圆的公共点个数为（

）A．个 B．个 C．个 D．与有关，不能确定题型点播直线与圆的位置关系判断方法法一抓住直线与圆的位置关系的代数特征，从而转化为对方程的解的研究，这是研究直线与曲线的位置关系的基本方法；法二抓住直线与圆的位置关系的几何特征，从而转化为研究圆心到直线的距离，抓住几何特征对于研究圆的问题特别有效；法三通过判定直线过圆内一定点，从而使问题获证．由上述三种解法可知，解题的切入点不同，解法就有优劣之分．因此，在解题时，审题要慢，要仔细地分析题意，透彻地理解题意，挖掘其中的隐含条件，从而找到解决问题的捷径．直接联立求解．【典例2】若轴与圆相切，则（

）A． B． C． D．【变式1】若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．题型2切线与弦长问题【典例1】已知圆，过直线上一点P作圆C的切线，切点为A、B，则的最小值为．题型点播求圆的切线方程一般有三种方法：（1）直接法：应用常见结论，直接写出切线方程；（2）待定系数法；（3）定义法．一般地，过圆外一点可向圆作两条切线，在后两种方法中，应注意斜率不存在的情况．=1\*GB3①利用垂径定理：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法．=2\*GB3②利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长．③利用弦长公式：设直线l:y=kx+b，与圆的两交点(x1,y【典例2】已知直线，圆，若直线与圆交于M，N两点，则的取值范围为．【变式1】已知动直线：若直线与直线平行，则的值为；若动直线被圆所截，则截得的弦长最短为．题型3圆与圆的位置关系【典例1】圆与圆的位置关系是．题型点播已知两圆半径分别为，两圆的圆心距为，则：（1）两圆重合⇔d=0且r1=r2；（2）两圆外离⇔r1利用几何法判定两圆的位置关系比用代数法（即解两圆方程联立方程组的方法）要简捷些，但需要注意的是，我们这里所说的几何法仍然是在解析几何前提下的几何法，即利用圆的方程及两点间距离公式求出两圆圆心距d和两圆的半径R和r，再根据d与、d与的大小关系来判定即可．【典例2】圆与圆的公共弦长为，则的值为（

）A．12或4 B．12或-4 C．16或4 D．16或-4【变式1】已知点，，若圆上存在点满足，则实数的最大值为（

）A． B． C． D．题型4公共弦与公切线【典例1】若圆O:x2+y2=A．5 B． C． D．10题型点播（1）圆的切线方程的求法=1\*GB3①点在圆上，法一：当相关直线斜率均存在时，可利用切线的斜率kl与圆心和该点连线的斜率kOM的乘积等于−法二：圆心到直线的距离等于半径．②点M(x0,y0)在圆外，则设切线方程：y注意：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上．（2）常见圆的切线方程过圆上一点的切线方程是；过圆上一点的切线方程是．过圆外一点作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为对于圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，求圆上点P(x0两圆相交时，将两个圆方程化为x2利用几何法进行转化．【典例2】圆与圆的公切线条数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【变式1】已知圆和圆，则（

）A．圆与圆相切B．两圆公共弦所在直线的方程为C．两圆的公切线段长为3D．有且仅有一个点P，使得过点P能作两条与两圆都相切的直线题型5圆中的范围、最值与圆系【典例1】圆上的点到直线距离的最小值是（

）A． B．1 C． D．题型点播涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解．一般地：（1）形如的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．（2）形如的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．（3）形如的最值问题，可转化为曲线上的点到点（a，b）的距离平方的最值问题圆系方程：若圆与圆相交于A，B两点，则过A，B两点的圆系方程为：简记为：，不含当时，该圆系退化为公共弦所在直线（根轴）注意：与圆C共根轴l的圆系【典例2】圆与的公共弦长为（

）A． B． C． D．4【变式1】已知圆与圆交于、两点，则（

）A． B． C． D．强化训练（共10题）1．已知，，若在以原点为圆心的单位圆上存在两个不同的点P满足，则实数的取值范围是2．已知直线与圆交于A，B两点，则的最大值为（

）A．2 B．4 C．5 D．103．已知圆，一条过点的直线将圆分成面积相等的两部分，且该直线在碰到直线后反射，射出的直线恰好和圆相切，则的值为．4．已知圆，直线，若直线与轴交于点，过直线上一点作圆的切线，切点为，且，则的取值范围是.5．在平面直角坐标系中，圆的方程为，斜率为的直线过点且与圆相交于，两点．若，则所有满足条件的直线的斜率之积为（

）A． B．6 C．3 D．6．在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，过l上一点P作圆的两条切线，切点分别为M、N，设线段的中点为Q，则的最大值为（

）A．2 B． C． D．7．已知圆：，直线：.(1)求圆的圆心及半径；(2)求直线被圆截得的弦的长度.8．已知圆：，若圆上存在两点关于直线：对称.(1)求的值(2)过点的直线与圆交于，两点，且，求直线的方程.9．已知过点的直线与圆相交于、两点，直线．

(1)当时，求直线的方程；(2)设为直线上的动点，过作圆的两条切线、，切点分别为、，求四边形面积的最小值；(3)是否存在直线，使得向量与共线？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由．10．已知点，，，动点到的距离是到点距离的2倍，记动点的轨迹为曲线．(1)求曲线的轨迹方程；(2)已知动点在直线上，过作曲线的两条切线分别切于两点，直线与分别交于，连接交于．（i）直线是否过定点，如果是，求出定点坐标；如果不是，说明理由；（ii）求的最小值．知识小测（共5题）1．若点关于直线对称的点在圆上，且在第一象限内，则实数的值为（

）A． B．2 C． D．2．在平面直角坐标系中，动点到、两点的距离的平方和为10，则的取值范围为.3．已知函数的图象上有且仅有两个不同的点关于直线的对称点在的图象上，则的取值范围是