人教A版高一数学秋季培优班 第8讲 函数的基本性质（总部定稿版）（教师版）

第8讲函数的基本性质目录题型01函数单调区间与单调性判断题型02利用单调性求参数范围题型03利用单调性解不等式题型04函数最值问题题型05函数奇偶性的判断与证明题型06由奇偶性求解析式与抽象函数题型07奇偶性与单调性的综合应用强化训练（共12题）知识小测（共5题）知识解读函数的基本性质知识点01函数的单调性1．增函数、减函数的概念一般地，设函数的定义域为，区间如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数．如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是减函数．2．单调性与单调区间（1）单调区间的定义如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间．函数的单调性是函数在某个区间上的性质．3．证明函数单调性的步骤（1）取值．设x1,x（2）变形．通常作差f(x1)−f(（3）定号．判断差的正负；采用作商法时，判断商与1的大小关系；（4）得出结论．4．函数单调性的判断方法（1）定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．（2）图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．（3）直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．（4）记住几条常用的结论①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数；②若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减）函数；③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；若且为减函数，则函数为减函数，为增函数．知识点02基本初等函数的单调性1．正比例函数当时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数．2．一次函数当时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数．3．反比例函数当时，函数的单调递减区间是，不存在单调增区间；当时，函数的单调递增区间是，不存在单调减区间．4．二次函数若，在区间，函数是减函数；在区间，函数是增函数；若，在区间，函数是增函数；在区间，函数是减函数．知识点03函数的最大（小）值1、最大值：对于函数，其定义域为，如果存在，f(x0)=M，使得对于任意的，都有，那么，我们称是函数的最大值，即当时，是函数的最大值，记作．2、最小值：对于函数，其定义域为，如果存在，f(x0)=M，使得对于任意的，都有，那么，我们称是函数的最小值，即当时，是函数的最小值，记作．3、几何意义：一般地，函数的最大值对应图象中最高点的纵坐标，最小值对应图象中最低点的纵坐标；取得最大值或最小值的点不一定只有一个．知识点04函数奇偶性的概念及图象性质1．函数奇偶性的概念偶函数：设函数f(x)的定义域关于原点对称．若对于定义域内任意一个x，都有f奇函数：设函数f(x)的定义域关于原点对称．若对于定义域内任意一个x，都有f2．奇偶函数的图象与性质（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．（2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于轴对称；反之，如果一个函数的图像关于轴对称，则这个函数是偶函数．题型精讲题型1函数单调区间与单调性判断【典例1】“函数在上单调递减”是“”的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】先判定充分性，若在上单调递减，由幂函数及复合函数的单调性可知，则，满足充分性；再判定必要性，可举反例，若，则单调递减，此时的定义域为，此时在上单调递减，不满足必要性，综上“函数在上单调递减”是“”的充分不必要条件.故选：B题型点播1.数形结合利用图象判断函数单调区间；2.关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关．3.复合函数的单调性分析：先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函数；利用已知函数的单调性解决．关注：内外层函数同向变化复合函数为增函数；内外层函数反向变化复合函数为减函数．【变式1】若定义在上的函数满足，则的单调递增区间为（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】B【详解】当时，，则，在上单调递增；当时，，，，在上单调递增；综上所述：的单调递增区间为和.故选：B.题型2利用单调性求参数范围【典例1】已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】当时，若，则，若，则，函数的值域不可能为；当时，，在上单调递增，在上单调递增，，若函数的值域为，则，解得；综上所述，实数a的取值范围是.故选：B.题型点播1.解答分类问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及讨论对象的范围；其次要确定分类标准，即标准统一、不重不漏；再对所分类逐步进行讨论，分级进行；最后进行归纳小结，综合得出结论．2.分离参数法，即把分离出来放到不等式的左边，不等式的右边是关于的函数，然后转化成求函数的最值问题．【变式1】若函数在单增，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】当时，此时，令，则是一次函数，所以在上单调递增.且当时，，满足的定义域要求，所以在上单调递增，故符合题意.当时，二次函数的图象开口向上，对称轴为.所以在上单调递增.要使有意义，则在上恒成立.当时，，因为，所以，满足，所以符合题意.当时，二次函数的图象开口向下，对称轴为.那么在上单调递增，在上单调递减，所以不可能在上单调递增，故不符合题意.综合以上三种情况，实数的取值范围是.故选:C.题型3利用单调性解不等式【典例1】已知是定义在上的减函数，其图象经过两点，则使不等式成立的的取值范围（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】不等式等价或，又是函数图象上两点，即，，且是定义在上的减函数，故或，所以或，即不等式解集为.故选：A题型点播利用函数单调性解不等式时，可将原不等式转化为f(u)>f(v【变式1】已知定义域为的函数满足，，且当时，．(1)求的值；(2)用单调性定义证明：在定义域上是增函数；(3)若，求不等式的解集，若不存在，请说明理由【答案】(1)(2)证明见解析(3)存在，解集为【详解】（1）因为，，令，可得，所以．（2）对，且，则，因为，，则，又因为，可得，且当时，，则，即，所以在定义域上是增函数．（3）因为函数的定义域为，则，解得．由，得等价于，且，可得，由（2）可知：在定义域上是增函数．可得，解得，或（舍去），故，故不等式的解集为．题型4函数最值问题【典例1】设函数的最大值为M，最小值为m，则（

）A．0 B．1 C．2 D．4【答案】C【详解】由函数，显然，当，，当时，，当且仅当，即时，等号成立，则，故；当时，，当且仅当，即时，等号成立，则故；综上可得，，，则.故选：C.题型点播1.如果函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则函数在处有最大值．2.如果函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，则函数在处有最小值．若函数在上是严格单调函数，则函数在上一定有最大、最小值．3.若函数在区间上是单调递增函数，则的最大值是，最小值是．4.若函数在区间上是单调递减函数，则的最大值是，最小值是．【变式1】设函数.(1)求的单调区间；(2)求在区间的最大值和最小值.【答案】(1)递增区间是，递减区间是；(2)最大值和最小值分别为【详解】（1）函数中，，即，解得，函数在上单调递增，在上单调递减，而函数在上单调递增，所以的单调递增区间是，递减区间是.（2）由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减，而，则，所以在区间的最大值和最小值分别为.题型5函数奇偶性的判断与证明【典例1】（多选）已知函数（），下列说法正确的是（

）A．当时，函数的值域为B．当时，函数有最小值没有最大值C．当时，函数在区间上单调递增D．当时，函数的值域为【答案】AD【详解】对于A，时，，当，当且仅当取到等号，由于，故为奇函数，故当，因此函数的值域为，故A正确，对于B，当时，，由于函数均在单调递增函数，故为单调递增函数，故在内无最大值也无最小值，结合，故为奇函数，因此在也无最大值和最小值，故B错误，对于C，当时，，函数，故在单调递减，在单调递增函数，故C错误，对于D，由B可知，当时，为单调递增函数，且为奇函数，因此函数的值域为，D正确，故选：AD题型点播判定函数奇偶性容易失误是由于没有考虑到函数的定义域．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件，因此研究函数的奇偶性必须“坚持定义域优先”的原则，即优先研究函数的定义域，否则就会做无用功．【变式1】判断下列函数的奇偶性：(1)；(2)，．【答案】(1)既是奇函数又是偶函数；(2)偶函数.【详解】（1）由，得，即．函数的定义域是，关于原点对称，且，既是奇函数又是偶函数．（2）函数的定义域为，关于原点对称．，是偶函数．题型6由奇偶性求解析式与抽象函数【典例1】已知是定义在R上的奇函数，且时，，若对任意，不等式恒成立，则实数m的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意知是定义在R上的奇函数，且时，，此时函数在单调递增，故时，，则，，此时函数在单调递增，且，故，在R上单调递增；，即，即，即，即，故对任意，都有，即恒成立，由此可得，解得，即实数m的取值范围为，故选：B题型点播抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于的方程，从而可得的解析式．【典例2】已知定义域为R的函数，满足是奇函数，是偶函数，则下列说法错误的是（

）A．的图象关于直线对称 B．C．的一个周期为4 D．的图象关于点对称【答案】B【详解】由是偶函数，可知，则关于对称，故A正确；因为是奇函数，所以也是奇函数，关于点对称，故D正确；由AD可知，，即，即，则，所以是周期函数，周期为4，故C正确；由可知，，函数关于对称，但不确定，故B错误.故选：B【变式1】定义在上的函数满足：①对任意都有；②当，.(1)判断函数的奇偶性，并说明理由；(2)判断函数在上的单调性，并说明理由；(3)若，试求的值.【答案】(1)奇函数，理由见解析(2)在上单调递减，理由见解析(3)1【详解】（1）函数为奇函数.理由如下：定义域，关于原点对称，令，则，得，令，则，所以，则是上的奇函数（2）在上单调递减，理由如下：设，因为，，，所以，，所以，即，因此在上单调递减.（3），因为，所以.题型7奇偶性与单调性的综合应用【典例1】已知函数．(1)判断的奇偶性并用定义证明；(2)判断的单调性并用定义证明；(3)解不等式．【答案】(1)奇函数，证明见解析(2)是上的增函数，证明见解析(3)【详解】（1）是奇函数，证明如下：的定义域为，对于，都有，且，所以，即函数是奇函数；（2）是上的增函数，证明如下：设任意，且，,因为，所以，因此，即，所以在上单调递增；（3）因为是定义在上的奇函数，所以，可化为，又是上的增函数，所以，解得，即原不等式的解集为．题型点播函数的奇偶性与单调性的综合问题主要有两类：一类是两个性质交融在一起（如本例），此时要充分利用奇偶函数的图象的对称性，从而得到其对称区间上的单调性；另一类是两个性质简单组合，此时只需分别利用函数的这两个性质解题．【典例2】函数的图像大致是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】因为，所以函数为奇函数，图象关于原点成中心对称，故C错；令，则，故B错；令，则，故D错.选项A正确.故选：A【变式1】已知偶函数和奇函数的定义域都是，它们在上的图像分别是图1和图2，则关于的不等式的解集是．【答案】【详解】由偶函数的性质可知，，或，由奇函数的性质可知，，，当，得，当，得，所以不等式的解集为.故答案为：强化训练（共12题）1．定义在上的函数图象关于直线对称，在单调递减，若且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由，则得，因为，所以，又函数图象关于直线对称，在单调递减，所以在区间上单调递增，所以，故B正确.故选：B.2．已知函数是定义域为的奇函数，且，若对任意的，，且，都有成立，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】对任意的，，且，都有成立，所以在单调递增，又因为函数是定义域为的奇函数，所以在单调递增，由，当时，，即；当时，，即；由可得.故选：D.3．已知定义在实数集上的函数满足：，，且．下列结论正确的是（

）A．是奇函数 B．在区间上单调递减C．的周期为3 D．【答案】D【详解】对于A，令，得，则，令，得，函数是偶函数，A错误；对于B，令，得，而，则函数在上不是单调递减函数，B错误；对于C，令，得，则，令，，得，则，，C错误；对于D，由为偶函数，得，D正确.故选：D4．已知函数满足对任意的实数，都有成立，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】∵对任意的实数，都有成立，不妨设，∴，，∴函数在上单调递减.当时，单调递减，∴，解得；当时，单调递减，∴，即；又函数在上单调递减，∴，解得，综上所述，实数a的取值范围是.故选：B.5．已知函数若在上单调递增，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由于函数是定义在上的增函数，所以，函数在区间上为增函数，函数在区间上为增函数，需满足：，解得.因此，实数的取值范围是.故选：A.6．（多选）已知函数的定义域为是奇函数，是偶函数，当时，，则（）A．的图象关于直线对称 B．是周期函数C．在上单调递减 D．在内有4个零点【答案】AB【详解】对于A：是偶函数，，关于直线对称，故A正确；对于B：由A可知关于直线对称，①，又是奇函数，，即，关于点对称，②，由①②可得，即，，，的一个周期为8，故B正确；对于C：由B知关于点对称，时，单调递增，在也单调递增，又关于直线对称，∴在上单调递减，上单调递增，故C错误；对于D：定义域为，关于对称，，又关于直线对称，，又在也单调递增，关于直线对称，在内有2个零点，故D错误，故选：AB.7．已知函数，若在单调递增，则m的范围为.【答案】.【详解】由题意，所以在单调递减，在单调递增，在单调递减，在单调递增，若在单调递增，则或，解得或.故答案为：.8．已知是定义域为的奇函数，满足，若，则．【答案】【详解】是定义域为的奇函数，且，，，即函数是以4为一个周期的周期函数，中，令得，中，令得，，∴，又，故，所以当时，，其中，，则．故答案为：9．已知函数是定义在上的奇函数，且.(1)求a，b的值；(2)用定义法证明函数在上单调递增；(3)解不等式.【答案】(1)；(2)证明见解析；(3).【详解】（1）由题设，，则，所以，则，满足题设，所以；（2）由（1），令，则，由，则，所以函数在上单调递增；（3）由题设，则，所以，即.10．已知函数满足，.(1)求，的值；(2)判断的奇偶性；(3)求不等式的解集.【答案】(1)，(2)为偶函数.(3)【详解】（1）由题意得，将代入，得到，解得.（2）由（1）可得，其定义域为，关于原点对称，且，故为偶函数.（3）当时，在上单调递增，由复合函数单调性可知在上单调递减，且为偶函数，故等价于，两边平方可得，即，解得.11．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是．【答案】【详解】已知函数，当时，单调递增，所以最大值为；当且时，在上单调递增；所以要使函数在上单调递增，则，解得或(舍去).故答案为：.12．已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，．(1)求的解析式；(2)证明：函数在上单调递增．【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）当时，，因当时，，得．因为是偶函数，所以当时，．故．（2）证明：由（1）可知，当时，．任取，，令，则，因为，所以，，，则，则，即，从而可证在上单调递增．知识小测（