2026哈工大线性代数期末试题及答案

2026哈工大线性代数期末试题及答案一、单项选择题（每题3分，共15分）1.设A为n阶方阵，且|A|A.−B.2C.(D.−答案：C解析：由行列式性质，|−2.设A,B均为n阶矩阵，且A.A=OB.|A|C.BD.(答案：B解析：|AB|=|3.设向量组α1A.αB.αC.αD.α答案：C解析：(α4.设A为3阶方阵，其特征值为1,−A.0B.4C.−D.8答案：A解析：令f(x)(1)=0,\f(-1)=4,\f(2)=1$，故行列式$=0\times4\times1=0$。5.设A为n阶正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.|B.AC.A的列向量组构成标准正交向量组D.A的特征值全为1答案：D解析：正交矩阵的特征值模长为1，但可以为−1或复数eiθ二、填空题（每题3分，共15分）1.设A为3阶方阵，且|A|=答案：4解析：|A2.设α=(1,2答案：1解析：因α,β均非零，A的列向量均为α的倍数，故秩为3.设非齐次线性方程组Ax$$\begin{pmatrix}

1&0&0&1&2\\

0&1&0&2&3\\

0&0&0&0&0

\end{pmatrix}$$则方程组一般解中自由未知量的个数为\\\\。答案：2解析：系数矩阵秩R(A)=24.设3阶矩阵A的特征值为2,3,答案：24解析：|A|等于所有特征值的乘积，即5.二次型f(x1,x答案：6解析：二次型矩阵A的对角元为1,2,三、计算题（每题10分，共50分）1.计算4阶行列式$$D=\begin{vmatrix}

2&1&0&0\\

1&2&1&0\\

0&1&2&1\\

0&0&1&2

\end{vmatrix}.$$答案：D=解析：按第一行展开可得递推式Dn=2Dn2.讨论λ取何值时，线性方程组$$\begin{cases}

x_1+x_2+\lambdax_3=1,\\

x_1+\lambdax_2+x_3=1,\\

\lambdax_1+x_2+x_3=1

\end{cases}$$有唯一解、无解、有无穷多解？并在有无穷多解时求其通解。答案：系数行列式|A-当λ≠1且λ≠-当λ=−2-当λ=1时，三个方程均为x1+x(解析：对系数矩阵求行列式，将第2、3行加到第1行后可提出公因子λ+3.设向量组α求该向量组的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示。答案：因为α2=2对矩阵(α$$\begin{vmatrix}

1&1&0\\

2&0&1\\

0&1&1

\end{vmatrix}

=-3\neq0,$$故α1,α3,α4解析：通过观察找到线性相关关系，并用子式验证剩余向量线性无关，从而确定秩和极大无关组。4.求矩阵$$A=\begin{pmatrix}

1&2&2\\

2&1&2\\

2&2&1

\end{pmatrix}$$的特征值与特征向量，并判断A是否可对角化。答案：特征多项式|λE−-对λ1=5，解(5E−A-对λ2=λ3=−1，解(−E由于A是实对称矩阵，必有3个线性无关的特征向量，故可对角化。解析：求出全部特征值及对应的线性无关特征向量，实对称矩阵一定可对角化。5.用正交变换化二次型f为标准形，并写出所用的正交变换。答案：二次型的矩阵为$$A=\begin{pmatrix}

2&1&1\\

1&2&1\\

1&1&2

\end{pmatrix}.$$特征多项式|λE−-对λ1=4，解(-对λ2=λ3=ξ两两正交，单位化得正交矩阵$$Q=\begin{pmatrix}

\frac{1}{\sqrt{3}}&\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{6}}\\

\frac{1}{\sqrt{3}}&-\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{6}}\\

\frac{1}{\sqrt{3}}&0&-\frac{2}{\sqrt{6}}

\end{pmatrix}.$$令x=f解析：计算特征值和特征向量，将特征向量正交化、单位化，构造正交矩阵Q，最后验证QT四、证明题（每题10分，共20分）1.设A为n阶方阵，且A2=E。证明：A的特征值只能是1或−答案：设λ是A的任一特征值，α为对应特征向量，则Aα=λA又A2=E，所以A2α=Eα=α，因此因为0不是A的特征值，所以|A|≠解析：利用特征值与特征向量的定义，结合