人教版数学八年级下册 第20章 勾股定理重难点检测卷（压轴卷） 试卷 含答案

第二十章勾股定理重难点检测卷（压轴卷）（满分100分，考试时间120分钟，共26题）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效；3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效；4.测试范围：勾股定理全章内容；5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I卷（选择题）选择题（10小题，每小题2分，共20分）1．（25-26八年级上·江苏南京·周测）若三角形的三边长为、、（为正整数），则该三角形的形状（

）A．是锐角三角形 B．是直角三角形C．是钝角三角形 D．根据的值决定2．（24-25八年级上·河南郑州·期中）如图，矩形中，，在数轴上，若以点A为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M表示的实数为（

）A． B． C． D．3．（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图，坐标系中有两点，则（

）A． B． C． D．4．（25-26八年级下·山东东营·期中）如图，在中，，，，以为边作正方形，则正方形的面积是（

）A． B． C． D．5．（25-26八年级上·江西景德镇·期末）为了体验人工智能生活，小善想购入一款圆形扫地机放置在如图所示的衣帽间的角落（鞋柜、衣柜与地面均无缝隙），在没有障碍物阻挡的前提下，扫地机能从底座脱离后打扫全屋地面．已知该圆形扫地机有如下5款尺寸（直径）：、、、、，则其中有（

）款扫地机可以购买．A．1 B．2 C．3 D．46．（24-25八年级下·山东济南·期末）定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角．例如：如图①，在四边形中，且，那么四边形就是邻等四边形．问题解决：如图②，在的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形是邻等四边形（点D在格点上），则所有符合条件的点D共有（

）个．A．2 B．3 C．4 D．57．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）如图是用三块正方形纸片设计的“毕达哥拉斯”图案，其中三块正方形围成的三角形是直角三角形．现有若干块正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，则下列选取中，围成的直角三角形面积最大的是（

）A．1，4，5 B．2，3，5 C．3，4，5 D．2，2，48．（2025·山西阳泉·一模）某社区为了让居民享受更多“开窗见景，推门见绿”的空间，决定将一块四边形区域改造为儿童游乐场．图1是该区域的设计图，图2是该四边形区域的几何示意图，，，，，，按照计划要先在该区域铺设塑胶，已知铺设1平方米塑胶需要200元，则铺满该区域需要的费用是（

）A．40800元 B．91600元 C．60800元 D．48000元9．（24-25八年级上·山东青岛·期末）世纪，印度一位著名数学家婆什迦罗在他的名著《丽罗娃提》中记载了一个有趣的问题：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”这首诗的大意是：在平静的湖面上，有一朵荷花高出水面半尺，忽然一阵强风吹来把荷花垂直拉到水里且荷花恰好落在水面．此时，捕鱼的人发现，花在水平方向上离开原来的位置尺远，由此可知湖水的深度是（

）A．尺 B．尺 C．尺 D．尺10．（24-25八年级下·山西太原·月考）我国古代称直角三角形为“勾股形”，并且直角边中较短边为勾，另一直角边为股，斜边为弦．如图1所示，数学家刘徽（约公元225年—公元295年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．如图2所示的长方形，是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成，若，，则长方形的面积为（

）A．6 B．9 C．12 D．15二、填空题（8小题，每小题2分，共16分）11．（25-26八年级上·重庆沙坪坝·月考）如图，若直角三角形的两条直角边长分别为6，8，则图中阴影部分（正方形）的面积为_________．12．（24-25八年级下·四川绵阳·月考）如图，分别以的三边为直径向三角形外作半圆，图中有阴影的三个半圆的面积的关系为，则是______三角形．13．（24-25八年级上·宁夏银川·月考）如图，小华将升旗的绳子拉到竖直旗杆的底端，绳子末端刚好接触地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆处，此时绳子末端距离地面，则绳子的总长度为______．14．（25-26八年级下·四川绵阳·期末）如图，在中，，点为的中点，点在平面内运动，满足，连接，则的面积的最小值为___________．15．（24-25八年级下·河北保定·期末）如图，在每个小正方形的边长均为1的网格中，线段的两个端点均在格点（正方形的顶点）上．

（1）线段的长为___________；（2）若是直角三角形，则网格中满足条件的格点C共有___________个．16．（24-25八年级上·四川眉山·期末）如图，我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（图1），后人称其为“赵爽弦图”、由图1变化得到图2，它是用八个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形，正方形，正方形的的面积分别为，，，若，则的值为_____．17．（24-25八年级下·黑龙江大庆·期末）笔直的河流一侧有一旅游地C，河边有两个漂流点A，B．其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个漂流点H（A，H，B在同一直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．则原路线______千米．18．（24-25八年级下·广西南宁·月考）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”小明同学根据原文题意，画出示意图如图所示．已知：秋千静止时，踏板离地1尺，将它推送2步（水平距离）时，秋千的踏板就和身高为5尺的曾记一样高，秋千的绳索始终拉得很直．若小明同学根据题意计算出秋千的绳索长为14.5尺，则文中“两步”是____________尺．

三、解答题（8小题，共64分）19．（24-25八年级上·陕西汉中·期末）如图，点O为数轴上的原点，的两条直角边长分别为，，且点A在数轴上，请你在数轴的负半轴上画出点C，使得点C表示的数为．（保留画图痕迹，不写画法）

20．（24-25八年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，在中，于点，，，，(1)求；(2)求的度数．21．（24-25八年级上·山东枣庄·月考）在图中所示的长方形零件示意图中，根据所给的部分尺寸，求两孔中心A和B的距离（单位：mm）22．（2025八年级上·全国·专题练习）已知图①是某超市的购物车，图②是超市购物车的侧面示意图，现已测得购物车支架，，两轮轮轴的水平距离（购物车车轮半径忽略不计），，均与地面平行．(1)猜想两支架与的位置关系并说明理由；(2)若的长度为，，求购物车把手点到的距离．23．（24-25八年级下·福建福州·期末）【发现问题】

小明在课外书上遇到了下面这道题：已知，，求线段的长度．小明经过思考以后，发现这类问题可以通过勾股定理来解决．思路如下：在平面直角坐标系中，设，，要求线段的长度可以用如下的方法，如图，过作轴的垂线，垂足为，过作轴的垂线，垂足为，延长交于点，则线段的长度可以表示为，且，在Rt△中，，根据勾股定理可得：【解决问题】（1）①则线段长度是；②如果点，点，则线段长度是

【知识迁移】（2）①点，，请在轴上找一点，使得的值最大，请直接写出这个最大值是．②点，，请在轴上找一点，使得最小，请直接写出这个最小值是．【拓展延伸】（3）①代数式的最小值是．②代数式的最大值是．24．（25-26八年级上·广东河源·月考）勾股定理是人类最伟大的十大科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．某数学兴趣小组在学习了勾股定理之后，进行了如下探究．【问题提出】（1）如图①，在中，，分别以这个三角形的三边为边长向外作正方形，面积分别记为，，．如果，求阴影部分的面积；【深入探究】（2）如图②，四边形Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，都是正方形，三角形Ⅵ，Ⅶ都是直角三角形，若正方形Ⅰ，Ⅱ，Ⅳ的面积依次为6，10，24，求正方形Ⅲ的面积；【应用】（3）如图③，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若，，求的值．25．（24-25八年级下·河南郑州·期末）综合与实践：数学课上，同学们以“等边三角形折叠”为主题开展数学活动．

(1)操作判断，操作一：将如图（1）所示的等边三角形纸片折叠，使点B和点C重合，得到折痕，把纸片展开，如图（2）；操作二：将如图（1）所示的等边三角形纸片折叠，分别使点B和点C重合，点A和点C重合，点A和点B重合，折叠三次，得到三条折痕，，，三条折痕的相交于点O，把纸片展开，如图（3）；若等边三角形的边长为4，根据以上操作，①；②；③，这三种线段和中，线段和最小的是（填序号）________，最小值是．(2)迁移研究：小帅同学将等边三角形纸片换成等腰三角形纸片，继续研究，过程如下：将等腰三角形纸片按照（1）中的操作二进行折叠，折痕交点为点O，把纸片展开，如图（4），若，，求点O到点A的距离．(3)拓展应用：在等腰△ABC中，已知，的面积为10，点O到三个顶点的距离相等，请直接写出点O到点A的距离．26．（24-25八年级上·广东佛山·期末）初中几何的学习始于空间的“实物和具体模型”，聚焦平面的“几何图形的特征和运用”，形成了空间几何问题要转化为平面几何问题的解题策略．问题提出：如图所示是放在桌面上的一个圆柱体，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，如何求最短路程呢？(1)问题分析：蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，可以有几条路径？在图中画出来；(2)问题探究：①若圆柱体的底面圆的周长为，高为，蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，求最短路程；②若圆柱体的底面圆的周长为，高为，蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，求最短路程；③若圆柱体的底面圆的半径为，高为，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，求最短路程．

第二十章勾股定理重难点检测卷（压轴卷）（满分100分，考试时间120分钟，共26题）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效；3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效；4.测试范围：勾股定理全章内容；5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I卷（选择题）选择题（10小题，每小题2分，共20分）1．（25-26八年级上·江苏南京·周测）若三角形的三边长为、、（为正整数），则该三角形的形状（

）A．是锐角三角形 B．是直角三角形C．是钝角三角形 D．根据的值决定【答案】C【分析】本题考查了勾股定理的应用．通过比较最大边的平方与其他两边的平方和，判断三角形的形状．【详解】解：，以、、为三边构成的三角形是钝角三角形，故选：C．2．（24-25八年级上·河南郑州·期中）如图，矩形中，，在数轴上，若以点A为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M表示的实数为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查实数与数轴、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用勾股定理求出的长．先利用勾股定理求出，根据，求出，由此即可解决问题，【详解】解：四边形是矩形，，，，，，A为，，点表示点数为．故选：．3．（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图，坐标系中有两点，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了已知两点坐标求两点距离，根据两点的坐标得出，，再根据勾股定理即可求出．【详解】解：∵点∴，，∴，故选：B4．（25-26八年级下·山东东营·期中）如图，在中，，，，以为边作正方形，则正方形的面积是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．根据勾股定理可求出，进而求出正方形的面积．【详解】解：在中，，由勾股定理得：，．故选：B．5．（25-26八年级上·江西景德镇·期末）为了体验人工智能生活，小善想购入一款圆形扫地机放置在如图所示的衣帽间的角落（鞋柜、衣柜与地面均无缝隙），在没有障碍物阻挡的前提下，扫地机能从底座脱离后打扫全屋地面．已知该圆形扫地机有如下5款尺寸（直径）：、、、、，则其中有（

）款扫地机可以购买．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】本题考查勾股定理的实际应用，构造直角三角形是解题的关键．先建立直角三角形，利用勾股定理解决实际问题．【详解】解：如图过点A、B分别作墙的垂线，交于点C，则，，在中，，即，∴，∵扫地机能从角落自由进出，∴扫地机的直径不大于长，∴小善可以购买扫地机的尺寸直径可以为、、、，共4款，故选：D．6．（24-25八年级下·山东济南·期末）定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角．例如：如图①，在四边形中，且，那么四边形就是邻等四边形．问题解决：如图②，在的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形是邻等四边形（点D在格点上），则所有符合条件的点D共有（

）个．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】本题属于四边形的综合题，考查了邻等四边形定义，勾股定理等知识，根据邻等四边形定义利用网格即可画图．【详解】解：如下3个图，点即为所求；

，四边形为邻等四边形，

，四边形为邻等四边形，

，四边形为邻等四边形，故选：B7．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）如图是用三块正方形纸片设计的“毕达哥拉斯”图案，其中三块正方形围成的三角形是直角三角形．现有若干块正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，则下列选取中，围成的直角三角形面积最大的是（

）A．1，4，5 B．2，3，5 C．3，4，5 D．2，2，4【答案】B【分析】根据题意可知，三块正方形的面积中，两个较小的面积之和等于最大的面积，围成的三角形是直角三角形，再根据三角形的面积，分别计算出几个较大的正方形纸片围成的直角三角形的面积，比较大小，即可解答本题．【详解】解：∵五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，∴五种正方形纸片的边长分别是1，，，，，由题意可得，三角形各边的平方是对应的各个正方形的面积，当选取的三块纸片的面积分别是1，4，5时，1＋4＝5，围成的三角形是直角三角形，面积是，当选取的三块纸片的面积分别是2，3，5时，2＋3＝5，围成的三角形是直角三角形，面积是；当选取的三块纸片的面积分别是3，4，5时，围成的三角形不是直角三角形；当选取的三块纸片的面积分别是2，2，4时，2＋2＝4，围成的三角形是直角三角形，面积是，∵＞1，∴所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是2，3，5，故选：B．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的逆定理解答．8．（2025·山西阳泉·一模）某社区为了让居民享受更多“开窗见景，推门见绿”的空间，决定将一块四边形区域改造为儿童游乐场．图1是该区域的设计图，图2是该四边形区域的几何示意图，，，，，，按照计划要先在该区域铺设塑胶，已知铺设1平方米塑胶需要200元，则铺满该区域需要的费用是（

）A．40800元 B．91600元 C．60800元 D．48000元【答案】A【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的运算．连接，先由勾股定理求出长，再由勾股定理的逆定理判定是直角三角形，然且由直角三角形的面积公式计算出四边形面积，然后用面积乘以单价即可．【详解】解：连接，如图2，∵，，，∴∵，，∴，∴∴，∴铺满该区域需要的费用为：（元），故选：A．9．（24-25八年级上·山东青岛·期末）世纪，印度一位著名数学家婆什迦罗在他的名著《丽罗娃提》中记载了一个有趣的问题：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”这首诗的大意是：在平静的湖面上，有一朵荷花高出水面半尺，忽然一阵强风吹来把荷花垂直拉到水里且荷花恰好落在水面．此时，捕鱼的人发现，花在水平方向上离开原来的位置尺远，由此可知湖水的深度是（

）A．尺 B．尺 C．尺 D．尺【答案】B【分析】本题考查了勾股定理的应用，设湖水的深度尺，根据题意，运用勾股定理，列方程解答即可，运用勾股定理列出方程是解题的关键．【详解】解：设湖水的深度尺，则荷花的长为尺，在直角三角形中，根据勾股定理得，，解得，故选：．10．（24-25八年级下·山西太原·月考）我国古代称直角三角形为“勾股形”，并且直角边中较短边为勾，另一直角边为股，斜边为弦．如图1所示，数学家刘徽（约公元225年—公元295年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．如图2所示的长方形，是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成，若，，则长方形的面积为（

）A．6 B．9 C．12 D．15【答案】C【分析】本题主要考查勾股定理，长方形面积公式，熟练掌握勾股定理是解题的关键．先求出长方形的长和宽，进行计算即可．【详解】解：由题意可得：，设，解得，长方形的面积为．故选C．二、填空题（8小题，每小题2分，共16分）11．（25-26八年级上·重庆沙坪坝·月考）如图，若直角三角形的两条直角边长分别为6，8，则图中阴影部分（正方形）的面积为_________．【答案】100【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；根据勾股定理及正方形的面积公式进行求解即可．【详解】解：由图可知：阴影部分的面积为；故答案为100．12．（24-25八年级下·四川绵阳·月考）如图，分别以的三边为直径向三角形外作半圆，图中有阴影的三个半圆的面积的关系为，则是______三角形．【答案】直角【分析】本题考查勾股定理逆定理，根据圆的面积公式，结合题意求出是解题关键．分别求出，再结合，即可得出，说明是直角三角形．【详解】解：∵，，，又∵，∴，∴，∴是直角三角形．故答案为：直角．13．（24-25八年级上·宁夏银川·月考）如图，小华将升旗的绳子拉到竖直旗杆的底端，绳子末端刚好接触地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆处，此时绳子末端距离地面，则绳子的总长度为______．【答案】10【分析】根据题意画出示意图，设绳子的长度为，可得，，，在中利用勾股定理可求出．【详解】解：过作于，设绳子的长度为，则，，，在中，，即，解得：，即绳子的长度为．故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，构造直角三角形的一般方法就是作垂线．14．（25-26八年级下·四川绵阳·期末）如图，在中，，点为的中点，点在平面内运动，满足，连接，则的面积的最小值为___________．【答案】【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积计算；先利用勾股定理求出，进而可得及点B到的距离，然后求出面积最小时，点E到的距离，进行计算即可．【详解】解：∵，∴，∴点B到的距离为，∵点为的中点，∴，∵点在平面内运动，满足，∴当面积最小时，点E到的距离为，∴的面积的最小值为，故答案为：．15．（24-25八年级下·河北保定·期末）如图，在每个小正方形的边长均为1的网格中，线段的两个端点均在格点（正方形的顶点）上．

（1）线段的长为___________；（2）若是直角三角形，则网格中满足条件的格点C共有___________个．【答案】6/六【分析】（1）构造直角三角形，利用勾股定理求解即可；（2）根据直角三角形的概念，画出图形即可得到答案．【详解】（1）解：如图，

由勾股定理得，故答案为：；（2）解：如图所示，共有6个，

故答案为：6．【点睛】此题考查了作图-应用与设计，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．16．（24-25八年级上·四川眉山·期末）如图，我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（图1），后人称其为“赵爽弦图”、由图1变化得到图2，它是用八个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形，正方形，正方形的的面积分别为，，，若，则的值为_____．【答案】【分析】本题考查了以赵爽弦图为背景的勾股定理的证明，理解正方形的面积，全等三角形面积相等是解题的关键．根据题意，是4个全等的三角形，设每个的面积为，由此可得，根据，即可求解．【详解】解：正方形，正方形，正方形的的面积分别为，，，是4个全等的三角形，设每个的面积为，∴，∴，故答案为：8．17．（24-25八年级下·黑龙江大庆·期末）笔直的河流一侧有一旅游地C，河边有两个漂流点A，B．其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个漂流点H（A，H，B在同一直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．则原路线______千米．【答案】/【分析】先根据勾股定理的逆定理说明是直角三角形且，设千米，则千米，最后在运用勾股定理即可解答．【详解】解：∵在中，，∴，∴是直角三角形且；设千米，则千米，在中，由已知得，由勾股定理得：，∴，解得x=．故答案为．【点睛】本题主要考查勾股定理、勾股定理逆定理等知识点，掌握勾股定理的逆定理和定理是解决本题的关键．18．（24-25八年级下·广西南宁·月考）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”小明同学根据原文题意，画出示意图如图所示．已知：秋千静止时，踏板离地1尺，将它推送2步（水平距离）时，秋千的踏板就和身高为5尺的曾记一样高，秋千的绳索始终拉得很直．若小明同学根据题意计算出秋千的绳索长为14.5尺，则文中“两步”是____________尺．

【答案】10【分析】由题意可知，，，从而可求出，进而可求出．再根据勾股定理求出，即得出．【详解】解：由题意可知，，，∴，∴．在中，，∴，即文中“两步”是10尺．故答案为：10．【点睛】本题考查勾股定理的应用．解题的关键是理解题意，构造直角三角形，利用勾股定理求解．三、解答题（8小题，共64分）19．（24-25八年级上·陕西汉中·期末）如图，点O为数轴上的原点，的两条直角边长分别为，，且点A在数轴上，请你在数轴的负半轴上画出点C，使得点C表示的数为．（保留画图痕迹，不写画法）

【答案】见解析【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，先根据勾股定理求出，再以原点为圆心，长为半径画弧，进而确定点C所表示的数即可．【详解】解：的两条直角边长分别为，，则，如图，点即为所求作．

20．（24-25八年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，在中，于点，，，，(1)求；(2)求的度数．【答案】(1)，；(2)．【分析】本题考查了勾股定理及逆定理，掌握勾股定理及逆定理的应用是解题的关键．（）由，则，然后通过勾股定理即可求解；（）由（）得，，，由勾股定理逆定理得，从而求出度数．【详解】（1）解：∵，∴，∴，；（2）解：由（）得，，，∴，，∵，∴，∴，∴．21．（24-25八年级上·山东枣庄·月考）在图中所示的长方形零件示意图中，根据所给的部分尺寸，求两孔中心A和B的距离（单位：mm）【答案】130mm【分析】首先根据题意算出和的长，再利用勾股定理计算出的长即可．【详解】解：如图所示：由题意得：（mm），（mm），在中：（mm），答：两孔中心A、B之间的距离为130mm．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题关键．22．（2025八年级上·全国·专题练习）已知图①是某超市的购物车，图②是超市购物车的侧面示意图，现已测得购物车支架，，两轮轮轴的水平距离（购物车车轮半径忽略不计），，均与地面平行．(1)猜想两支架与的位置关系并说明理由；(2)若的长度为，，求购物车把手点到的距离．【答案】(1)，理由见解析(2)【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用，熟练掌握定理内容是解题的关键．（1）根据勾股定理逆定理判断为直角三角形，即可得到结论；（2）过点作交的延长线于点，延长交于点，求出，．即可得答案．【详解】（1）解：．理由如下：，．∴为直角三角形，，；（2）解：过点作交的延长线于点，延长交于点，如图，，∴．又，∴，．，，在中，，∴，根据勾股定理，得，，∴解得：．．购物车把手点到的距离为．23．（24-25八年级下·福建福州·期末）【发现问题】

小明在课外书上遇到了下面这道题：已知，，求线段的长度．小明经过思考以后，发现这类问题可以通过勾股定理来解决．思路如下：在平面直角坐标系中，设，，要求线段的长度可以用如下的方法，如图，过作轴的垂线，垂足为，过作轴的垂线，垂足为，延长交于点，则线段的长度可以表示为，且，在Rt△中，，根据勾股定理可得：【解决问题】（1）①则线段长度是；②如果点，点，则线段长度是

【知识迁移】（2）①点，，请在轴上找一点，使得的值最大，请直接写出这个最大值是．②点，，请在轴上找一点，使得最小，请直接写出这个最小值是．【拓展延伸】（3）①代数式的最小值是．②代数式的最大值是．【答案】（1）①，②；（2）①，②；（3）①，②【分析】本题考查了三角形的综合运算，新定义，解决最值问题，数形结合是解答关键．（1）①由线段长度的定义求解；②根据线段的长度的定义求解；（2）连接延长交轴于点，则此时的值最大，根据线段的长度的定义求解；②如图2，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则此时最小，根据线段的长度的定义求解；（3）①求代数式的最小值，相当于图2，点，点，点，则点，即可求解；②求代数式的最大值，相当于图1，点，点，则点，即可求解．【详解】解：（1）①线段；②由题意得，线段．故答案为：①，②；（2）①如图1，连接延长交轴于点，则此时的值最大，故的值最大；②如图2，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则此时最小，．故答案为：①，②；（3）①求代数式的最小值，相当于图2，点，点，点，则点，参照图2可知的最小值，则的最小值为；②求代数式的最大值，相当于图1，点，点，则点，则代数式的最大值为：．故答案为：①，②．24．（25-26八年级上·广东河源·月考）勾股定理是人类最伟大的十大科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．某数学兴趣小组在学习了勾股定理之后，进行了如下探究．【问题提出】（1）如图①，在中，，分别以这个三角形的三边为边长向外作正方形，面积分别记为，，．如果，求阴影部分的面积；【深入探究】（2）如图②，四边形Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，都是正方形，三角形Ⅵ，Ⅶ都是直角三角形，若正方形Ⅰ，Ⅱ，Ⅳ的面积依次为6，10，24，求正方形Ⅲ的面积；【应用】（3）如图③，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若，，求的值．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】本题考查勾股定理的证明及运用，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题．（1）通由勾股定理得，，得到，结合得到，最后根据阴影部分的面积求解即可；（2）由题意得，，，得到，再代入计算即可；（3）由勾股定理得到，即，再代入求值即可．【详解】解：（1）由勾股定理得，，即，因为，所以，由图形可知，阴影部分的面积，所以阴影部分的面积；（2）由题意得，，所以，因为正方形Ⅰ，Ⅱ，Ⅳ的面积依次为6，10，24，所以，所以，（3）由题意可知：，，，，如解图，连接，在和中，，即，所以．25．（24-25八年级下·河南郑州·期末）综合与实践：数学课上，同学们以“等边三角形折叠”为主题开展数学活动．

(1)操作判断，操作一：将如图（1）所示的等边三角形纸片折叠，使点B和点C重合，得到折痕，把纸片展开，如图（2）；操作二：将如图（1）所示的等边三角形纸片折叠，分别使点B和点C重合，点A和点C重合，点A和点B重合，折叠三次，得到三条折痕，，，三条折痕的相交于点O，把纸片展开，如图（3）；若等边三角形的边长为4，根据以上操作，①；②；③，这三种线段和中，线段和最小的是（填序号）________，最小值是．(2)迁移研究：小帅同学将等边三角形纸片换成等腰三角形纸片，继续研究，过程如下：将等腰三角形纸片按照（1）中的操作二进行折叠，折痕交点为点O，把纸片展开