经济应用数学课件

第一章统计推断

第一节概率论一、随机试验与随机事件

在一定条件下必然发生或必然不发生的现象称为确定性现象。而向上抛一枚硬币,落下来时可能正面(带花的一面)向上,也可能反面向上;从装有黑、白、蓝乒乓球的盒子里任取一个,结果可能是黑球,可能是白球,也可能是蓝球。这种在一定的条件下,具有多种可能结果,哪一种结果会发生,事先不能确定的现象,称为随机现象。在概率论中,满足下列条件的试验称为随机试验,通常简称试验。(1)可以在相同的条件下重复进行;(2)试验的所有可能结果不止一个,且是已知的;(3)每次试验之前不能准确地预言出现哪一结果。在一定条件下,对随机现象进行试验的每一个可能结果,称为一个随机事件，简称事件,用A、B、C等来表示。

第一节概率论在一定条件下,在每次试验中一定发生的事件称为必然事件,记作Ω;在每次试验中一定不发生的事件称为不可能事件,记作Φ。例1从10件产品(其中有8件正品,2件次品)中,任意抽取3件,那么A={全是次品}B={至少有一件是正品}C={全是正品}等都是随机事件,而A是不可能事件,B是必然事件。

第一节概率论二、事件的关系和运算1.事件的关系(1)“如果事件A发生必然导致事件B发生”,就称事件B包含事件A,记作A⊂B或B⊃A,用文氏图1-1表示。若A⊂B,B⊂A同时成立,则称A与B相等,记A=B。(2)“事件A与事件B至少有一个发生”称为事件A与事件B的和(或并),记作A+B(或A∪B),如图1-2所示。(3)“事件A与事件B同时发生”称为事件A与事件B的积(或交),记作AB(或A∩B),如图1-3所示。第一节概率论

第一节概率论(4)“事件A发生且事件B不发生”称为事件A与事件B的差,记作A-B,如图1-4所示。(5)“事件A发生必导致事件B不发生”称为事件A与事件B是互不相容事件,有A∩B=Φ,如图1-5所示。(6)“事件A不发生”称为“事件A发生”的对立事件,记作A,即A=Ω-A,如图1-6所示。(7)“事件A(B)发生与事件B(A)发生与否无关”称A与B互相独立。第一节概率论图1-4A-B图1-5互不相容事件图1-6对立事件

第一节概率论

2.事件间的运算规律事件间的运算规律与集合的运算规律完全类似,都满足(1)AB=BA(2)A+B+C=(A+B)+C=A+(B+C)(3)A(B+C)=AB+AC(4)A+A=AA+Φ=A(5)AA=AAΦ=Φ(6)(7)(8)

第一节概率论例2做掷一颗均匀的骰子观察向上一面的点数的试验A1={出现偶数点},A2={出现奇数点},A3={点数小3},A4={点数小于5},A5={至少出现1点},A6={一点也不出现},A7={点数大于1}

解①A3发生必导致A4发生,故A4⊃A3。②A1

与A2、A3与A7，至少一个发生,A5就发生,故

A5=A1∪A2，A5=A3∪A7。③A2

与A3同时发生就是事件{恰好出现一点},即A2A3={恰好出现一点}。④A1

与A2,A5

与A6

是互不相容事件,也是对立事件。⑤A3-A7={点数恰好为1}。

第一节概率论

三、概率的定义与性质

定义1.1在一定条件下进行n次重复试验,事件A发生的次数m

称为事件A的频数,频数m与试验次数n的比称为事件A的频率,记作fn(A),即fn(A)=m/n。定义1.2在相同条件下,重复进行n次试验,若事件A发生的频率稳定在某个确定的常数P附近,则称常数P为事件A的概率,记作P(A)=P。这便是概率的统计定义。

第一节概率论

定义1.3如果随机试验满足条件

(1)随机试验的基本事件总数是有限的,即每次试验,只有有限种可能的试验结果。(2)每一基本事件发生的可能性是相等的(简称机会均等)这样的随机试验模型称为古典概型。定义1.4在古典概型中,如果总的事件数为n,事件A所描述的内容有其中的m个基本事件,则称比值mn为事件A的概率,记作P(A)=m/n,这便是概率的古典定义。

第一节概率论由概率的定义,对一事件A,可得概率的下列性质:(1)P(Ω)=1,即必然事件的概率等于1(2)P(Φ)=0,即不可能事件的概率等于0(3)P(A)=1-P()(4)若A、B互不相容,P(A+B)=P(A)+P(B)(5)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)(6)若A、B互相独立,P(AB)=P(A)·P(B)

第一节概率论例3有10个相同的灯泡,其中7个是合格品,3个是废品,从中任取一个,求取到合格品的概率。解设用A表示“取到合格品”事件,由题可知基本事件总数n=,有利于A的基本事件数mA=,故P(A)=,即取到合格品的概率为7/10。例4设有一批产品共100件,其中95件正品,5件次品。问:(1)这批产品的废品率;(2)任取50件无次品的概率;(3)任取50件恰有两件次品的概率。解设P(A)、P(B)、P(C)分别表示(1)、(2)、(3)中所求的概率,则

第一节概率论例5十把钥匙中有三把能打开门,今任取两把,求能打开门的概率。解设A表示“能打开门”,则

表示“不能打开门”因为所以例6甲、乙两门高射炮射击敌人,他们射击一次击中目标的概率分别为0.7和0.6,两炮同时发射,问敌机被击中的概率解设A、B、C分别表示“甲击中”、“乙击中”、“敌机被击中”的事件,依题意,则有C=A+B,且A、B是互相独立的,故P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.7+0.6-0.7×0.6=0.88

第二节随机变量及其分布一、随机变量

统计学的基本是概率论,概率论的主要概念是随机变量。变量是指可以取各种各样数值的量。用来描述随机试验结果的变量称为随机变量。取值的情况不同根据随机变量,通常可以分为两类:如果随机变量所有可能取的值可以一一列举,且取这些值的概率是确定的,就称为离散型随机变量,如产品抽查中的次品数。如果随机变量所有可能取到的值不能一一列举,而是充满某个区间,并且这些值落在该区间任何一个小区间的概率都是确定的,就称为连续型随机变量,如电灯泡的使用寿命。

二、随机变量的概率分布定义1.5离散型随机变量ζ的取值Xk(k=1,2,…)及其相应的概率值P(ζ=Xk)=Pk(k=1,2,..)称为离散型随机变量的概率分布,简称分布。离散型随机变量的概率分布常用表格表示,如表1-2所示。离散型随机变量的概率分布有如下性质:

第二节随机变量及其分布

第二节随机变量及其分布例1有乒乓球m+n只,其中正品m只,次品n只,从中任取一只进行质量检查,若规定正品是“1”,次品是“0”,用ζ描述抽查的结果,求ζ的概率分布。解“ζ=1”意味着“抽到一只正品”,“ζ=0”意味着“抽到一只次品”,由古典概型可知P(ζ=1)=

,P(ζ=0)=

。故其概率分布如表1-3所示。

这个分布称为0-1分布。

例2一批数量很大的零件,不合格概率为1/8,合格概率为7/8,现对该批零件进行测试,用ζ表示第ζ次首次测试到正品,求ζ的分布列。解因ζ表示第ζ次首次测试到正品,故ζ的取值范围为1,2,…,k,…P(ζ=1)=7/8P(ζ=2)=P(ζ=3)=……P(ζ=k)=因此随机变量ζ的概率分布如表1-4所示。

第二节随机变量及其分布

第二节随机变量及其分布定义1.6设ζ为连续型随机变量,则存在非负函数P(x),使ζ在任一区间(a,b)内取值的概率都有P(a≤ζ<b)=称P(x)为ζ的概率密度函数,简称密度函数或分布密度。连续型随机变量ζ取某一值的概率为零,即P(a<ζ<b)=P(a≤ζ<b)=P(a<ζ≤b)=P(a≤ζ≤b)密度函数P(x)具有以下性质:(1)P(x)≥0(2)

定义1.7设ζ为一随机变量,则称函数F(x)=P(ζ<x)为随机变量ζ的概率分布函数(简称分布函数)。由定义可知P(a≤ζ<b)=F(b)-F(a)若ζ为离散型,则F(x)=P(ζ<x)=

若ζ为连续型,则F(x)=P(ζ<x)=

第二节随机变量及其分布

第二节随机变量及其分布例3设随机变量ζ的分布函数为F(x)=求常数A,密度函数P(x)及P(ζ≤1/2）解P(x)=F′(x)=∵F(+)=1,即∴A=1从而密度函数P(x)=

三、期望与方差1.期望

定义1.8随机变量ζ(离散)的每一个可取值乘以取得这个值的概率,然后全部相加,便是ζ的数学期望(又称均值),记作E(ζ),即

例4令骰子的点数为ζ,试求出ζ的期望。解E(ζ)=1×1/6+2×1/6+3×1/6+4×1/6+5×1/6+6×1/6=3.5定义1.9若随机变量ζ(连续)的密度函数为P(x),则称为ζ的数学期望,记作E(ζ)

即

第二节随机变量及其分布

第二节随机变量及其分布例5设随机变量ζ服从指数分布,其分布函数为F(x)=其中常数λ>0求(1)ζ的数学期望;(2)求P(0<ζ<1)。解ζ的概率密度P(x)=F′(x)=

（1）

2.期望的性质

(1)E(C)=C(C为常数)(2)E(Cζ)=CE(ζ)(C为常数)(3)E(ζ+η+…+τ)=E(ζ)+E(η)+…+E(τ)(4)E(ζη)=E(ζ)·E(η),其中ζ与η相互独立

第二节随机变量及其分布

第二节随机变量及其分布3.方差定义1.10若随机变量ζ的分布为P(ζ=xk)=Pk,则把和数

，称为随机变量ζ的方差,记作D(ζ),即。

，

称为ζ的标准差(或均方差),记作σ(ζ)。

例6已知两批萝卜资料如表1-5所示,试比较其质量。用ζ、η分别表示第一、二批萝卜的等级。根据已知资料可得ζ、η分布列如表1-6和表1-7所示。

第二节随机变量及其分布

第二节随机变量及其分布E(ζ)=1×0.1+2×0.2+3×0.4+4×0.2+5×0.1=3E(η)=1×0.1+2×0.3+3×0.3+4×0.1+5×0.2=3

D(ζ)=(1-3)2×0.1+(2-3)2×0.2+(3-3)2×0.4+(4-3)2×0.2+(5-3)2×0.1=1.2

σ(ζ)=

=1.095

D(η)=(1-3)2×0.1+(2-3)2×0.3+(3-3)2×0.3+(4-3)2×0.1+(5-3)2×0.2=1.6

σ(η)=

=1.265

定义1.11如果随机变量ζ的密度函数为P(x),且E(ζ)存在,则把积分

称为ζ的方差,记作D(ζ)=

。

称为ζ的标准差(或均方差),记作σ(ζ)。

第二节随机变量及其分布

第二节随机变量及其分布

例8一民航送客载有20位旅客自机场开出,旅客有10个车站可以下车,如到达一个车站没有旅客下车就不停车。以X表示停车的次数,求EX(每个旅客在各个车站下车是等可能的,并设各位旅客是否下车相互独立)解设Xi=

i=1,2,…,10易见X=X1+X2+…+X10,EX=任一旅客在第i站不下车的概率为9/10,因此,20位旅客都不在第i站下车的概率为(9/10)20即P{Xi=0}=(9/10)20,P{Xi=1}=1-(9/10)20,i=1,2,…,10EXi=1-(9/10)20,i=1,2,…,10EX=10[1-(9/10)20]=8.784(次)

四、正态分布定义1.12如果随机变量ζ的密度函数为其中μ、σ都是常数(σ>0,-<μ<+),则称ζ服从以μ、σ为参数的正态分布,记作ζ~N(μ,σ2)。当μ=0及σ=1时,得

此时的正态分布叫做标准正态分布,记作N(0,1)。

第二节随机变量及其分布

第二节随机变量及其分布

图1-7标准正态分布函数

例10某市对高二男生身高进行调查,已知高二男生身高近似服从正态分布N(1.66,0.042),求该市高二男生身高在1.60-1.70米之间的概率。

解设用ζ表示该市高二男生的身高,则P(1.60<ζ<1.70)=P(ζ<1.70)-P(ζ<1.60)

=Φ(

)-Φ(

)

=Φ(1)-Φ(-1.5)

=Φ(1)-[1-Φ(1.5)]0.8413-[1-0.9332]=0.7745

第二节随机变量及其分布

第三节基本统计模型

一、数理统计基本概念

统计学是一门关于数据资料的收集、整理、分析和推断的科学,有时更直观地称为应用统计学。而数理统计学(简称数理统计)则是应用概率论的结果更深入地分析研究统计资料,通过观察某些现象的频率来发现该现象的内在规律性,并作出一定精确程度的判断和预测。

数理统计的基本任务是经过进行随机试验,找出随机变量的分布规律或数字特征。数理统计的方法是抽取其中的部分进行观察并获得数据———采样,通过这些数据对所研究的全体进行推断。数理统计要研究的内容:(1)试验的设计和研究,即研究如何更合理、更有效地获得观察资料的方法;(2)统计推断,即研究如何利用一定的资料对所关心的问题作出尽可能精确、可靠的结论。

二、样本均值和方差

设(ζ1,ζ2,…,ζn)为来自总体ζ的随机样本,样本中所有样品的算术平均值称为样本均值,记作ζ,即ζ=。设(ζ1,ζ2,…,ζn)为来自总体ζ的随机样本,则称为样本的方差,记作S2,即S2=样本方差的算术平方根

称为样本标准差,记作S,即

第三节基本统计模型

第三节基本统计模型例1某商店抽查8个柜组,每个组某日的销售额(万元)分别为10,9,8,8,7,6,6,4,求该商店8个柜组销售额的均值和标准差。解

=(10+9+8+8+7+6+6+4)=7.25(万元)

==1.91(万元)因此,该商品8个柜组销售额的均值为7.25万元,标准差1.91万元。

三、样本统计量及样本统计量的分布不含未知参数的样本函数称为样本统计量。1.正态总体样式均值的概率分布2.U统计量及其分布设(ζ1,ζ2,…,ζn)来自正态总体N(μ,σ2),是样本均值,则统计量U=称为U统计量,且U-N(0,1)。

第三节基本统计模型

第三节基本统计模型3.x2统计量及其分布

统计量称为X2变量，即4.T统计量及其分布5.F统计量及其分布设ζ～χ2(n2-1),η～χ2(n2-1),且ζ,η相互独立,则统计量F=称为F统计量,其概率分布称为F分布

一、参数的估值在一次抽样时,以样本观察值ζ1,ζ2,…,ζn

的平均值

作为总体值μ估计值的方法称为均值的点估计,记

作,即在一次抽样时,以样本观察值ζ1,ζ2,…,ζn

的方差作为总体方差σ2

估计值的方差的顶估计,记作σ2，即

第四节参数估计

第四节参数估计二、区间估计的概念所谓区间估计,就是根据样本参数来估计总体参数取值范围,并以一定的概率来保证此估计范围的可靠程度。设θ为总体的未知参数,若对于事先给定的α(0<α<1),能找到两个值θ1

和θ2

使得总体参数θ被包含在区间(θ1,θ2)内的概率等于已给定的值1-α,即P(θ1<θ<θ2)=1-α,称(θ1,θ2)为θ的置信区间,称1-α为置信概率(或称置信度,即置信区间的可靠程度)。例如,P(θ1<θ<θ2)=0.95表示总体参数θ有95%的可能性在(θ1,θ2)以内。

三、区间估计

1.当方差σ2

已知时,正态总体均值的区间估计例1设总体指标ζ服从N(μ,32)分布,随机抽出一容量为4的样本,样本值为1.2,3.4,1.8,5.6。求总体平均值μ的95%的置信区间。解已知方差σ2=32,n=4,1-α=0.95,

而选U统计量,由P(U<λ)=2Φ(λ)-1=0.95得Φ(λ)=0.975查附表2得

λ=1.06

第四节参数估计

第四节参数估计

2.方差σ2未知时,正态总体均值的区间估计对某种电灯泡新产品随机抽取26只进行耐用性检验,计算出平均耐用时数为1677小时,标准差为96.51。试以98%的可靠程度估计平均耐用时数的置信区间。

解已知n=26,S=96.51P(T<λ)=0.98查t分布表得(α=0.98,f=25)

λ=2.48

故

3.正态总体方差的区间估计我们可以选用x2统计量,因为S2可由样本算出。设ζ～(μ,σ2),其中σ2

未知,ζ1,ζ2,…,ζn

为取自ζ的一个样本,给定置信度1-α,令P(λ1<χ2<λ2)=1-α,其中λ1,λ2

可由χ2分布表查出,得

所以方差σ2的置信区间为

第四节参数估计

第五节假设检验

一、基本概念一般情况下,利用样本来检验总体是否具有某种指定特征的统计方法称为假