第二章 立体的投影

第2章立体的投影第2章立体的投影2.1正投影法与视图2.1.1投影法

投影法是各种图示方法的基础，是人类对光线照射空间物体在平面上产生影像现象进行科学抽象与总结的结果。

1．中心投影法

投射线汇交于一点的投影法称为中心投影法，如图2-la所示。2.平行投影法

平行投影法可分为斜投影法（图2-1b）和正投影法（图2-1c）两种。图2-1投影法2.1.2正投影法的基本特征

1.真实性2.积聚性3.类似性

（a）投影的真实性

（b）投影的积聚性

（c）投影的类似性

图2-2正投影的基本性质第2章立体的投影2.1.3三投影面体系及三视图

1.三投影面体系

将物体向一个投影面投影往往不能准确地表达物体的形状，如图2-3所示，三个形状不同的物体在同一个投影面上的投影是相同的。

图2-3物体的单面投影第2章立体的投影

三投影面体系由三个互相垂直的投影面构成，如图2-4所示。其中，处于正立位置的投影面称为正立投影面（简称正面，用V面表示），处于水平位置的投影面称为水平投影面（简称水平面，用H面表示），处于侧立位置的投影面称为侧立投影面（简称侧面，用W面表示）。投影面之间的交线称为投影轴，分别用OX、OY、OZ表示。图2-4三投影面体系第2章立体的投影2.三视图

（1）三视图的形成

从前向后投射，在V面上得到的图形称为正面投影或主视图；从上向下投射，在H面上得到的图形称为水平投影或俯视图；从左向右投射，在W面上得到的图形称为侧面投影或左视图，如图2-5所示。

图2-5物体在三投影面体系的投影图

图2-6三投影面的展开方法第2章立体的投影

为了将三个视图画在一张图纸上，国家标准规定：V面位置保持不动，将H面绕OX轴向下旋转90°，将W面绕OZ轴向右旋转90°，使二者与V面重合（如图2-6和图2-7所示）；然后去掉与实体表达无关的投影面标记、边框和投影轴，即形成了物体的三视图，如图2-8所示。

（2）三视图的投影特性

图2-7展开后的三视图

图2-8三视图之间的投影规律第2章立体的投影第2章立体的投影2.2点、线、面的投影

物体的表面是由点、线、面等基本几何元素构成的。2.2.1点的投影1．点在三投影面体系中的投影规律

（1）点在三投影面体系中的投影

（2）点在三投影面体系中的投影规律

2.点的投影与坐标

（a）直观图

（b）投影展开图

（c）投影图

图2-9点的三面投影

例2-1空间点A的坐标为（25，15，20），求作该点的三面投影。如图2-10所示。

图2-10由点的坐标作点的三面投影第2章立体的投影

例2-2已知点B的两面投影为b和b'，点C的两面投影为c和c"，如图2-11a所示，试求点B和点C的第三面投影。3.两点的空间位置关系

（1）两点的空间位置（图2-12所示）

图2-11由点的坐标作点的三面投影第2章立体的投影图2-12由点的两面投影求第三面投影

（2）重影点

当两点位于某一投影面的同一条投射线上时，两点在该投影面上的投影重合为一点，称这两点为对该投影面的重影点。显然，两点在某投影面上的投影重合时，它们必有两对相等的坐标。如图2-13所示，

图2-13重影点第2章立体的投影第2章立体的投影2.2.2直线的投影1．直线在三投影面体系中的投影

在三投影面体系中，欲求直线AB的三面投影，可分别作出两端点A、B的三面投影a、a'、a"和b、b'、b"，然后用粗实线连接两点的各同面投影，则ab、a'b'和a"b"即为直线AB的三面投影，如图2-14所示。

图2-14直线的三面投影第2章立体的投影2．直线对投影面的相对位置极其投影特征

（1）投影面平行线

平行于某一投影面且倾斜于另两个投影面的直线称为投影面平行线。投影面平行线又可分为正平线（平行于V面）、水平线（平行于H面）和侧平线（平行于W面）三种。表2-1列出了它们的立体图、投影图和投影特性。

表2-1投影面平行线第2章立体的投影

（2）投影面垂直线

垂直于某一投影面（平行于另两投影面）的直线称为投影面垂直线。投影面垂直线有正垂线（垂直于V面）、铅垂线（垂直于H面）和侧垂线（垂直于W面）三种。表2-2列出了它们的立体图、投影图和投影特性。

表2-2投影面垂直线第2章立体的投影

（3）点与直线的相对位置

垂直于某一投影面（平行于另两投影面）的直线称为投影面垂直线。投影面垂直线有正垂线（垂直于V面）、铅垂线（垂直于H面）和侧垂线（垂直于W面）三种。表2-2列出了它们的立体图、投影图和投影特性。

图2-15一般位置直线第2章立体的投影3.点与直线的相对位置

（1）点在直线上（图2-16所示）

图2-16直线上点的投影第2章立体的投影

（2）点不在直线上

点不在直线上时，点至少有一个投影面上的投影不在直线的同面投影上。

例2-3如图2-17a所示为侧平线AB和点K两面投影，怎样判断点K是否在直线AB上？

（a）直线与点的投影

（b）利用第三面投影判断（c）利用定比性判断

图2-17判断点K是否在直线AB上第2章立体的投影4.两直线的相对位置

（1）两直线平行

如图2-18所示，设直线AB∥CD，则由其投影线形成的平面ABba∥CDdc，故它们与H面的交线ab∥cd，同理，a'b'∥c'd'、a"b"∥c"d"，且AB:CD＝ab:cd＝a'b':c'd'＝a''b'':c''d''。

如图2-19所示，两直线EF和GH的投影ef∥gh、e'f'∥g'h'，但e"f"不平行于g"h"，所以EF和GH不平行。

图2-18两直线平行图2-19判断两直线是否平行第2章立体的投影

（2）两直线相交

如图2-20所示，AB和CD两直线相交于点K，其投影ab和cd相交于点k，且点k符合直线上点的投影规律。

如图2-21所示，两直线的侧面投影交点不符合直线上点的投影规律，所以，直线AB和CD不相交。

图2-20两直线相交图2-21判断两直线是否相交第2章立体的投影

（3）两直线交叉

如图2-22所示，空间两直线AB和CD的三面投影分别相交，但是其交点却不符合点的投影规律，由此可判定直线AB和CD是两交叉直线。

图2-22两直线交叉第2章立体的投影2.2.3平面的投影1．平面对三投影面的相对位置及其投影特性

（1）投影面平行面

平行于某一投影面（垂直于另外两投影面）的平面称为投影面平行面。投影面平行面有正平面（平行于V面）、水平面（平行于H面）和侧平面（平行于W面）三种。表2-3列出了它们的立体图、投影图和投影特性。

第2章立体的投影表2-3投影面平行面第2章立体的投影（2）投影面垂直面

垂直于某一投影面且倾斜于另外两个投影面的平面称为投影面垂直面。投影面垂直面有正垂面（垂直于V面）、铅垂面（垂直于H面）和侧垂面（垂直于W面）三种。表2-4列出了它们的立体图、投影图和投影特性。

第2章立体的投影

表2-4投影面垂直面第2章立体的投影（3）一般位置平面

对三投影面都倾斜的平面称为一般位置平面。如图2-23所示，平面SAB对H、V、W都倾斜，故其三个投影面的投影都是缩小的类似形。

图2-23一般位置平面第2章立体的投影

2.平面上的直线和点

如图2-24所示，在由AB和BC所确定的平面P内任取一直线时，有以下两个方法。

例2-4如图2-25a所示，已知平面ABC的水平投影和正面投影，及其上一点M的水平投影m，求作点M的正面投影m'。

图2-24在平面内取直线图2-25平面上取点第2章立体的投影2.3平面立体的投影2.3.1棱柱1．棱柱的投影及画法

如图2-26所示为正六棱柱，它由上下底面（正六边形）和6个相同的矩形棱面围成。上、下底面为水平面，其俯视图反映实形，主视图和左视图积聚成为直线段。

图2-26正六棱柱的投影第2章立体的投影

画图时，应先画出反映底面实形的视图，再按投影关系画出另外两个视图。由于图形对称，故需用点画线画出对称中心线。具体画图方法和步骤如图2-27所示。

图2-27正六棱柱三视图的画图方法和步骤第2章立体的投影

2.棱柱表面上点的投影

求解棱柱表面上点的投影，其原理和方法与在平面上取点相同。正棱柱的各个表面都处于特殊位置，因此在其表面上取点均可利用平面投影的积聚性原理作图，找点并标明可见性，如图2-28所示。

图2-28棱柱表面上点的投影第2章立体的投影3.棱柱截切体的投影

在工程实际中，我们还经常会看到立体被平面截切的结构，立体被平面截切所得到的形体称为截切体，截切平面称为截平面，立体被截切后的断面称为截断面。

图2-29正六棱柱截交线的投影第2章立体的投影

例2-6如图2-30a所示，求带切口正五棱柱的三视图。

图2-30带切口正五棱柱的三视图第2章立体的投影2.3.2棱锥1．棱锥的投影及画法

如图2-31所示为正三棱锥，锥顶点为S，其底面△ABC是水平面；棱面△SAB、△SBC是一般位置平面，它们的各面投影均为类似形；棱面△SAC为侧垂面。底边AB、BC为水平线，CA为侧垂线；棱线SB为侧平线，SA、SC为一般位置直线。正三棱锥三视图的画法如图2-32所示。

图2-31正三棱锥的投影图2-32正三棱锥投影的画图步骤第2章立体的投影2．棱锥表面上点的投影

对于特殊位置表面上的点，其投影可利用平面投影的积聚性直接求得。如图2-33所示，已知侧垂面SAC上点N的水平投影n，可利用平面投影的积聚性直接找到n″点。

图2-33正三棱锥表面上点的投影第2章立体的投影3．棱锥截切体的投影

棱锥体被平面所截切，同样会得到截交线。

例2-7如图2-34a所示，求作正垂面P斜切正四棱锥的截交线。

图2-34四棱锥截交线的三视图第2章立体的投影2.4回转体的投影2.4.1圆柱体1．圆柱体的投影及画法2.圆柱表面上点的投影

例2-8如图2-35c所示，已知圆柱面上一点M的正面投影m′，求作它的水平投影m和侧面投影m″。

图2-35圆柱及其表面上点的投影第2章立体的投影3.圆柱截切体的投影

根据截平面与圆柱轴线相对位置的不同，平面截切圆柱所得的截交线有矩形、圆和椭圆三种，如表2-5所示。

表2-5圆柱的截切第2章立体的投影

例2-9求作图2-36a所示斜切圆柱的截交线。

图2-36斜切圆柱的截交线第2章立体的投影

例2-10求作图2-37a所示圆柱切割后的三视图。

图2-37圆柱截切体的三视图第2章立体的投影2.4.2圆锥体1．圆锥体的投影及画法

圆锥体表面由圆锥面和底面构成。如图2-38a所示，圆锥面可以看成是由直线SA绕与其相交的轴线SO旋转而成的。在圆锥面上，通过锥顶的任一直线都为圆锥面的素线。

图2-38圆锥的投影及其表面上点的投影第2章立体的投影2．圆锥表面上点的投影3.圆锥截切体的投影

根据截平面与圆锥轴线相对位置的不同，圆锥体的截交线有5种情况，如表2-6所示。

表2-6圆锥体的截交线第2章立体的投影

例2-11如图2-39a所示，圆锥被一正垂面截切，求作截交线的投影。

图2-39正垂面截切圆锥的截交线第2章立体的投影

例2-12如图2-40a所示，圆锥被一正平面切割，求作截交线的投影。

图2-40正平面截切圆锥的截交线第2章立体的投影2.4.3圆球体1．圆球体的投影及画法

圆球体的表面可以看作是由一个半圆绕其直径旋转一周而成的。如图2-41a所示，圆球的三面投影都是大小相等的圆，圆的直径都等于球的直径。球的各个投影虽然都是圆形，但各个圆的意义不同。

图2-41圆球的投影第2章立体的投影2．圆球表面上点的投影

例2-13如图2-42a所示，已知圆球面上点M的水平投影m和点N的正面投影n′，求这两点的其他两面投影。

图2-42圆球表面上点的投影第2章立体的投影3．圆球截切体的投影

圆球被任意方向的平面截切，其截交线都是圆。当截平面为投影面平行面时，截交线在所平行投影面上的投影为一圆，其余两面的投影积聚为直线，如图2-43所示，该两直线的长度等于圆的直径，直径大小与截平面至球心的距离B有关。

图2-43圆球被水平面截切的画法第2章立体的投影

例2-14如图2-44a所示，试完成开槽半圆球的水平投影和侧面投影。

图2-44半圆球开槽的投影第2章立体的投影2.5相贯线2.5.1圆柱与圆柱正交1.利用投影的积聚性求相贯线

图2-45圆柱与圆柱正交第2章立体的投影